唐永：凸显数学知识本质 促进学生深度学习 —— “弧度制”教学实录与反思

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原文发表《中小学数学》高中版2020.7-8

       开号宗旨:为数学教师提供交流、学习、研究的平台，既关注高中数学解题研究，也关注教法和学法研究。

       文卫星，上海市特级教师。践行“生态课堂”，做到“两尊重”----即尊重知识的发生、发展规律，尊重学生的认知规律；把握“两个度”----思想（哲学或数学）高度和文化厚度。

在《数学教育学报》《数学通报》《中学数学教学参考》等近50家报刊杂志发表论文或文章约330多篇。

     专著（代表作）：《超越逻辑的数学教学----数学教学中的德育》（2009）、《文卫星数学课赏析》（2012）、《挑战高考压轴题高中数学精讲解读篇》（1-10版，2009-2019）、《上海高考好题赏析》（2019）。

近年为北京、上海、天津、江苏、浙江、福建、广东、贵州、河南、河北、四川、云南、新疆、宁夏、安徽、山西、重庆等地师生讲学。

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唐永(1970--)，男，安徽灵璧人，华东师范大学研究生，中学高级教师，无锡市数学学科带头人，在《数学通报》、《数学通讯》等期刊发表文章九十余篇.

1基本情况

1.授课对象

学生来自四星级高中的物化重点班，基础较好，思维敏捷，有一定的尝试探索能力、推理能力及数学交流能力.

2.教材分析

苏教版高中数学必修4“1.1.2弧度制”是第1章“三角函数”中的内容.上一节是“1.1.1任意角”，仍采用初中学过的60进制角度制．弧度制是10进制，它通过弧长与半径之比来度量角的大小，本质是统一了线段与弧的度量单位，而且可以与角度制进行换算，保证了与原有数学系统相容.函数关系是高中数学中最普遍也是最重要的关系，是数集到数集的对应，

用弧度度量角，为后续学习以实数为自变量的三角函数奠定了基础.应用弧度制，能简化三角的有关计算，使与三角函数有关的一些公式形式上更为简洁，三角函数这种刻画周期现象的数学模型有了更加广泛的应用．

教学目标  （1）理解弧度的意义，能正确地进行弧度与角度的换算，了解角的集合与实数集之间可以建立一一对应的关系；掌握弧度制下的弧长公式和扇形面积公式，会利用弧度制解决某些简单的实际问题；（2）通过弧度制概念的建构过程，体会特殊与一般、数形结合、转化与化归、类比等数学思想方法，体验数学研究的过程和数学的应用价值，从而学会学习与思考.

教学重点   理解弧度制概念，并能够进行弧度与角度的互化.

教学难点   弧度制的概念.

2教学过程 

3教学反思

1.凸显“四性”，促进深度学习，理解数学内容.

（1）引入弧度制的“必要性”.用“度”作为单位表示角，学生已经用得得心用手了，

现在又要学习“弧度”这个单位，为什么呢？即使基础好的学生都会感觉莫名其妙，引入弧度制的“必要性”就显得很重要了.根据建构主义理论，教学应建立在有感染力的真实事件或真实问题上.通过问题1中热门的黑洞照片，说明同一个量可以使用多种单位，但有些单位明显比较方便；问题2中建立刻画周期现象的高度函数模型，需要用实数来表示角，原来的角度制已不能解决问题，而自然界中存在着大量的周期想象，高中数学教材主要是用“三角函数”模型来刻画这些周期现象的.因此，急需一种新的度量角的制度，弧度制便“呼之欲出”.

（2）定义的“合理性”.教材中简单的复习一下角度制，就直接给出“1弧度的角”的概念，对于学生来说，无疑是生涩难懂的，有一种强行灌输的感觉，学生不可能体会到这种定义的合理性，更谈不上理解它的本质. “一定大小的圆心角所对的弧长与半径的比值是一个唯一确定的值”是“1弧度的角”概念的出发点，是体现概念“合理性”的关键点.问题不仅是深度学习的载体，也是深度学习的原动力.围绕如何想到弧长与半径的比值，贴近学生的“最近发展区”，设置了层层递进的“问题串”.问题3发现弧长、半径、圆心角三者之间存在着一定的关系，为用弧长与半径的比描述圆心角做了铺垫；问题4通过几何画板动态演示让学生直观感知“圆心角一定，则弧长与半径的比值也唯一确定”；问题5指出圆心角与这个比值有一定的联系，为提出弧度制铺平道路；问题6从“数”的角度，推理论证了弧长与半径的比值与角度之间成正比关系；问题7的解决及数学史的渗透，使“弧度制”概念的建立水到渠成，实现了数学的再创造.

（3）两种制度的“融合性”.问题8引导学生得出角度与弧度的换算公式，让学生明白角度与弧度其实就是对同一事物的不同描述，任意角度与弧度之间可以互化，角度与实数之间建立了一一对应关系.有了这种对应关系，就可以把角这种几何图形放在函数中进一步研究，体现了弧度制的真正价值.

（4）弧度制下公式的“简洁性”.从弧度的定义出发，自然很容易得到扇形的新的弧长和面积公式，通过新、旧公式的对比，学生真切的感受到弧度制下公式的简洁美和计算上的方便.

2.经历局部探究、代数推理，揭示数学本质，提升核心素养.

新课程 “倡导积极主动、勇于探索的学习方式”，让学生体验数学发现和创造的历程.本节课对弧度制概念的“合理性”采用了局部探究，体验其形成过程，教学生数学探究的方法.先从扳手拧紧螺帽的场景中抽象出圆心角、弧长和半径三个变量.而要研究多个变量之间的关系，往往都是从保持一个量不变开始，从图中学生可以直观地看到弧长或半径不变的情况下，其余两个量之间的关系是比较明显的.因此，保持圆心角大小不变，构造多个同心圆，寻找弧长与半径之间的关系就成为探究的重点，再借助几何画板的演示，让学生经历猜想、实验、分析等探究过程，从“形”的角度，猜想“弧长与半径的比值与角度之间成正比”这一重要关系.“数缺形时少直观，形少数时难入微”，从“数”的角度，教师利用提示语，让学生从初中学过的弧长公式角度进行推理，虽然只有一步变形，推理较为简单，但保证了严谨性.本案例中，虽然教材是直接给出定义的，但教师深入钻研课标和其它版本教材，有意加强代数推理的训练.经过探究还原数学概念的建立过程，从感性认识到理性研究，使学生深刻理解“弧度制”所蕴含的数学本质，提升了学生直观想象、逻辑推理、数学运算等核心素养.

涂荣豹先生说：“数学教学的本质就是教学生学会思考.”本节课通过问题驱动，促进学生深度学习，经历局部探究和代数推理等，引导学生思考，深刻理解数学知识本质.教学生学会思考是数学教学的根本，是数学教育的最大目标，这需要数学教育人不断砥砺前行.

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✎ 参考文献  [1]段志贵. 教学生学会思考是数学教学的根本[J].中学数学教学参考，2019 1/2上:8—11[2]王华民. 教学生学会学习与思考[J].中学数学月刊，2017（9）:1—4[3]汤强，李王芳.凸显数学知识本质的教学设计探微[J].中国数学教育，2017（9）:36—38[4]郑宝生，赵勤.数学史是丰富数学营养的重要资源[J].中学数学月刊，2018（9）:49—51[5]李忠. 为什么要使用弧度制[J].数学通报，2009（11）:1—7[6]何嘉驹，吴敏.基于问题驱动理论的概念课教学设计[J].中学数学研究，2017（12）:11—13

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