有为的青年教师何睦：高中数学章节起始内容的价值及其实现

Original 何睦文卫星数学生态课堂 2022-07-17

本文发表于核心期刊《数学通报》2018年8月

开号宗旨:为数学教师提供交流、学习、研究的平台，既关注高中数学解题研究，也关注教法和学法研究。

文卫星，上海市特级教师。践行“生态课堂”，做到“两尊重”----即尊重知识的发生、发展规律，尊重学生的认知规律；把握“两个度”----思想（哲学或数学）高度和文化厚度。

在《数学教育学报》《数学通报》《中学数学教学参考》等近50家报刊杂志发表论文或文章约330多篇。

专著（代表作）：《超越逻辑的数学教学----数学教学中的德育》（2009）、《文卫星数学课赏析》（2012）、《挑战高考压轴题高中数学精讲解读篇》（1-10版，2009-2019）、《上海高考好题赏析》（2019）。

近年为北京、上海、天津、江苏、浙江、福建、广东、贵州、河南、河北、四川、云南、新疆、宁夏、安徽、山西、重庆等地师生讲学。

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高中数学章节起始内容的价值及其实现

何睦

2004年秋季，新一轮的高中课程改革首先在山东、广东、海南和宁夏四省区进行实验，标志着我国第八轮高中课程改革正式启动. 随着普通高中新课程改革的推进，出现了基于课程标准的不同教材，改变了“一纲一本”的局面. 无论是哪个版本的课标教材，在每一章的开头都有一个相似的设计，即教材在每一章的起始都有一段话，还有与内容配套的图片，有的教材还有与之相应的名人名言和诗词. 这些内容与一般教学内容不同，不是以单独课题出现，而是放在一章之前，成为一章的起始内容. 章节起始内容作为教材的重要组成部分，应该有其独特的价值. 因此，章节起始内容包括哪些基本内容，章节起始内容有怎样的价值以及如何实现章节起始内容的价值等问题是亟待开展的重要议题. 本文对苏教版高中数学教材章节起始内容进行梳理，并在梳理的基础上分析章节起始内容的基本构成、特点及其价值，并对如何实现章节起始内容的价值作出一些有益的思考.

一、章节起始内容的组成要素

我们将每一章节开头的内容统称为章节起始内容. 不等式是高中数学的重要内容，我们以苏教版高中数学教材^[1]“不等式”一章为例来考察章节起始内容的基本组成要素.

苏教版教材“不等式”一章的开头，首先给出了一张图片，图片呈现的是一次帆船比赛，在帆船比赛中，大赛组委会根据每只船队所用的时间长短来决定比赛的名次，这幅图片中隐藏着本章要研究的重要模型——不等关系（不等式）.我们生活在大千世界里，无论是现实世界还是日常生活中都充斥着大量的不等关系，图片所展现的就是一个在我们身边再平常不过的例子：比赛排名.紧接在图片之后，是微分几何大师陈省身先生的一句名言：“我们欣赏数学，我们需要数学”，再一次揭示了我们本章要研究的是一个能刻画现实世界和日常生活的数学模型. 在第一节“不等关系”开始之前，教材还呈现了这样几段文字：

“在现实世界和日常生活中，存在着大量的不等关系，不等式是刻画不等关系的数学模型.

我们已利用不等式的基本性质求得一元一次不等式的解集，同时，研究了一元一次不等式与一次函数及一元一次方程三者之间的关系.

当我们面临新的不等式时，例如，一元二次不等式、二元一次不等式等，我们自然会想到，曾经用过的数学思想方法还能继续运用吗？”

为了研究方便，我们将每一章开头的图片称为章头图，章头图往往能展示本章内容在自然、生活和科学技术中的相关应用，以传播数学文化和展现数学应用为主要目的. 我们将每一章与章头图配套的文字说明称为章头语，章头语往往是学生学习的“方向仪”，是本章的“剧情简介”，通常会对本章所涉及到的内容和思想方法做一个简要的介绍，对于学生开展本章的学习具有重要的作用. 教材还配有名人名言，名人名言不仅展示了数学知识的建构过程，还能展现活生生的数学家形象，利于增强学生与数学知识之间的亲切感. 由此可见，章节起始内容主要包括章头图、章头语和名人名言三部分.

二、章节起始内容的价值

苏教版教材的章节起始内容全面而有特色，因此，以苏教版高中数学教材作为考察对象，可以帮助我们很好的认识和探讨章节起始内容的价值. 以下我们梳理苏教版高中数学的8本课标教材（必修5本，选修2系列3本，共23个章节）章头图、章头语、名人名言的数量及特点，并在梳理的基础上分析章节起始内容的价值.

2.1 章头图的选用数量及其特点

苏教版高中数学课标教材的章头图种类丰富，8本教材的23个章节中共有23副章头图，一般放置在章节标题之下，这些章头图是章节起始内容的基本要素. 从图片的性质来看，章头图绝大多数都属于实景图片类，主要以呈现贴近学生生活，能真实的反映本章所要揭示的数学知识基本特征的图片.

根据章头图的内容和特点，我们将章头图分成两种类型.

第一类，主题揭示类.这一类的章头图，以图片的形式直接揭示本章要研究的数学对象.例如必修1“集合”章节的章头图，呈现的是蓝蓝的天空下，一群大象在茫茫的草原上悠闲地走动，象群是“同一类对象汇集在一起”，可以直接揭示本章“集合”将要研究的内容.

第二类，知识逻辑类.这一类的章头图，虽没有直接揭示本章要研究的数学对象，但图中隐含了本章知识的逻辑框架以及知识展开的逻辑线路.以必修3“统计”章节的章头图为例，教材的章头图呈现的是一大片麦穗田，如果我们要研究施用某种新化肥后小麦产量的变化情况，以了解这种新化肥是否研制成功.这里面要解决几个问题：

（1）对所有小麦都进行调查研究显然不那么现实，既费时又费力，因此，我们需要对小麦田中的小麦进行抽样调查.因此，首先要解决的问题是：如何抽样才能使得样本能符合调查的需求？

（2）有了样本，但是样本的数据是杂乱无章的，因此，第二步要解决的问题是对搜集的样本数据进行整理.

（3）样本有了，数据也整理好了，最后就需要对整理好的数据进行分析，通过分析最终了解该种化肥是否研制成功.

这样的逻辑思路刚好构成了本章的编写线路“抽样方法——总体分析的估计——总体特征数的估计——线性回归方程”，这幅图可以很好的帮助学生了解全章的逻辑框架，明晰章节的知识架构.

无论是主题揭示类的章头图还是知识逻辑类的章头图，都具有以下价值：

第一，能给学生以先入为主的直观感知，自然地引出本章要学习的数学知识.章头图一般都能准确的包含本章要探讨的数学对象.如“集合”章头图所展现的在茫茫的草原上悠闲走动的象群，给学生以“集合”的直观感受；如“平面解析几何初步”章头图所展现的是圆拱梁的图片，给学生以“圆”或“曲线”的直观感受.

第二，章头图对于学生明晰数学知识的逻辑结构也有着十分重要的作用.比如，“统计”章头图，如能借图发挥，可以很好的帮助学生了解全章的逻辑框架，明晰章节的知识架构.章头图在一定程度上能建立新旧知识之间的内在联系，能有效的激活学生的已有认知，建立起新旧知识之间的联系.

2.2 名人名言的选用数量及其特点

苏教版高中数学课标教材中，选用了不少名人名言，这些名人名言放置在每一章的章头图之后，章头语之前，成为章节起始内容不可或缺的组成部分.8本课标教材23个章节中，必修1“函数”章节有2条名人名言，其余章节都只有1条名人名言，共有24条名人名言.名人名言对于学生知晓章节知识、了解章节渗透的数学思想方法、体会数学学科的精神和价值都有着重要的作用.

根据刘洪璐老师的相关分类^[2]，可以将名人名言分成4种不同的类型：

第一类，价值阐述类，有4条.价值阐述类的名人名言主要指出数学知识、数学学科的价值，利于学生进一步体会数学知识及数学学科的价值.如“函数”一章恩格斯的名言：“数学中的转折点是笛卡尔的变数.有了变数，运动就进入了数学；有了变数，辩证法就进入了数学.”揭示了函数知识的价值；“圆锥曲线与方程”一章M•克莱茵的名言：“解析几何彻底改变了数学的研究方法.”则揭示了解析几何分支学科的学科价值.

第二类，内容解读类，有5条.内容解读类的名人名言主要结合具体章节内容进行解读，可以帮助学生理解章节内容的知识特点和诞生背景.如“三角函数”一章August De Morgan的名言：“Trigonometry contains the science of continually Undulatingmagnitude.”揭示了三角学知识可以刻画自然界中起伏不断的周期变化的知识特点，如“概率”一章拉普拉斯的名言：“概率论的诞生，虽然渊源于靠运气取胜的游戏，但在今天，却已成为人类知识的最重要的一部分.”则揭示了概率论知识产生的背景.

第三类，方法指要类，有5条.方法指要类的名人名言主要讲解数学学习方法和思维方法，可以提前告知学生章节知识的学习方法和思维方法.如“推理与证明”一章G•波利亚的名言：“创造过程是一个艰苦曲折的过程.数学家创造性的工作是论证推理，即证明.但这个证明是通过合情推理，通过猜想而发现的.”则告知学生猜想和证明是数学学习的双翼，这两种方法都是数学发现的重要方法和思想源泉，既要学证明，也要学猜想.

第四类，观念引领类，有10条.观念引领类的名人名言针对整个数学学科或数学知识进行宏观的观念性的总结，具有较强的抽象性、概括性和引领性，可以起到数学思想启迪和数学观念的引领作用.如“集合”一章狄尔曼的名言：“数学也是一种语言，从它的结构和内容来看，这是一种比任何国家的语言都要完善的语言.通过数学，自然界在论述；通过数学，世界的创造者在表达；通过数学，世界的保护着在讲演.”,给我们传达的信息是：数学是一种语言，数学语言是世界的通用语言.正因为有了数学语言，才能使得数学能够广泛的传播以及迅猛的发展.

2.3 章头语的选用数量及其特点

苏教版高中数学课标教材在每一章的章头语和名人名言之后，都配备了章头语.必修系列和选修系列8本教材的23个章节中共有23段章头语.以选修2-1“圆锥曲线与方程”一章的章头语为例：

“德国著名天文学家开普勒发现的行星运动三大定律揭示了行星运动的规律，其中的第一定律指出：太阳系中的每个行星都在某个椭圆上运动，这些椭圆都以太阳为一个焦点.

彗星的运行轨道，有些是椭圆，也有些是抛物线，还有些是双曲线.

炮弹的飞行轨道，广场上喷水池里的水柱都是呈抛物线形状的.

椭圆、双曲线和抛物线统称为圆锥曲线.

建立曲线的方程和通过方程来研究曲线的性质是解析几何的两个基本问题.在《数学2（必修）》中，我们成功地运用解析法研究了直线和圆的几何性质.”

•怎样建立圆锥曲线的方程？

•怎样通过方程来研究圆锥曲线的性质？”

通过梳理苏教版的23段章头语发现，章头语有以下几个特点：

第一，章头语揭示了本章要研究的数学知识及其知识背景，有助于学生了解数学知识的源头活水.如“圆锥曲线与方程”一章的章头语，开门见山的阐述了本章研究的三类曲线：椭圆、双曲线和抛物线，它们统称为圆锥曲线，其知识背景源于自然界中的物体运动.

第二，章头语揭示了本章的重要数学思想方法.如“圆锥曲线与方程”一章以“建立曲线的方程和通过方程来研究曲线的性质是解析几何的两个基本问题.在《数学2（必修）》中，我们成功地运用解析法研究了直线和圆的几何性质”引起学生回忆学习解析几何初步的相关知识、获得的相关数学思想方法和数学基本活动经验，这些知识、思想方法和经验构成了本章研究的方法论基础.

第三，章头语提出了本章需要解决的核心问题，有助于引发学生的认知冲突，调动学生的学习积极性.如“圆锥曲线与方程”一章的章头语“怎样建立圆锥曲线的方程？怎样通过方程来研究圆锥曲线的性质？”，通过这两个问题的引导，自然地引出本章需要解决的问题：三类圆锥曲线的方程的建立以及利用方程研究三类曲线的几何性质.

2.4 章节起始内容的价值

结合章头图、名人名言与章头语的具体讨论，章节起始内容的价值主要体现在以下几个方面：

第一，章节起始内容是整个章节的“剧情简介”.作为教材每一章节数学知识的“首秀”，章节起始内容发挥着先行组织者的作用，揭示了本章要研究的数学知识及知识的背景来源.无论是章头图还是章头语，都开门见山地告知学生本章我们将要研究什么主题，探讨什么样的数学知识，告知“我们将要到哪里去？”

第二，章节起始内容是整个章节的“认知起点”.章头图和章头语能有效地激活学生的已有认知，以学生的已有认知作为新知的重要生长点，逐渐的建立新旧知识之间的联系.只有当新旧知识之间建立起实质性的联系，才能使探求新知成为可能.章头语通过2至3个问题的设置，能有效地引发学生的认知冲突，激发学生的学习兴趣.

第三，章节起始内容是整个章节的“方向仪”. 章头语能渗透学生在学习章节知识过程中所需的数学思想方法，这些思想方法的渗透有助于学生学习全章知识，提高学生的学习效率.

第四，章节起始内容是整个章节的“新闻发言人”.章节起始内容还能体现章节知识的应用价值，数学知识在很多学生看来是“冰冷的美丽”，数学就是一堆数学公式、原理的堆砌，章节起始内容通过知识应用的体现，通过活生生的数学家的形象，让学生感到数学离他们并不遥远，增强学生对数学的“亲近感”.

三、章节起始内容的价值实现

基于以上认识，发挥和实现章节起始内容的价值有助于优化学生的数学学习方式、过程以及学习行为，能促成学生良好的数学知识结构和认知结构的稳定发展，能有效的提升学生的数学核心素养. 如何实现章节起始内容的价值？如何使章节起始内容的价值得到最大程度的彰显？以下是笔者近几年就发挥章节起始内容价值作出的一些有益探索与思考.

第一，加深对章节起始内容价值的认识与理解.笔者借助各级各类教师培训、教学研讨活动之契机，通过与同行访谈的形式调查了高中数学教师对数学教材章节起始内容的认识.访谈的主要观点如下：

“理论上，教材出现的内容都应该是教学内容之一，但是实际上，我们并不教这些内容.”

“章节起始内容主要是对一章内容的整体说明，怎样教学不知道.教师主要了解一下即可.”

“我觉得应该教，但是不知道怎样教.其实，考试根本不涉及这些内容，所以实际上教不教都无所谓.”

“我在课堂教学中，会带着学生读一遍章头语，看一遍章头图，仅此而已.实际教学效果也不怎么样.”

“高中数学教学进度安排紧张，教和不教这部分内容和实际考试没有多大影响，所以我们是不教这部分内容的.”

可以看出，虽然新课程改革推行了这么多年，但章节起始内容却并未受到高中数学教师的广泛关注，教师对章节起始内容的价值、教法等都并不清楚. 因此，教师加深对章节起始内容价值的认识和理解是实现章节起始内容价值的前提和基础.

第二，要将章节起始内容上升到“课”的高度进行研究.章节起始内容是教材的重要组成部分，理应成为教学内容，与此同时，章节起始内容的价值必须通过教学才能得到最大程度的体现和彰显.因此，应该将章节起始内容上升到课的高度进行研究.伴随着新课程改革和教材变革，产生了一种新的课型：基于章节起始内容的数学教学课——章节起始课.搜索中国知网，从2006-2017年间，以“章节起始课”等为关键词的相关论文呈现逐年递增的趋势，但数量较少.从2011年到2017年9月期间，相关的研究论文仅40余篇.由此看来，基于章节起始内容的章节起始课也并未完全进入数学教师的视野.因此，将章节起始内容上升到“课”的高度加以研究是实现章节起始内容价值的关键所在.文[3]与文[4]则是笔者这几年在章节起始课的教学上作出的有益探索和实践，但章节起始课的教学研究是一个系统工程，还有很多问题值得我们作更进一步的深入探讨.

第三，重视课例研究，获得从事新的实践活动的重要启示.由访谈不难看出，有部分教师虽然也已认识到章节起始内容的价值，但却不知道如何进行章节起始课的教学，缺乏必要的方法论指导.事实上，每个人都会从自己或别人的教学实践和经验中得到从事新的教学实践活动的重要生长点，章节起始课的教学也不例外.因此，数学教师要加强专业阅读和章节起始课的课例研究，系统地分析章节起始课的各个教学环节，对各个教学环节进行专业的思考，并结合专业阅读和专业思考努力尝试章节起始课的教学实践，不断地对章节起始内容的教学作出理性的反思，发现问题，正视问题，解决问题，不断进步.反思的目的是为了重建，为了更好的服务于我们的数学教学，通过形成“课例研究—课堂实践—理性反思—教学重建—理性反思—教学重建”的良性循环，提升章节起始课教学的有效性，真正发挥章节起始内容的价值.