贞元数学 | 竖式除法课堂实录

编者按：

昨晚（8月10日），张春燕老师的线上讲座《母语读写，让我们成为“我们”——0-12岁孩子的彩色阅读阶梯》完整收官，在先后两次的讲座中，春燕老师完整地为家长们介绍了小学各阶段的语文阅读和写作，还分享了贞元学校的节气和节日课程。

今晚（8月11日）20:00，宋亚男老师的线上讲座《如何培养孩子的数学思维——代数篇》也将收官，继上一期的加减法之后，今晚讲解贞元如何教乘除法，为大家完整展示贞元的孩子们是如何建构加减乘除观念的。配合今晚的讲座，我们为家长们准备了宋亚男老师给三年级下半学期的孩子们上的除法课堂实录。

宋亚男老师

第一板块：自我挑战，遭遇问题

展示课前挑战单：

1．图片中的两个小朋友遇到了困难，请同学们帮她们解决一下吧！

 （1） 请用文字语言描述你解决问题的步骤；

（2） 请用“竖式”表示你解决问题的过程；

（3） 如果把题目中的“256张照片”改为“156张照片”，你还会解决吗？

（4） 你还能提出哪些有趣的新问题呢？

分析：从学生的课前挑战单反馈来看，大部分学生可以根据除法的含义，将“三位数÷一位数”转换成已经会的除法算式解决（表内除法，两位数÷一位数），只是程序比较复杂，或转换后的除法算式仍然不容易口算出来。课堂将以此展开讨论，讨论每种拆分方法的合理性和不合理性，进而达成临时性共识（按位置拆分既容易口算，程序也简洁）。

首次挑战“三位数÷一位数”的竖式，“对位”是学生的一个认知冲突。除法竖式既然是一种程序，如何使程序简洁明了呢？这也是本节课将聚焦的一个问题。

第二板块：聚焦问题，展开对话

师：一共有256张照片，用2本相册正好插完，每本相册插几张照片？如何列算式？

生：256÷2=128。

师：这位同学是如何计算“256÷2”的？ 

生：先把“2个百”平均分到两本相册里，每个相册得到“1个百”。再把剩下的“56个一”平均分到两本相册里，每个相册得到“28个一”。最后把两次的商数相加。

师：你认同这种方法吗？并说明理由。

生：我认为这样做的好处是，把“三位数÷一位数”转换成“整百数÷一位数”和“两位数÷一位数”，计算起来更简单。

生：我不这样认为，因为56÷2比较难，我们无法快速口算出结果。

师：他把“三位数÷一位数”转换成昨天刚学过的“两位数÷一位数”，这样的数学思想非常值得我们学习。但有同学认为“两位数÷一位数”有点难，无法很快的口算出来。

生：可以把256拆分成200，50和6，然后再平均分。

师：是这样吗？

生：对的，先把200平均分成2份，每份有100个。然后把50平均分成2份，每份有25个。再把6平均分成2份，每份有3个。最后把所有的商数合起来。

生：这样拆分当然合理，但是，50÷2也不好口算出来。我们应该把“5”看成5个十，而不是50个一。

生：对，用小棒理解的话，应该是将5捆小棒平均分给2个人，而不是把50根小棒平均分给2个人。

师：是这个意思吗？

生：对的，先把“2个百”平均分到两本相册里，每个相册得到“1个百”。再把“5个十”平均分到两本相册里，每个相册得到“2个十”还剩“1个十”。再把“6个一”平均分到两本相册里，每个相册得到“3个一”。最后把所有的商数合起来。

生：我不认同，剩下的那“1个十”还没有平均分到两本相册里。

师：5个十平均分成2份，每份2个十，还剩1个十，这“1个十”为什么没有分呢？

生：因为这“1个十”是一个整体，无法平均分到2本相册里。但我们可以把“1个十”换成“10个1”进行平均分。也就是把“10个一”平均分到两本相册里，每本相册得到“5个一”。

生：我认为这个程序还可以再简洁一点，把10个一与6个一合起来，也就是直接把“16个一”平均分给两本相册，每个相册得到“8个一”。

师：谁来完整的描述整个平均分的过程？

生：把256拆分成2个百，5个十，6个一。

把“2个百”平均分到两本相册里，每个相册得到“1个百”。

再把“5个十”平均分到两本相册里，每个相册得到“2个十”还剩“1个十”。

把剩下的一个十换成10个一，再加上6个一，16个一平均分到两本相册里，每个相册得到“8个一”。

师：接下来请所有的同学把平均分的过程用符号语言表示出来。

师：接下来如何将此程序转化成竖式呢？这位同学是如何想的？你认同吗？

生：他想先计算2（个百）÷2=1（个百），再计算56（个一）÷2=28（个一）。

生：这样计算的好处是，步骤简洁，但是不够简单。

生：对，56个一平均分成2分，很难口算出结果。

师：对的，竖式程序简洁的同时，还必须简单，容易口算。这位同学又是怎么想的呢？

生：他想先计算2（个百）÷2=1（个百），再计算50（个一）÷2=25（个一），最后计算6（个一）÷2=3（个一）。

生：虽然能得到最终结果，但答案不能一步到位，需要涂改，不够简洁。

师：这个竖式呢？

生：他是想先计算2（个百）÷2=1（个百），再计算56（个一）÷2=25（个一）。

生：不对，他不是平均分56个一，而是平均分5个十，每份2个十，还剩1个十。

生：是的，平均分完2个百后，还剩56没有分，他把56看成5个十和6个一进行平均分。5个十平均分成2份，每份2个十，分出去了4个十，还剩1个十。1个十加6个一等于16个一，16个一平均分成2份，每份有8个一。

师：这个竖式呢？

生：我不认同这个竖式，第一次分完2个百后，还剩5个十和6个一没分，但他只写了5个十。

生：没有呀，接下来还要再平均分6个一，只是先平均分5个十，再平均分6个一。

生：这个竖式比前边的竖式都要简洁，比如，2个百平均分成2份，每份1个百，第一次分出去的2个百在百位上写“2”即可，不需要写成“200”。

生：接着把5个十平均分成2份，每份2个十，还剩1个十，第二步分出去了4个十。

师：竖式里的“4”如何用一个算式表示？

生：2×2（个十）=4（个十）。

师：接下来呢？

生：接下来还剩16个一没有分，16个一平均分成2份，每份8个一。

师：如何用一个算式表示第三次分出去的相片呢？

生：2×8（个一）=16（个一）。

（对于除法竖式的书写程序达成临时性共识。接下来，请一位学生用文字语言描述平均分的过程，其他学生将其转换成竖式。）

师：如果把题目中的“256张照片”改为“156张照片”，你还会解决吗？

生：156÷2=78。

师：如何计算156÷2的结果？这是一位同学的观点，他是怎么想的？

生：1个百换成10个十，“10个十”平均放到两本相册里，每本相册得到“5个十”。接着把剩下的“56个一”平均放到两本相册里，每本相册得到“28个一”。最后把两次的商数合起来。

师：请评价这样计算的合理性和不合理性。

生：合理的地方是根据除法的含义把不会的问题（三位数÷一位数）转换成已经学过的问题（表内除法和两位数÷一位数）。

生：不合理的地方是不容易口算出56（个一）÷2的结果。

师：对的，我们之所以进行变式，就是想把难的问题转化成简单的问题解答，但这样的变式仍然有难度，我们继续看第二位同学的方法，他又是如何想的呢？

生：先把“1个百”平均放到两本相册里，每本相册得到“5个十”。接下来把“5个十”平均放到两本相册里，每本相册得到“2个十”还剩“1个十”。剩下的“1个十”与“6个一”结合成“16个一”，把“16个一”平均放到两本相册里，每本相册得到“8个一”，最后把所有的商数合起来。

生：我不认同他的第一步，把“1个百”平均分成2份，那么“1个百”是一个整体，它无法平均分到两本相册里，我们需要把“1个百”换成“10个十”，“10个十”平均放到两本相册里，每本相册得到“5个十”。

师：对于这种方法，你们有何观点要表达吗？

生：好处是把难的问题转变成可以口算的问题，不好的地方是程序不够简洁。

生：可以直接把“15个十”平均分给两本相册，每本相册有“7个十”还剩“1个十”。

师：“15个十”是怎么得到的？

生：1个百无法平均分成2份，把1个百换成10个十，再加上十位上的“5个十”，一共是“15个十”。

师：这样做的好处是什么？

生：程序更简洁，把两个程序合并成一个程序。

师：谁来完整的描述这个平均分的过程。

生：把156拆分成1个百，5个十，6个一。

先把1个百平均分到两本相册里，因为1个百是一个整体，无法平均分，可以把1个百换成10个十，再加上十位上的5个十，一共15个十，把“15个十”平均放到两本相册里，每本相册得到“7个十”，还剩“1个十”。

把1个十换成10个一，再加上个位上的6个一，一共是16个一，把“16个一”平均分到两本相册里，每本相册得到“8个一”。

最后把每次的商数合起来，也就是70+8=78。

师：如何将此程序转换成竖式呢？这位同学是如何想的？你认同吗？

生：先把“100个一”平均分到两本相册里，每本相册得到“50个一”。还剩56个一没分，接着把“56个一”平均分到两本相册里，每本相册得到“28个一”。

师：请评价这个竖式。

生：这个竖式程序非常简洁，但不容易口算出56÷2的结果。

生：竖式的答案不能一步到位。

师：这位同学又是如何想的呢？

生：“0”是怎么一回事儿呀？

生：“1个百”平均分到两本相册里，因为它是一个整体，无法平均分，因此每本相册得到了“0个百”。

生：哦，我明白了，“0”是需要占位的。

生：我认为这一步不需要写，有点麻烦。“0”在最高位时，不需要占位。不写0，或者写0都不会引起误解。

师：商数的个位或中间出现0，需要写吗？

生：需要。

师：关于这个竖式，还有其它观点吗？

生：“15个十”平均分到两本相册里，每本相册得到“7个十”，还剩“1个十”，也就是分出去了“14个十”，竖式里的“150”可以直接写成“15”，“140”直接写成“14”，这样更简洁，只要对齐位就不会引起误解。

（通过讨论，对于竖式的书写达成了临时性共识。）

第三板块：基于共识，拓展延伸

师：这两个都是“三位数÷一位数”，为什么计算256÷2比156÷2更简单呢？

生：256÷2，百位上的2个百可以直接平均分成2份，但是156÷2，百位上的1个百是一个整体，无法平均分成2份，它需要转化成10个十，再与十位上的5个十合并后，平均分成2份。

师：谁能编一道类似“156÷2”的除法算式？

生：345÷4。

生：345÷5。

……

师：还有同学提出了这个问题，你能帮他解答吗？

生：今天学习的是“三位数÷一位数”，下次肯定就是“四位数÷一位数”，“五位数÷一位数”。

生：我不认同，我认为不需要再单独学习“四位数÷一位数”，“五位数÷一位数”，因为算理都是一样的，此刻我们完全可以解答这类问题。

师：确实如此，“多位数÷一位数”的算理都是一样的，只要你们完全理解了“两位数÷一位数”和“三位数÷一位数”的算理，那么任意一个“多位数÷一位数”就能解决了。

生：接下来可能会学习“两位数÷两位数”，“三位数÷两位数”，“多位数÷两位数”。

生：还会学习“三位数÷三位数”，“多位数÷三位数”。

生：我认为接下来会学习“含0”的除法。

师：这位同学想表达什么呢？

生：被除数含0的“三位数÷一位数”，比如，304÷4，340÷5等。

师：被除数“含0”与“不含0”有什么区别吗？

生：被除数“含0”会更难一点。

师：你太厉害了，明天我们确实要讨论被除数“含0”或商“含0”的问题。

编者按：

关于乘除法教学更详细的介绍解读，请关注今晚（8月11日）20:00宋亚男老师的第二期数学线上讲座。还没加入我们公益讲座群的，请扫下面贞元虞姐姐的微信，让她邀你进入公益讲座群。

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