八上尖子生培优系列(55) ——因式分解(5) ——补充：十字相乘法

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【知识点小结】“十字相乘法”能把二次三项式分解因式，对于形如ax²+bxy+cy²的关于x，y的二次三项式来说，方法的关键是把x²项系数a分解成两个因数a₁，a₂的积，即a=a₁•a₂，把y²项系数c分解成两个因数c₁，c₂的积，即c=c₁•c₂，并使a₁•c₂+a₂•c₁正好等于xy项的系数b，那么可以直接写成结果：ax²+bxy+cy²=（a₁x+c₁y）（a₂x+c₂y）．

【例题】把下列各式分解因式

（1）x²﹣2xy﹣8y²；

解：原式=（x﹣4y）（x+2y）.

　　　　　如下图示，

（2）2x²+5x﹣7；

解：原式=（2x+7）（x﹣1）.

　　如下图示，

（3）6x²﹣17xy+12y²；

解：原式=（x﹣4y）（x+2y）.

　　如下图示，

（4）（x﹣y）²+5（x﹣y）﹣50．

解：原式=（x﹣y+10）（x﹣y﹣5）．

       如下图示，

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【练习】把下列各式因式分解：

（1）m²﹣mn﹣6n²；

（2）2x²+3x﹣20；

（3）4x²﹣4xy－15y²；

（4）（a﹣b）²+3（b﹣a）﹣10．

（5）（a²+a）²﹣8（a²+a）+12．

（6）（x²﹣2x）（x²﹣2x+2）+1

（答案在后面，不要急着看答案哦！）

【练习答案】

（1）（m+2n）(m-3n)

（2）（x+4）（2x﹣5）．

（3）(2x+3y)(2x﹣5y）

（4）(a﹣b+2)(a﹣b－5)

（5）原式=(a²+a﹣2)(a²+a﹣6）

       =(a+2)(a﹣1)(a+3) (a﹣2)．

（6）设x²﹣2x=y，则

       原式=y(y+2)+1=y²+2y+1

              =(y+1)²=(x²﹣2x+1)²

              =(x﹣1)⁴．

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特别推荐：

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