"四探"2019年高考全国卷Ⅰ第19题改编中考压轴题

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【改编二】——延伸拓展1

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"四探"2019年高考全国卷Ⅰ第19题改编中考压轴题

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【改编七】——延伸拓展6

已知抛物线C：y=x²/3与直线l: y=kx+b相交于点A，B，直线l与y轴交于点P．

（1）当k=0时，求OP/（AB²）的值；

（2）点M是抛物线上的动点，过点M作MG⊥直线l于点G，当k=0时，求MG/（GA×GB）的值；

（3）点M是抛物线上的动点，过点M作MG∥y轴交直线l于点G，当k=2时，求证：不论b为何实数，MG/（GA×GB）的值为定值，并求定值；

（4）若将（2）的抛物线改为”y=ax²”，其他条件不变，则MG/（GA×GB）的值还为定值吗？若是，请求出定值;若不是，说明理由．

【图文解析】

（1）如下图示，当k＝0时，直线l为y=b．

法一：由x²/3=b，得x=±√（3b），进一步，得B（√（3b），b），得AB＝2√(3b)，OP=b，再通过计算，可得OP/（AB²）＝…＝1/12．

法二：由抛物线的对称性，得OP/（AB²）＝OP/（4PB²）＝1/4×OP/PB²＝1/4×y_B/x_B²．又由于点B在抛物线y= x²/3上，所以y_B= x_B²/3，得y_B/x_B²＝1/3．所以OP/（AB²）＝1/4×1/3＝1/12．

（2）如下图示．当k=0时，直线l为y=b．

设M（3m，3m²），A(-3t，3t²)，则A(3t，3t²)，P（0，3t²），G(3m，3t²)．

所以MG＝3（t²-m²），GA=3(m+t)，GB=3(t-m)，得GA×GB＝9（t²-m²），所以MG/（GA×GB）＝1/3．

（3）如下图示．类似（2）的解题思路，需要耐心进行含参计算．定值为1/15．

（4）如下图示．类似（2）的解题思路，需要耐心进行含参计算．定值为：|a|/(1+k²)．

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【改编八】——延伸拓展7

已知抛物线C：与直线l: 相交于点A，B，直线l与y轴交于点P．点Q在线段AB上．

（1）当点Q是线段AB的中点时．求证：随着b的值的变化，点Q总是在一定直线上运动，并求这条直线的解析式．

（2）若将抛物线C与直线l的解析式分别换成y=ax²和y=kx+b，请找出类似（1）的结

（3）若直线y=kx+1（与y轴交于点P，与抛物线交于点A、B）绕点P旋转，则线段AB的中点Q的运动路径所表示的解析式：

【图文提示】

（1）如下图示，通过计算，可得x_Q=-1，所以点Q总是在直线x=-1运动；

（2）如下图示，通过计算，可得x_Q=k/(2a)，所以点Q总是在直线x= k/(2a)运动；

（3）如下图示，类似于（2）的思路，点Q总是在抛物线y=2x²/3+1的抛物线上运动．

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【改编六】——延伸拓展5

已知抛物线C：y=x²/3与直线l: y=-2x/3+b相交于点A，B，直线l与y轴交于点P，连接OA.过点A作AE⊥y轴于点E，过点E作CD∥OA交抛物线C于点G、H．

（1）求证，不论b为何值，EH:OA＝OA:EG=定值，并求其定值；

（2）在（1）的条件下，若绕点P旋转，则上述结论是否仍然成立？并给予证明．

（3）若将抛物线C与直线l的解析式分别换成y=ax²和y=kx+b，则上述结论是否仍然成立？并给予证明．

【提示】（1）类似上述拓展的解题思路，先求得点A、B、E、G、H点的坐标，再进行含参计算即可．定值为黄金分割值（√5-1）/2．

（2）与（3）均成立，证法类似．

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