教学研讨 | 正弦函数和余弦函数的图像与性质

请关注阳光备课 2023-02-05

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说明：今天的研讨素材前2个是历届全国高中青年数学教师优秀课获奖作品，后面的2个课件也挺好的（非配套课件），请大家认真体会其设计思路吧，内容由网上搜索得到，版权归原作者所有，在此向作者致谢！

▍来源：网络

研讨素材一

《正弦函数和余弦函数的图像与性质(1)》

教学设计说明

课题：正弦函数和余弦函数的图像与性质(1)

教材: 上海市高中数学课本高一年级第二学期（上海教育出版社出版）

教师: 上海市向明中学王建华

一、教材地位和作用

本节课的内容是选自上海教育出版社出版的高中一年级第二学期（试用本）中第六章《三角函数》第一节。三角函数是把已经学习过的三角比的知识和函数知识结合起来，是刻画生活中周期现象问题的典型的函数模型，在高中数学知识体系中占有十分重要的地位。本节课作为《三角函数》开篇的第一课时，主要解决了正弦、余弦函数的定义和其图像的画法问题，为后面更好地学习三角函数的性质打下牢固的基础。

二、教学目标分析

教学目标:

1．掌握正弦函数和余弦函数的概念。

2．学会利用单位圆中的正弦线作出正弦函数在上的图像的方法；并正确运用五点法作出正弦函数在上的大致图像。

3．利用诱导公式，通过图像平移作出余弦函数的图像。

4．进一步形成数形结合的思想方法，以及分析问题、解决问题的能力。

教学重点、难点:

重点：五点法作出正弦函数在上的大致图像；通过图像平移作出余弦函数的图像。

难点：利用单位圆中的正弦线作出正弦函数在上的图像。

三、教学问题诊断

高一学生对函数概念的理解本身就是难点，再加上三角比知识，就要求学生有较高的理解和综合的能力。关于作图方面，在前面函数的章节中，学生已经学习了画函数图像的一些方法，如幂函数、指数函数、对数函数等可以用列表描点法、图像平移翻折等方法作出其图像。基于上述情况，预测学生对于本节课的内容，会有以下的一些困难：

1．概念的引出，把三角与函数两个概念结合起来，正确理解正弦函数和余弦函数。

2．利用单位圆的正弦线作出正弦函数在上的图像。

3．正确掌握五点法的作图步骤与要求。

4．按照正弦函数的作图方法，学生自己解决画余弦函数图像的一些方法。

四、教学特色

1．引例的设计意图

学生在物理学中已学习过圆周运动，创设摩天轮情境更能贴近学生实际，在解决这一问题的过程中，学生经历了运用数学模型来刻画周期现象的整个过程，既体会到三角函数的本质又调动了学生学习积极性。另外，从实际问题中抽象出的单位圆进行研究，起到了承上启下的作用，既复习了三角比的内容，又为正弦函数作图时所用到的正弦线打下伏笔。

2．处理一般方法与特殊方法的关系

（1）在讲到作正弦函数的图像时，突出函数作图的一般方法（列表求值）与三角函数特殊作图方法（利用单位圆中的三角函数线）相结合，从代数和几何的角度实现描点。

（2）在学生掌握了正弦曲线的形状后，利用连续函数的特点，抓住一个周期内五个关键点的位置进行五点作图的教学。使学生了解一般中蕴含特殊，用特殊体现一般的辩证关系。

3．以问题驱动方式贯穿整节课

以问题调动学生思维，以问题带动课堂教学。充分体现了教师主导作用，学生自主探究的教学方法。主要问题例举如下：

其一：正弦函数的概念

引例解决后：得，教师提问：“这是否为函数关系式？”

〖说明〗启发学生从函数定义去思考。

当学生肯定了引例中是函数关系式后，教师再问：“如果把t改为x，把h改为y，将定义域范围变为R，那么还是函数吗？”

〖说明〗这样就从引例很自然的过渡到了正弦函数的定义。

其二：作正弦函数的图像

在开始引入正弦函数作图时，教师提问：“如何作出正弦函数的图像？”

〖说明〗让学生回忆对于函数作图的一般方法。

在肯定了列表描点法是作函数图像的一般方法之后，教师再问：“那么，是否还有其他作图的方法？能不能不算出正弦值？三角比中的正弦三角比是否有其几何意义呢？”

〖说明〗体现一般与特殊的关系，代数与几何的两个不同的角度思考问题。

在引出利用单位圆的正弦线作图之后，教师再问：“在作图中，我们是否直接作出整个定义域上正弦函数的图像？”

〖说明〗目的是为了简化作图，同时也体现了三角函数是解决周期现象的典型的数学模型。

在学生已经了解了正弦函数图像的大致形状，也发现这是个连续的函数图像之后，教师再问：“那么，当作图的精确度要求不太高的时候，我们是否可以通过确定一些关键点的位置来快速的作出正弦函数的大致图像？请再来观察一下刚才在上作的图像，其中有哪几个关键点？并请说出它们的坐标。”

〖说明〗解决问题要抓住事物的主要矛盾，这也是为了简化作图。

其三：作余弦函数的图像

在掌握了正弦函数的作图方法后，教师提问：“如何作出图像？”，学生思考后教师再问：“正余弦之间关系密切，那么能不能利用正弦函数的图像通过图形变换，来作出余弦函数的图像呢？”

〖说明〗引出余弦函数的图像可以说是本节课的高潮部分了。在这里，学生们可以畅所欲言，想出各种解决方法，也是学生综合能力地体现。

4．计算机辅助教学与教师板书示范相结合

本节课的重、难点是作函数的图像。因此，在教学中借助几何画板制作的动态作图演示，具有非常形象的效果。通过课件的动态表现，使抽象的问题具体化、形象化，有利于学生的理解和认知。

数学课的教学离不开黑板上的规范板演，通过黑板的例题示范，弥补了课件演示一闪即过的不足，加深学生对正弦函数的印象，特别是五点确定以后，如何用光滑的曲线描点，在描点中应该注意图像递增递减的趋势，以求实现多媒体和传统黑板教学两者的相互结合，互为补充，发挥彼此最大优势。

五、预期效果分析

在本堂课的教学中，以问题驱动为主，师生共同进行分析探究。着重体现了学生的独立思考，小组讨论和亲手体验作图的整个过程。教师通过提问、课件动态展示、黑板规范板书、学生练习点评等等多种教学形式，组织学生积极参与课堂活动，将教与学有效地结合起来。从思维深度上和动手实践上，充分激发了学生的学习和钻研兴趣，调动了学习热情。

附：简案

教学环节	教学过程	师生活动
创设情景引入概念	引例：如图，质点在圆周上作逆时针的匀速圆周运动。设半径r为1个单位长，角速度ω=1弧度/分钟，当时刻时，在处，求经过t（）分钟后，到平台所在平面的相对高度h与t的关系式。	教师引导学生共同分析。
讲授新课探究方法	1．正弦、余弦函数的定义正弦函数。余弦函数。 2．正弦、余弦函数的图像（1）正弦函数的图像思考：如何作出正弦函数的图像？探究：借助单位圆中的正弦线作出正弦函数在上的图像，再作出正弦函数在R上的图像。（2）五点法思考：是否可以通过确定一些关键位置的点来作出正弦函数在上的大致图像？（3）余弦函数的图像探究：如何作出余弦函数图像？	教师引导学生共同探究。
例题示范练习巩固	例题：作出函数上的大致图像。练习：作出函数上的大致图像。	教师与学生共同完成例题，并纠正常见错误，学生通过练习加以巩固。
课堂小结提炼精华	小结：知识点、思想方法。	学生小结，教师总结。
课后作业	作业：略

研讨素材二

《函数y=Asin(ωx+φ)的图象(第二课时)》说课稿

西安高新第一中学程霖

我说课的内容是人教版／全日制普通高级中学教科书（必修）／第一册（下）第四章第九节《函数y=Asin(ωx+φ)的图象》第二课时．

我将从教学理念；教材分析；教学目标；教学过程；教法、学法；教学评价六个方面来陈述我对本节课的设计方案．

一、教学理念

新的课程标准明确指出“数学是人类文化的重要组成部分，构成了公民所必须具备的一种基本素质．”其含义就是：我们不仅要重视数学的应用价值，更要注重其思维价值和人文价值．

因此，创造性地使用教材，积极开发、利用各种教学资源，创设教学情境，让学生通过主动参与、积极思考、与人合作交流和创新等过程，获得情感、能力、知识的全面发展．本节课力图打破常规，充分体现以学生为本，全方位培养、提高学生素质，实现课程观念、教学方式、学习方式的转变．

二、教材分析

三角函数是中学数学的重要内容之一，它既是解决生产实际问题的工具，又是学习高等数学及其它学科的基础．本节课是在学习了任意角的三角函数，两角和与差的三角函数以及正、余弦函数的图象和性质后，进一步研究函数y＝Asin(ωx+φ)的简图的画法，由此揭示这类函数的图象与正弦曲线的关系，以及A、ω、φ的物理意义，并通过图象的变化过程，进一步理解正、余弦函数的性质，它是研究函数图象变换的一个延伸，也是研究函数性质的一个直观反映．共3课时，本节课是继学习完振幅、周期、初相变换后的第二课时．

本节课倡导学生自主探究，在教师的引导下，通过五点作图法正确找出函数y＝sinx到y＝sin(ωx+φ)的图象变换规律是本节课的重点．

难点是对周期变换、相位变换先后顺序调整后，将影响图象平移量的理解．因此，分析清不管哪种顺序变换，都是对一个字母x而言的变换成为突破本节课教学难点的关键．

依据《课标》，根据本节课内容和学生的实际，我确定如下教学目标．

三、教学目标

［知识与技能］

通过“五点作图法”正确找出函数y＝sinx到y＝sin(ωx+φ)的图象变换规律，能用五点作图法和图象变换法画出函数y＝Asin(ωx+φ)的简图，能举一反三地画出函数y＝Asin(ωx+φ)＋k和y＝Acos(ωx+φ)的简图．

［过程与方法］

通过引导学生对函数y＝sinx到y＝sin(ωx+φ)的图象变换规律的探索，让学生体会到由简单到复杂，特殊到一般的化归思想；并通过对周期变换、相位变换先后顺序调整后，将影响图象变换这一难点的突破，让学生学会抓住问题的主要矛盾来解决问题的基本思想方法．

［情感态度与价值观］

课堂中，通过对问题的自主探究，培养学生的独立意识和独立思考能力；小组交流中，学会合作意识；在解决问题的难点时，培养学生解决问题抓主要矛盾的思想．在问题逐步深入的研究中唤起学生追求真理，乐于创新的情感需求，引发学生渴求知识的强烈愿望，树立科学的人生观、价值观．

四、教学过程（六问三练）

1、设置情境

设计意图：正中“五点作图法”的要害，既复习了旧知，又为学生准确使用本节课将要用到的工具提供必要的保障．

答案：将ωx看作一个整体，令其分别为0，，p，，2p．

设计意图：复习巩固已学三种基本变换，同时为导入本节课重难点创设情境．学生回答后，追问一般情况即：A、ω、φ的作用．此时部分学生，特别是基础薄弱和数学表达能力欠缺的学生会出现困难，会因为回答不上而觉得紧张，在不影响突破本节课重难点的前提下，为了避免刚上课就给他们带来心理压力，借助大屏幕以填空题的形式清晰展现答案．

答案：分别把正弦曲线上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍（横坐标不变）；横坐标缩短为原来的（纵坐标不变）；向左平行移动个单位长度得到的．

2、探求、研究

新的教学理念下，要勇于，更要善于把问题抛给学生，激发学生探求知识的强烈欲望和创新意识．

设计意图：

（1）激发兴趣、提供平台学生在碰到这个问题时，很感兴趣，因为它和问题2很类似，因此首先会猜想“左移个单位长度”，为了验证自己的想法，通过“五点作图法”画图分析，最后会发现猜想是错误的，于是更加激发他们强烈的好奇心和求知欲，很快掀起本节课的第一次高潮，给学生搭建起一个动手探究、实践的平台．

（2）分化难点、突出重点探求函数y＝sinx到y＝sin(ωx+φ)的图象变换规律是本节课的重难点，要分化此难点，可分步探求函数：

①y＝sinωx到y＝sin(ωx+φ)

②y＝sin(x+φ)到y＝sin(ωx+φ)

的图象变换规律．学生最难理解和最易出错的就是理解①y＝sinωx到y＝sin(ωx+φ)的图象变换规律，因此从特例出发，具有直观性，便于学生操作，从而达到分化难点、突出重点的目的．

（3）探究本质、寻求关键点当学生找到此题的答案后，自然就会思考这个问题的实质是什么？突破此难点的关键是什么？因此着眼x的变化，把ωx+φ变形为ω()，看清是把x变成了就是解决问题的关键点．

（4）培养学生的合作意识和合作能力在本题的解决过程中，首先要求学生独立思考，然后引导学生小组交流讨论，最后让小组代表总结，并汇报探求过程中得到的经验或出现的问题以及采取的具体措施和效果，再由组员或其他同学补充、质疑、评价或解答，培养学生的合作意识和合作能力．

突破措施：

（1）分析特殊点坐标、寻求x变化引导学生分析函数y＝sin2x和y＝sin(2x+)在一个对应的周期内，y取同一数值如：时，x分别取，0，因此首先确定是左移个单位长度，其根本原因是x变成了．

（2）课件演示合作交流完成后，通过课件直观演示，并引导学生总结规律，从而突出本节课的重点并突破难点．

（3）巩固练习

（4）独立完成与合作交流相结合

在问题3得以充分解决的前提下，此问题迎刃而解．

设计意图：通过实例综合以上两种变换，重点是比较两种方法平移量的区别和导致这一现象的根本原因，即x的变化，并由此导出一般规律．

方法有二：

①先平移变换再周期变换

先把函数y＝sinx的图象向左平移个单位长度，x变成了x+，得到y＝sin(x+)的图象；再把所得图象横向收缩为原来的，x变成了2x，得到y＝sin(2x+)的图象．

②先周期变换再平移变换

先把函数y＝sinx的图象横向收缩为原来的，x变成了2x，得到y＝sin2x的图象；再把所得图象向左平移个单位长度，x变成了x+，得到y＝sin2(x+)＝sin(2x+)的图象．

升华知识、培养能力

设计意图：（1）培养学生变换的逆向思维能力；（2）通过改变函数名考察学生对变换实质的理解；（3）考察变换和使用诱导公式综合能力；（4）考察变换和使用辅助角公式综合能力；（5）通过抽象函数考察学生对变换实质的理解．学生对这种综合题十分重视，觉得难但经过努力后又可以攻克，因此将满足学生追求真理，乐于创新的情感需求和渴求知识的强烈愿望，此处将掀起本节课的第二次高潮．

设计意图：

在前两个问题解决的基础上，直接找一般规律．

在分析清楚共有六种变换方法后，得出一般变换方法：

小结（由学生小结，教师补充、规范）：

本节课主要学习了通过“五点作图法”正确找出函数y＝sinx到y＝sin(ωx+φ)和y＝Asin(ωx+φ)的图象变换规律．其难点在于正确理解周期变换、相位变换顺序改变后，图象平移的规律．通过本节课的学习，同学们要学会善于探索、合作、独立、自信、创新．

作业布置：习题4.9的第2题（3）（4），第3、4、5题．

五．教法、学法

教法

教学的目的是以知识为平台，全面提升学生的综合能力．本节课突出体现了以学生能力的发展为主线，应用启发式、讲述式引导学生层层深入，培养学生自主探索以发现问题、分析问题和解决问题的能力，注重利用非智力因素促进学生的学习，实现数学知识价值、思维价值和人文价值的高度统一．

学法

在教师的引导下，积极、主动地提出问题，自主分析，再合作交流，达到殊途同归．在思维训练的过程中，感受数学知识的魅力，成为学习的主人．

六．教学评价

“评价不是为了证明，而是为了促进”，本节课在引导学生探究、合作以及交流的过程中，关注学生的认知心理过程，关注学生的发展，淡化终结性评价和评价的筛选评判功能，强调过程评价、自我评价和评价的教育发展功能，教师适时、公正的评价和学生自我评价促进了学生的自我反思和再认识，尤其是在“问题3，练习2”中思维活跃的学生应给予及时肯定．

本节课教学注重了层次性，对基础薄弱的学生在“问题1，2，4，5，6和练习1，3”中多给他们创造机会，力争每一个层次的学生都能有机会得到积极的评价，因为这是让他们保持自信，爱好数学，善于钻研从而学会学习的最好培养时机．

以上就是我对本节课的设计．新理念下数学课堂教学的探索是一个长期的过程，充分挖掘数学的应用价值、思维价值和人文价值，需要我们教育工作者的不断创新，与时俱进．

谢谢！

研讨素材三