张连辉——从2022年高考对分离参数法再审视

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对分离参数法的再审视

新疆昌吉学院           张连辉

摘要：导数一直是近些年来高考考试的热点、难点，而导函数带参问题也一直是导数问题的核心。由于题目的灵活性，讨论法解决此类问题也会出现诸多不确切因素，因此出现的诸多解题方式繁多而糅杂，使学生面对此类问题无从下手。分离参数法是解决此类问题较好的方法，笔者以今年全国乙卷文科导数问题和往年的三道高考题的解题方法，探究此方法的一般性，重新审视分离参数法解决可分参问题简便性与可操作性。

关键词：导数；分离参数法；极限思想 

分离参数法就是通过将两个变量构成的不等式（方程）变形到不等号（等号）两端，使不等号（等号）一边是参数，另一边是在某个区间上的具体的函数，通过求解这个具体函数的取值范围得出参数的取值范围。应用该方法的关键在于能否成功的借助导数等知识将分离后的函数的取值范围解出。下面以今年全国乙卷文科导数问题为例来探究分离参数法解决可分参问题的一般性。

  1 问题呈现

分析：此题是分离参数法的典型应用，其难点在于分参后求导较为复杂，以及求完导后的因式分解（此次可以用猜根法和整式除法进行因式分解），后面转换为求最值问题，进而把参数范围给求出来。

分析：此题在分参时，应注意“x+1”正负与等于0的情况，分三种情况进行讨论，在设函数求导时，导函数较为复杂，求取时要保证其准确性。分别求出三种情况参数的取值范围，最后取交集得出参数取值范围。

2 通法探究

每一类数学问题都有一些基本的解题方法，这些方法有时并不是最简单的，但却最能反映这类问题的本质，具有普适性，典型性等基本特征，这类方法就所谓的通性、通法，它们对于深刻理解问题有着重要作用与意义。

关于通性、通法，著名数学家张景中教授提出解题“中巧说”，即大巧法无定法，要靠个人领悟，难以言传，小巧一题一法^[1]。上述高考题，在考察导数的基本求导法则，基本性质等知识点的同时，考察学生的运算求解、转化与化归、数形结合、数学分析等关键能力，较好的考察学生学科核心素养。求解上述题目时，需要学生有较强的逻辑思维转换能力与代数计算能力。不难发现，上述解题过程都围绕“分参”展开，归纳起来无外乎两类：一类是等式关系转化为参数与函数图像的交点问题；另一类是不等式关系转化为恒成立问题，而这两类问题最终都转化为求最值问题，如下图所示：

  3 拓展与应用

  3.1 分离参数法的变式应用

分析：此题难点是在于参数如何分，此题明显是以x=1为分界点（当x=1时lnx=0），把定义域分成三部分进行讨论，在参数分开以后，设函数、求导，最后在求最值时运用极限思想（洛比达则），求取最值，在所有参数范围求得以后，取交集得到最后的最终的答案。

 3.2 分离参数法求参数值

分析：此题难点在于参数怎么分，此处应该注意当x=0时是不能分的（x=0除到右边是无意义的），当x<0时，在分参时不等号的方向要改变，也即是通过自变量取值范围的不同改变不等式符号，通过极限思想（洛比达法）求取最值，最后通过取交集得到a的值。

  3.3 分离参数法解决端点效应问题

  3.4 分离参数法解决以三角函数为背景的题

分析：此题在分参时，涉及到了三角函数，在分离参数要考虑到“sinx”与区间[0,π]上的正负与0的情况，分别讨论求解，最后取交集得到答案。

4 总结

通过对分离参数法的再审视，在解决可分参问题时，指导学生要抓住问题的本质，掌握通性、通法，即牵住学习数学的“牛鼻子”，学生可以触类旁通，事半功倍，取得练一题、学一法、会一类、通一片的效果^[2]。在解题教学中，教师要有意识引导学生探究问题本质，注重解题过程，从繁杂的试题中，多变的解法中，追根溯源，探寻不变的本质。只有基于此，才能对学生的学习起到事半功倍的效果。

参考文献：

[1]刘再平.在不断探究的过程中促进深度学习[J].中国数学教育2022（1-2）：75.

[2]王历权.从一道高考试题出发剖析“点差法”的思想本质[J].中国数学教育2021（10）：57.

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