江苏名师缪林：基于提升数学素养的高三数学复习----“数列综合运用”教学案例及感悟

Original 缪林文卫星数学生态课堂 2022-07-17

开号宗旨:为数学教师提供交流、学习、研究的平台，既关注高中数学解题研究，也关注教法和学法研究。

文卫星，上海市特级教师。践行“生态课堂”，做到“两尊重”----即尊重知识的发生、发展规律，尊重学生的认知规律；把握“两个度”----思想（哲学或数学）高度和文化厚度。

在《数学教育学报》《数学通报》《中学数学教学参考》等近50家报刊杂志发表论文或文章约330多篇。

专著（代表作）：《超越逻辑的数学教学----数学教学中的德育》（2009）、《文卫星数学课赏析》（2012）、《挑战高考压轴题高中数学精讲解读篇》（1-10版，2009-2019）、《上海高考好题赏析》（2019）。

近年为北京、上海、天津、江苏、浙江、福建、广东、贵州、河南、河北、四川、云南、新疆、宁夏、安徽、山西、重庆等地师生讲学。

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缪林，江苏省数学特级教师，江苏省教学名师，教授级高级教师，江苏省“333高层次人才培养工程”第三层次培养对象,苏州市姑苏教育人才。从教33年，一直担任高中数学教学工作，其中任高三教学23年，为清华北大输送学子三十多名，培养多名省、市高考状元。辅导数十名学生在全国数学联赛中获一等奖。

近年来，围绕课堂教学这一主题，在《数学通报》、《中学数学教学参考》等期刊上发表论文六十多篇；主持或参与多项省部级课题研究，曾被评为教育部课题研究先进工作者，获江苏省课题研究成果一等奖；应邀在省内外开设高中数学讲座、公开课百余场，是江苏省优质资源开发团主讲老师，陕西师范大学兼职教授。

基于提升数学素养的高三数学复习

——“数列综合运用”教学案例及感悟

江苏省昆山中学 缪林

1 基本情况

1.1 背景及设计理念

数学是学生最为重视的基础学科之一，在高三复习中，师生对数学更是不遗余力地投入，但常常有收效甚微的遗憾．笔者认为其本质原因是学生的数学素养未能得到真正的提升．所谓数学素养——指人们用数学观点、数学思维方式和数学方法观察、分析、解决问题的能力及其倾向性．高考是选拔性考试，命题以能力立意、思想为先，在考查学生数学“四基”的同时，考查学生的数学基本能力、综合能力、数学应用意识和创新意识（即数学素养）．试题既有基础性，更有综合性、创新性、选拔性，“模仿”式的解题策略难以实施，需要学生在数学思想的引领之下，凭借相当的数学素养才能实现完美求解．因此在高三数学教学中，应该坚持以提升学生的数学素养为终极目标的设计理念，力争在课堂教学的各个环节挖掘培养数学能力的契机，以此提升学生的数学素养．

1.2 授课对象及学情分析

本节课是借班上课，学生来自四星高中的理化班，他们具有较好的数学基础，有一定的理性思维能力．在此之前，他们已经系统复习了数列中相关基本知识，掌握了数列中基本问题的处理策略，但还不能融会贯通形成综合能力．

1.3 教学目标

通过对数列中两类综合问题的分析、探究，提升数列知识、方法的综合运用能力；经历数列与其他数学知识综合问题的处理过程，增强目标引领下运用数学思想解题的意识；感悟逻辑推理、直观想像、数学模型、数学运算等数学素养在解题中的关键作用；着力培养反思、选择、校正等能力和习惯．本节课的教学内容分为两部分，一部分为“小题先做”，由学生课前预习完成，课堂上展示交流，另一部分是“典例探究”，课堂上师生共同探究完成．

2 教学过程

师：数列的综合问题有两类，其一是数列内部的综合，如等差数列与等比数列知识的综合，其二是数列与其他知识如函数、不等式、几何等综合．今天我们对这类问题作些探究．

2.1 小题先做

2.1.1数列内部简单综合问题

问题1 (1)若首项不为0的等差数列的第2项、第3项、第6项依次构成等比数列，则这个等比数列的公比为．

师：那如何减少或克服这种“失误”呢？

经同学们反思，形成如下共识：解题时注重认真审读题意，杜绝“扫描”式读题，把“读题”作为解题最重要的步骤，贯穿解题的始终；减少运算、变形随意性，做到步步有据；摒弃经验主义，克服思维惯性．

设计意图：数学运算是重要的数学素养之一．通过引导学生自我剖析错因，探寻修正策略，在提升学生数学运算能力的同时，培养自我反思、自我修正的习惯．

(2)设等比数列{c_n}的前n项和为S_n，若S_n₊₁, S_n,S_n₊₂成等差数列，则{c_n}的公比为 ．

生：化归为基本量(a₁,q)．根据条件有2S_n=S_n₊₁+S_n₊₂，由等比数列前n和公式可求得q=1或q=-2．

生：可验证q=1不合题意．(有十五位同学出现增解q=1)

师：为什么产生增解呢？

生：使用等比数列前n和公式时未曾对q是否为1进行讨论．

师：可见准确把握数学概念、数学公式才能做到“步步有据”，这就是一种严谨！

生：我是从等差数列定义出发得到S_n-S_n₊₁=S_n₊₂-S_n，即-a_n+1=a_n+2+a_n+1，由此易得q=-2．

师：你为何会这样想？

生：缘于公比的定义．

生：也可以用特殊值法．取n=1，则有2S₁= S₂+S₃，即a₃=-2a₂，由此可得q=-2．

师：真棒！前者从方程的角度出发，构造出关于q的方程获解，但要注意公式使用的准确性，后者从q的定义出发，将条件转化为相邻项之间的关系，省去了使用等比数列求和公式时的分类讨论，使过程更为简捷．

设计意图：把握数学知识的本质是实现核心素养培养的基本原则之一．体验目标引领下思维方向的选择过程，提升逻辑推理能力，培养求简意识；揭示错因，有利于加强公式的理解记忆，增强分类讨论的意识；

2.3 课堂小结

在学生自我小结、反思的基础上，教师加以补充提炼（略）．

设计意图：培养学生概括总结能力，增强主动反思意识．

3. 教学感悟

3.1提升数学素养是提升数学成绩的根本所在

高考考数学即是考素养．高三复习中注重解题能力的提高和应试能力的提升，这无可避讳，但若仅以“应试”为宗旨，学生将陷入题海，依靠机械模仿和记忆处理数学问题，数学能力不可能得到有效的提升．高考命题的指导思想是考查中学数学基础知识和方法的同时考查考生进入高等学校继续学习所需要的基本能力，这只有通过提升学生的数学素养才能得以顺利实现．数学素养是在数学学习过程中（包括高三复习）逐步形成的，在学生自主发展中发挥不可替代的作用．具备一定数学素养的学生才会喜欢数学、才会研究问题、分析问题解决问题，才能水到渠成地收获优异的高考成绩．因此，应把提升学生的数学能力和素养作为高三数学复习的根本目标．

3.2关注学生是提升数学素养的首要条件

“立德树人”、“以人为本”的教育思想落实的关键是人．学生是课堂的主体，是核心素养培养的主体．但许多老师认为高三复习内容多、任务重、时间紧，教学目标被简化成单纯的认知，课堂教学努力追求立竿见影的效果，故而课堂上注重知识技能的梳理、记忆和机械训练，以教师的讲解、阐明为主，淡化了学生主体的意识，学生缺乏主动建构、炼制的过程，结果则是事与愿违、欲速不达，症结就在于缺少对学生的关注．关注学生即“眼中有学生”，给学生充分的“话语权”，尊重学生的需要和想法，给学生发问、思辩、校正的时空，这样才能培养学生的创造性思维、创新能力，发展学生的独立个性，学生的分析问题、解决问题的能力才能得到真正的提升．

3.3重视基础是提升数学素养的重要因素

重视基础是每一位高三老师的共识，即在问题的解决过程中巩固基础知识、熟练基本技能、培养基本思想、积累基本活动经验（即“四基”），“四基”也是高考重点考查内容．如何重视基础呢？首先要师生共建知识网络，掌握通性通法，为解决问题提供思路保障；其次对问题的处理不仅以得到答案为目的，更要注重方法的选择、比较和校正；再次，以问题的处理过程为契机，帮助学生养成良好的审题习惯、严谨的表达习惯、常见问题模型的处理习惯、算理和思路的选择习惯．

3．4渗透数学思想是提升素养的关键因素

数学思想是对数学事实与理论经过概括后产生的本质认识，是数学学科发展的基石，也是数学学习的追求和达成目标．

只有掌握数学思想，才能掌握数学的精髓，唯有思想方法才能指导数学实践．

因此，在高三教学中，要摒弃所谓“大容量”“快节奏”的“量贩”式“题型加方法”讲题、做题的教学模式，这种教学模式，也许会让学生了解许多题的解法，但由于缺乏数学思想的提练与总结，对解法的本质、为何会选用这种方法、何时会用这种方法就不得而知．故而对于新型问题（如高考题），就不能在数学思想的引领下进行合理的探究、分析，不能准确确定解题方向，甚至会束手无策无从下手．所以在高三课堂教学中，增强数学思想的渗透意识，在问题处理过程中突现思想的提炼总结，让学生有醍醐灌顶豁然开朗的顿悟，这样才能形成必备的数学素养，当然也一定会水到渠成地收获优异的数学成绩．