教学研讨｜5.4.2正弦函数、余弦函数的性质 第1课时（2019版新教材）

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导读：

      对于函数性质的研究，学生已经有些经验.其中，通过观察函数的图象，从图象的特征获得函数的性质是一个基本方法，这也是数形结合思想的应用.由于三角函数是刻画周期变化现象的数学模型，这也是三角函数不同于其他类型函数的最重要的地方，而且对于周期函数，我们只要认识清楚它在一个周期的区间上的性质，那么它的性质也就是完全清楚了，因此，教科书把对周期性的研究放在了首位.另外，教科书通过“探究”，类比以往对函数性质的研究，确定思考方向这是一种思考方法的引导.

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研讨素材一

一、教材分析

教材截图

（考虑到研讨时，部分教师未带2019版课本，这里对教材截个图）

教材分析：

详见前1课时：教学研讨｜5.4.1正弦函数、余弦函数的图象 （2019版新教材）

    本节课是正弦函数、余弦函数图像的继续，本课是正弦曲线、余弦曲线这两种曲线的特点得出正弦函数、余弦函数的性质.

二、教学目标

1.了解周期函数与最小正周期的意义；

2.了解三角函数的周期性和奇偶性；

3.会利用周期性定义和诱导公式求简单三角函数的周期；

4.借助图象直观理解正、余弦函数在[0，2]上的性质（单调性、最值、图象与x轴的交点等）；

5.能利用性质解决一些简单问题

三、教学重点、难点

重点：通过正弦曲线、余弦曲线这两种曲线探究正弦函数、余弦函数的性质；

难点：应用正、余弦函数的性质来求含有cosx,sinx的函数的单调性、最值、值域及对称性.

四、数学学科素养

1.数学抽象：理解周期函数、周期、最小正周期等的含义；

2.逻辑推理：求正弦、余弦形函数的单调区间；

3.数学运算：利用性质求周期、比较大小、最值、值域及判断奇偶性.

4.数学建模：让学生借助数形结合的思想，通过图像探究正、余弦函数的性质。

五、教学过程：见《研讨素材二》

研讨素材二

第1课时

第二部分正弦函数、余弦函数的性质

    (一）正弦函数的周期性

     引导语：根据第一部分问题1获得的研究思路可知，接下来可以利用函数的图象研究其性质了，所谓性质，就是研究对象在变化过程中保持不变的特征，从前面的研究中，我们已经看到，三角函数具有“周而复始”的变化规律，这就是三角函数最重要的性质：周期性。

     问题1:观察单位圆上点的纵坐标这种“周而复始”的变化规律，猜想正弦函数的周期是多少？用代数方法如何解释你的猜想？

师生活动：首先，学生可以根据图象说出正弦函数的周期等等，教师适当启发，引导学生进一步说出等等，直至,即正弦函数的周期有无穷多个，然后，学生利用公式一从代数的角度解释猜想的正确性，最后，教师给出周期函数的定义，并让学生回答正弦函数是否为周期函数，若是，则指出其周期.

   追问(1)

...,

  那么，是正弦函数y=sinx的一个周期吗？为什么？这种情况与说是正弦函数的周期有什么不同？(不是，比如.根据公式一可知，对于正弦函数定义域内的每一个自变量，当自变量的值每增加个单位时，函数值都重复出现.)

  追问（2):

在正弦函数的所有正周期中，是否存在一个最小的正数？

   师生活动：教师启发学生观察正弦函数图象获得猜想：.然后举例说明，对于任意的,都可以找到一个x。,使得因此正弦函数的最小正周期是

    教师指出，在后续的学习中，如果不加特别说明，那么所涉及的周期，一般都是指函数的最小正周期.

   设计意图：直观理解正弦函数的周期性，了解最小正周期。

    追问（3):

    请你阅读教科书5.4.2节“1.周期性”中的内容，回答下列问题：什么叫周期函数？什么叫周期？什么叫最小正周期？如果一个函数是周期函数，那么它满足的代数关系是什么？图象特征是什么？

    追问（4):

  知道了一个函数的周期，对研究它的图象与性质有什么帮助？

   师生活动：明确周期函数的定义，并让学生回答正弦、余弦、正切函数是否为周期函数，如果是，分别指出它们的周期和最小正周期.对于追问（4),学生先独立完成，之后进行展示交流，在此基础上教师进行梳理总结。

   设计意图：了解一般周期函数及相关概念，为下面的研究作铺垫。

     (二）正弦函数、余弦函数的其他性质

    问题2:对于一般的函数，我们通常要研究哪些性质？观察正弦函数、余弦函数的图象，完成下面的表格. 

    师生活动：教师布置该任务后，学生通过观察图象，进行直观想象、数形结合，完成上述表格；之后互相交流讨论，进行修改完善，并进行展示交流，注意，在此环节，只是利用图象得出结论，下一环节才从代数的角度分析.

在完成表格时，因为三角函数的周期性和图象的丰富的对称性，学生在猜想并写出单调区间、最值点时可能会产生遗漏，在写出对称轴、对称中心时可能会有疑惑。对此，在学生展示交流过程中，教师可以通过如下追问促进学生的思考，帮助他们理解，并借助信息技术，引导学生进行直观想象.

   追问（1):

    如何理解点也是正弦函数y=sinx的对称中心？如何理解直线是正弦函数y=sinx的对称轴？

    追问（2):

    逐一列举正弦函数y=sinx的单调递增区间，它们与区间之间有怎样的关系？

       设计意图：按照已有的研究方案，落实函数研究的方法和程序；培养学生运用类比、对比的方法研究对象的意识和能力.

    问题3:

     阅读教科书5.4.2节“2.奇偶性”“3.单调性”“4.最大值与最小值”的内容，

   回答下列问题：

   (1)如何证明正弦函数、余弦函数的奇偶性？知道一个函数的奇偶性，对研究它的图象与性质有什么帮助？

     (2)分别选择了哪个区间研究正弦函数、余弦函数的单调性？为什么？

   师生活动：教师布置任务后，学生阅读教科书，回答问题.

  设计意图：引导学生重视教科书的阅读，在直观感知的基础上系统、规范地认识函数的性质，并获得精准规范的表达，培养思维的严谨性。

   以上内容大部分选自《普通高中教科书教师教学用书数学必修第一册》，版权归原作者、原出版者所有，摘录、转载是为没有带纸质用书时研讨使用。

第2课时

待续......

研讨素材三

三角函数的诱导公式

正弦函数和余弦函数的图像与性质

1.4.2  正弦函数、余弦函数的性质

正切函数的性质与图象

1.5函数y＝Asin(ωx+φ)的图象

1.6  三角函数模型的简单应用

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5.1.1 任意角 （2019版新教材）5.1.2弧度制 （2019版新教材）
5.2 三角函数的概念（3课时，单元教学设计  2019版新教材）
5.3诱导公式 （2课时，单元教学设计  2019版新教材）5.4.1正弦函数、余弦函数的图象 （2019版新教材）

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