新高考新设计--《直线与平面垂直》

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       进入新高考备考以来，我们组织了相当部分的教师开展了新高考评价体系下的新教学探索，逐步围绕着《高考数学全国卷真题精编》和《高考数学全国卷解密》来开展课堂新教学设计，基本形成了“从教材到高考，从基础到能力，聚焦题组化的情境，突出任务驱动和问题串驱动，层层递进，强化课堂中学生的问题解决能力”的设计理念。本设计是团队成员陈国毫老师11月20日上午到勒流中学的教学开放日同课异构活动的设计。国毫老师的设计越来越显得成熟，有许多值得借鉴的思考。

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教学设计

【教材】新教材人教A版必修第二册第八章8.6.2直线与平面垂直

【教学对象】佛山市顺德区勒流中学2021届高三（7）班学生

一、内容和内容分析

（一）差异视角下，线面垂直的内容分析

    本节课复习的内容是直线与平面垂直的定义和判定定理.直线与平面垂直是直线与平面相交的一种特殊情况，它既是空间直线与直线的垂直的延续，也是平面与平面垂直的基础，在教材中起着承上启下的作用.

直线与平面垂直是两类不同维数空间基本图形的位置关系，与同类基本图形（直线与直线、平面与平面）的位置关系的定义有很大不同.角有直观性很强的现实基础，所以同类基本图形所成的角的定义比较容易，从相交到垂直这个从一般到特殊的过程就非常自然，所以同类基本图形的垂直关系的定义比较顺畅.基于此，不同于空间中线线垂直和面面垂直用空间角来定义的方式，空间中线面垂直则转化为线线垂直来定义，反而线面角的概念是建立在线面垂直的概念基础之上.一条直线垂直于一个平面，指的是这条直线垂直于这个平面内的任意一条直线.定义本身既是判定，又是性质，它表明了线面垂直与线线垂直的相互转化的关系，强调了化归与转化的数学思想.

然而，用定义判定线面垂直，需要考察平面内的每一条直线与已知直线是否垂直，这是一个无限验证的过程，可操作性不强；于是，教材强调以空间几何的公理为出发点，以具体的生活情境为落脚点，通过“直观感知→操作确认→思辨论证→度量计算”的认识展开，归纳判定定理.判定定理的优越性在于“以少胜多”，关键在于只要求直线与平面内的两条相交直线垂直即可，其中蕴涵了由无限转化为有限的思想；当然通过直线与直线垂直判断直线与平面垂直，还蕴涵了“降维”思想，体现的是“平面化”的思想.整个学习过程实现学生几何直观、空间想象力和逻辑推理能力的发展，提升直观抽象、数学推理、数学抽象等核心素养.

（二）单元框架下，线面垂直的内容分析

线面垂直是立体几何知识结构体系中核心知识的核心，蕴含着丰富的数学思想：转化与化归的思想、数形结合的思想，充分体现基础性和综合性.

由一维的直线与二维的平面，通过垂直的关系，搭建三维空间，建立空间观念，实现了由认识平面图形到认识立体几何图形的飞跃.通过垂直定义立体几何新概念，引出了诸多异于平面几何的新概念，如点到平面的距离，线线、线面、面面所成角.通过垂直建立空间直角坐标系.垂直也是空间位置关系转化的立交桥，众多的性质定理或者判定定理都依赖于垂直的条件.垂直的知识容量大，关联元素多，发散空间广，在客观上是处于核心地位的，在立体几何中，可谓处处有垂直.因此，立体几何的学习要突出、抓好对线面垂直的学习，才能更好的认识整个知识框架.如右表反映了垂直与方方面面的联系.

（三）高考分析

立体几何是高中数学的重要内容，是考查空间想象能力的重要载体.通过呈现常见的平面基本模型和空间几何模型，充分挖掘其结构特征以及位置关系与度量关系，是高考考查的重点.由于空间几何体的元素较多，联系较为紧密，因此对于线面垂直的考查，往往会涉及到其他平行或者垂直定理的渗透与综合，体现基础性和综合性.

基础性可以体现在以符号语言、文字语言或图形语言呈现的垂直类命题，该类问题强调三种语言之间的熟练转化能力，如《高考数学全国卷真题精编》第145页9.3空间中的垂直关系呈现的题组一.另一方面，从已有的高考考题来看，高考的命题都是一证一算，证明以垂直为主，涵盖线线垂直、线面垂直、面面垂直，其中的连接点就是线面垂直.线面垂直的基础性体现在定理的直接应用，即在平面内寻找、挖掘、创造两条直线与垂线垂直，而垂线与平面直线的垂直主要是基于平面基本模型性质和度量，如等腰三角形三线合一的性质、矩形、正方形的邻边互相垂直、菱形的对角线，筝形，直角梯形，直径所对的圆周角，以及边长具有一定比例关系的矩形模型以及直角梯形、勾股定理逆定理等等，这些都能够产生丰富的垂直关系.因此，在立体几何的学习中要特别重视对基本图形及其构成元素间的位置关系、度量关系的分析和理解.

综合性主要体现在大题，综合考查空间几何体中线线垂直、线面垂直、面面垂直的双向转化（当然有时会伴随着平行），强调对平面几何图形基本性质的挖掘以及通过边长的度量得出垂直关系；线面角、二面角的三角函数值的求解也体现出对线面垂直的要求：通过定义法构造线面角、二面角，寻找目标角的过程需要不断挖掘、发现、创造线面垂直的条件；运用坐标法，建立空间直角坐标系，也依赖于选择合适的线面垂直模型，以方便建系；坐标的寻找，法向量的求解也均依赖于垂直，因此，线面垂直在高考中的综合性比较强.

二、学情和教学问题诊断

本次授课的学生来自佛山市顺德区勒流中学高三（7）班物理班的学生，学生基础较好，且已经复习了空间中点、直线、平面之间的位置关系以及直线与平面、平面与平面平行的判定和性质定理等相关知识.学生对几何体的直观感知和空间想象能力有一定的提升.因此学生具备本节课的知识基础和学习能力.但对于直线与平面垂直的定义、判定定理两者的关系需要进一步理解，并需要进一步熟练利用线线垂直证明线面垂直，强化转化与化归的思想，逐步提升学生的逻辑推理能力.

教学中可能遇到的问题有：判定定理三种语言的转化不够熟练，书写不够规范；对于平面基本图形的垂直关系挖掘困难，缺乏从模型的视角的看待问题等.

三、教学目标分析

基于上述教材和学情分析，并结合《普通高中数学课程标准2017年版》对于本单元的描述，确定本节复习课的教学目标如下：

1.掌握直线与平面垂直的定义和判定定理，渗透转化与化归的思想；

2.能从模型特征的视角充分挖掘几何体中平面基本图形的性质以及度量关系，建立垂直关系，渗透平面化思想和强化模型意识.

重点：直线与平面垂直的定义和判定定理           

难点：模型视角下的垂直关系的寻找、挖掘

四、教学过程分析

（一）教学流程设计

（二）教学过程设计

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学生任务单

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 教学课件

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