2019-2020福建泉州九上质检倒二压轴解析——直角三角形对称与一次函数

2019-2020泉州九上质检倒二压轴

【第24题】如图，在平面直角坐标系xoy中，直线l：y=-4x/3+4与x轴、y轴分别相交于B、A两点，点C是AB的中点，点E、F分别为线段AB、OB上的动点，将△BEF沿EF折叠，使点B的对称点D恰好落在线段OA上（不与端点重合）．连接OC分别交DE、DF于占M、N，连接FM．（1）求tan∠ABO的值；（2）试判断DE与FM的位置关系，并加以证明；（3）若MD＝MN，求点D的坐标．【第一问】
常规题，不做解析，答案如下：解：依题意，得A（0，4），B（3，0），得OA＝4，OB＝3．在Rt△ABO中，tan∠ABO＝OA/OB＝4/3．【第三问】【第24题】如图，在平面直角坐标系xoy中，直线l：y=-4x/3+4与x轴、y轴分别相交于B、A两点，点C是AB的中点，点E、F分别为线段AB、OB上的动点，将△BEF沿EF折叠，使点B的对称点D恰好落在线段OA上（不与端点重合）．连接OC分别交DE、DF于占M、N，连接FM．（2）试判断DE与FM的位置关系，并加以证明；【图文解析】
由点C为Rt△ABO的斜边AB的中点，得OC=OA=OB=0.5AB，得∠1=∠2；由折叠性质，得∠1=∠3，所以∠2=∠3．如下图示：法一：由∠2=∠3，易想到点D、M、F、O四点共圆——“辅助圆”，如下图示，得DF是该圆的直径，所以∠DMF=90°，所以DE⊥FM．(“四点共圆”后续证明)．
点D、M、F、O四点共圆证明如下(常法)：
 (同一法)如下图示，作△ODF的外接圆⊙P，设OC与⊙P交于点Q，连接DQ，则∠FDQ=∠2，又∠2=∠3，得∠FDQ=∠3，又点M是DE与OC的交点，所以点Q与点M重合．即点D、M、F、O四点共圆．法二：如下图示，先证△DMN∽△OFN，得DN：ON=MN：FN，得DN：MN=ON：FN，又∠4=∠5，得△DNO∽△MNF．
由△DNO∽△MNF，得∠6=∠7，又∠2=∠3，所以∠3+∠7=∠2+∠6=∠AOB=90°，得∠DMF=90°，即DE⊥FM．
【第三问】
【第24题】如图，在平面直角坐标系xoy中，直线l：y=-4x/3+4与x轴、y轴分别相交于B、A两点，点C是AB的中点，点E、F分别为线段AB、OB上的动点，将△BEF沿EF折叠，使点B的对称点D恰好落在线段OA上（不与端点重合）．连接OC分别交DE、DF于占M、N，连接FM．（3）若MD＝MN，求点D的坐标．【图文解析】
在Rt△DMF中，由∠MDF=∠ABO，得tan∠MDF=tan∠ABO=4/3，可设MD=3t，MF=4t，进一步，得如下图标注的相关结论：由(2)知：△DMN∽△OFN，如下图示：
得OD：DN=MF：MN，
相关数据代入，得OD=4(10t-3)/3．法一：过点M作MQ⊥DN于点Q，当MD=MN时，有DN=2DQ．在Rt△DMQ中，
DQ=DMcos∠3=3t×3/5=9t/5，所以10t-3=2×9t/5解得t=15/32．OD=…=9/4．所以点D的坐标为(0，9/4)．三十多年的一线教学经历的感触

一本数学教辅书如果阅读费劲，书的真正价值体现起来难度较大，购书时的激情就会逐渐被“费劲费时”消磨成了“苦与累”，甚至起反作用（经常听家长们说，买了很多好书本想让孩子好好努力，可成绩反而差了，有的书还没翻上10页……，×××的答案和解析看不懂……），最终成了摆设，成了负担，甚至浪费了时间与精力.基于上述原因，从2017.3.23起，本公众号几乎不间断的撰写“图文解析”方面的解题析题文章，图文并茂地解析压轴题，努力让读者轻松理解和体会压轴题的解题思路和方法技巧.

法二：如下图示，
在Rt△DOF中，由勾股定理，得所以OD=9/4或0(不合，舍去)．
综上，点D的坐标为(0，9/4)．法三：分别过点M和点D作MP⊥DN，DQ⊥MN，垂足分别为P、Q，由三角形面积公式可求DQ(用t表示，其中设DM=3t，MF=4t)，进一步，得sin∠DMN，得OD=DF×sin∠DFO=DF×sin∠DMN=…
【拓展】如图，在平面直角坐标系xoy中，直线l：y=-4x/3+4与x轴、y轴分别相交于B、A两点，点C是AB的中点，点E、F分别为线段AB、OB上的动点，将△BEF沿EF折叠，使点B的对称点D恰好落在线段OA上（不与端点重合）．连接OC分别交DE、DF于占M、N，连接FM．设OF=t，EF=s，求s与t的函数关系式．
（以上拓展仅供教研，不提供思路和答案）喜欢本文，在文末右下角点亮【在看】吧！也是对作者的最大鼓励和赞赏！

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