初一数学《角》知识点精讲
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知识点总结
知识1角的定义
1.角的静态定义
角由两条具有公共端点的射线组成,两条射线的公共端点是这个角的顶点.如图,射线OA,OB是这个角的两条边,点0是这个角的顶点.
2.角的动态定义
角也可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形.如图,这个角可以看作由射线OA绕点0按逆时针方向旋转α到射线OB的位置形成的.
3.角的分类
根据角的度数,角可以分为锐角、直角、钝角、平角和周角.
锐角:大于0°而小于90°的角叫做锐角.
直角:90°的角,即射线OA绕点0旋转,当终边与始边垂直时所成的角.
钝角:大于90°而小于180°的角叫做钝角.
平角:180°的角,即射线OA绕点0旋转,当终边在始边OA的反向延长线上时所成的角.
周角:360°的角,即射线OA绕点0旋转,当终边与始边重合时所成的角.
知识点2角的表示方法
知识3角的单位及角度制
(1)度量仪器:量角器.
(2)度量单位:度、分、秒.
把一个周角360等分,每一份就是1度的角,记作1°;把1度的角60等分,每一份叫做1分的角,记作1\\\\\';把1分的角60等分,每一份叫做1秒的角,记作1″.
知识4 角平分线
一般地,从一个角的顶点出发,把这个角分成两个相等的角的射线,叫做这个角的平分线.如图,射线OC是∠BOA的平分线,∠BOC=∠COA=1/2∠BOA.
知识5余角和补角
(1)余角:如果两个角的和等于90°(直角),就说这两个角互为余角,即其中每一个角是另一个角的余角.
(2)余角的性质:同角(等角)的余角相等.
(3)补角:如果两个角的和等于180°(平角),就说这两个角互为补角,即其中一个角是另一个角的补角.
(4)补角的性质:同角(等角)的补角相等.
知识6方向角
方向角是以正北、正南方向为基准,描述物体运动方向的角.如图,射线OA,OB,OC,OD的方向可分别表示为:北偏东45°,北偏西60°,南偏西45°,南偏东20°.
复习提纲
一、概念整理
1．角的概念：
有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，公共端点是角的顶点，两条射线是角的边
角也可以看成是一条射线绕着它的端点旋转而成的．
2．角的表示方法：
(1)用三个字母及符号“∠”来表示．
(2)以某点为顶点的角只有一个时，也可以用顶点的这一个大写字母来表示这个角．
(3)用一个数字或希腊字母表示一个角．
3．方位角的基准方向：
以南北为基准方向：南偏东、南偏西、北偏东、北偏西
4．度分秒的换算：
1°＝60′＝3600″
6．角平分线定义：
若一条射线把一个角分成两个相等的角，那么这条射线是这个角的角平分线．
7．角平分线的书写：
二、专题巩固
1、概念剖析
例1：
判断正误：
(1)平角是一条直线．
(2)周角是一条射线．
(3)两个锐角的和是钝角．
(4)放大镜下，一个角变大了．
(5)∠AOB和∠BOA是同一个角．
(6)如图所示，图中∠1可表示成∠A，∠2可表示成∠D，∠3可表示成∠C．
解析：
(1)错误，角和直线是两个完全不同的概念，只是平角看似一条直线上有一个端点，实际平角应该如下表示：
(2)错误，角和射线是两个完全不同的概念，只是周角看似一条射线，实际周角应该如下表示：
(3)错误，如锐角30°＋40°＝70°，还是锐角，30°＋60°＝90°，是直角．
(4)错误，放大镜下，角度不变，角的大小只与两条边张开的程度有关．
(5)正确，只要保证中间字母相同，第一与第三个字母交换位置，仍是同一个角．
(6)错误，∠1应该表示成∠DAC，∠2应该表示成∠ADC，∠3应该表示成∠ECF．
2、两解问题
例2：
已知∠AOB＝45°，∠BOC＝30°，求∠AOC的度数．
分析：
由于本题不清楚射线OC的位置，故需分两种情况讨论，即OC在∠AOB内部，或在其外部．
解答：
①射线OC在∠AOB内部，
∠AOC＝∠AOB－∠BOC＝45°－30°＝15°，
②射线OC在∠AOB外部，
∠AOC＝∠AOB＋∠BOC＝45°＋30°＝75°，
综上，∠AOC＝15°或75°．
变式：
已知∠AOB＝60°，其角平分线为OM，∠BOC＝20°，则∠MOC＝____°
分析：
我们可以根据题意，画出图形，分两种情况讨论：射线OC在∠AOB内部和外部．
解答：
3、度分秒的转化
例2：
(1)12.53°用度、分、秒表示为__________．
(2) 56°25′12″＝__________°
(3) 18°37′55″＋39°46′23″ ＝__________°
(结果用度表示)．
分析：
度分秒的转化是一个难点，但是只需掌握一定的方法，即可手到擒来．
首先，由度转化为度分秒，需要一步一步乘，什么意思呢？先把度数的小数部分×60，转化为分，再把分的小数部分×60，转化为秒．
由度分秒转化为度，则可以分别直接除，即把分÷60，转化为度，同时把秒÷3600，也直接转化为度，然后都化成小数，不能化成有限小数的，保留带分数形式，加上括号．
对于度分秒的加减法，注意度与度，分与分，秒与秒之间运算，60一进位．
解答：
三、难点提升
1、方程思想
例1：
已知∠AOB＝45°，∠BOC＝30°，求∠AOC的度数．
分析：
由于本题不清楚射线OC的位置，故需分两种情况讨论，即OC在∠AOB内部，或在其外部．
解答：
设∠BOD＝x°，
∵∠AOC＝(4x－15)°，
∵∠COD＝90°，
∴∠AOC＋∠BOD＝∠AOB－∠COD＝90°
x＋(4x－15)＝180－90，
解得：x＝21，
答：∠BOD＝21°
变式：
如图，已知∠COB＝2∠AOC，OD平分∠AOB，且∠COD＝29°，求∠AOB的度数．
分析：
显然，本题依然可以利用方程求解，设∠COB＝x°，借助已知条件，用含x的代数式表示出∠AOB度数，进而表示出∠COD度数，利用∠COD＝29°，可建立方程，再求∠AOB．
解答：
2、双角平分线问题
例1：
已知∠AOB＝90°，∠BOC＜90°，OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，求∠MON的度数．
分析：
显然，这里的∠AOB是确定的，而新引入的射线OC不确定，因此，我们需要分类讨论，双角平分线问题与双中点问题十分类似，
我们首先关注被平分的角，∠AOC，∠BOC中，哪条边出现了两次，即公共边，显然是OC，
那么∠MON的两边，OM，ON，必然要和OC组成∠MOC和∠NOC，而∠MON必然是这两个角的和或差．
至于何时取和，何时取差，我们可以分别作图，根据OC的位置不同，分别讨论求解．
解答：
小结
双中点问题和双角平分线问题，可以用一句话概括，
点在线段上，射线在角内部，一半加一半，
点在线段延长线上，射线在角的外部，一半减一半，
我想，你应该能好好体会．至于上一题，如果∠BOC＞90°，又是怎样的情况呢？就作为思考题吧！
思维导图
一.角的相关概念
直角
平角
周角
余角
补角
二.表示
顶角
三个角
三.角的性质
四.均分
两份
三份
五.度量
转换
单位
工具
图文导学
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