贞元数学 | 在儿童的脑海中，几何图形是怎样生长出来的？

贞元教育 2024-01-09

The following article is from 贞元数理人文 Author 俊杰

编者按：

今晚（8月18日）20:00，赵俊杰老师将在线上为家长们讲解如何在几何教学中培养孩子的数学思维。这是赵俊杰老师第二场几何讲座，上一场讲座情况请点击：

贞元讲座：如何培养孩子的数学思维之几何篇

儿童脑海里的几何图形是怎么生长出来的？成人应该如何帮助儿童建构几何观念？赵俊杰老师下面这节为学前班的孩子上的几何课也许能从一个侧面解答这些问题。

赵俊杰老师

第一板块：构造“圆”

老师：“今天我们来玩一个神奇的图形游戏，不过，我们不用彩纸、磁力棒，我们用棋子！”

老师在黑板上贴两颗棋子，左边一颗黑棋子，右边一颗白棋子，之间有一段距离。

老师：“请你再贴一颗白棋子，让这两颗白棋子到黑棋子的距离一样远。”

琳把这颗白棋子贴在黑棋子的左边，也隔开一段距离，目测后确认两颗白棋子到黑棋子的距离一样。不过，有的孩子目测认为距离不一样，于是微调了一下。（如下图。数字表示“第几颗”白棋子，下同。）

老师：“好，第一步成功了！继续挑战！我们再来贴一颗白棋子，要求和刚才一样，也是让白棋子到黑棋子的距离一样远。”

萌把这颗白棋子贴在了右边那颗白棋子的右边，相同距离处。

老师：“我们的要求是让它（指第三颗白棋子）到谁的距离相等？”

萌：“这颗（指第一颗白棋子）。”

老师重新说明要求：“让白棋子到黑棋子的距离相等。”

萌想了想，把第三颗白棋子移到了黑棋子的正下方，目测确认距离相等了。又有孩子提出，距离近了，于是微调。

游戏继续，翔将第四颗白棋子贴在黑棋子正上方相应位置。

随后，谦把第五颗白棋子贴在了下图位置：

这引起其他孩子的异议：“太近了。”谦又把它移到下图位置：

还是有异议：“又远了！”

最后，谦把它调到了一个折中的位置上。

接下来，孩子们陆续添加了第六、七、八颗棋子。

到这时候，孩子们已经知道，游戏还没结束，还可以继续添加棋子，每个孩子都想接着玩。于是，老师把余下的彩色棋子发到孩子们手里，大家纷纷把它们按游戏规则贴上去，在最终作品呈现之前，翔已经预见到它会是一个圆形了。

最终作品如下图：

老师：“这个游戏好神奇啊！我们居然合作摆出了一个大大的圆形！谁能再说说，我们是怎么一颗一颗摆棋子的？”

学生：“白棋子到中间那颗黑棋子的距离一样远。”“还有彩色棋子。”

老师：“哦！让这些白棋子和彩色棋子到这颗黑棋子的距离一样远，就能摆出一个圆形吗？现在大家自己用棋子摆一摆，看看是不是真的能。”

孩子们在桌子上自己摆棋子。琳还一边摆一边模仿着刚才集体讨论的过程，说着：“怎样才能让这颗棋子和它的距离一样远呢？”乐在其中的样子。当孩子们成功摆出一个圆形，再追问：“如果我让白棋子和黑棋子的距离变远一些，还能摆成圆形吗？动手试试吧。”

谦第一次摆出了一个较小的圆，当加大黑白棋子的间距后，他摆出了一个方形。

当老师追问：白棋子到黑棋子的距离一样远吗？谦回答：“不一样。”老师请他调整，他却迟疑了。

第二板块：构造“线段的垂直平分线”

老师在黑板上贴了一行9颗白棋子，问：“现在我想贴一颗黑棋子，让它到这行白棋子的两端（指两端的白棋子）距离一样远，我应该把它贴在哪儿呢？”

琳把黑棋子贴在了白棋子的行末（如下图）。

老师：“现在黑棋子到这行白棋子的两端（指两端的白棋子）距离一样远吗？”

学生：“不一样！”

老师：“它离这颗白棋子（指右端白棋子）怎么样？”

学生：“近。”

老师：“离这颗白棋子（指左端白棋子）呢？”

学生：“远。”

源走到黑板前，没有直接贴黑棋子，而是双手食指分别从两端开始，同步点数白棋子。当他点到第五下的时候，两个食指都落在了同一颗棋子上。然后，他把黑棋子放在了这颗棋子的正下方（如下图）。

老师像发现了珍宝一样，和孩子们一起重演一遍刚才源的做法，并追问：“为什么要点数白棋子呢？”

学生：“那颗棋子在中间！”

老师：“哦！太厉害了，第一步挑战成功！我们继续，再贴一颗黑棋子，让它到这行白棋子的两端（指两端的白棋子）距离一样远。”

学生在白棋子上方中间位置贴了第二颗黑棋子。孩子们看到这个新图案发出“哇！”的呼声，一定是觉得很神奇吧！

老师：“还能不能按照同样的规则继续贴更多的黑棋子？”

学生：“能！”

老师把余下的棋子给孩子们，大家纷纷贴在黑板上。当黑棋子被排成越来越长的一列时，孩子们也越来越兴奋，争着要把棋子贴在更高的位置上。不过，因为太高了，孩子们有点够不到，最上面的两颗棋子明显偏离了。老师让孩子站远一点，自己看一看，他们就能自己发现问题并调整了。最终作品如下图：

老师：“哇！这么长啊！如果我们的黑板再大一些，还能不能按照同样的规则贴更多的黑棋子呀？”

学生：“能！”

老师：“到底能贴多少黑棋子呢？”

学生：“很多很多！”“一千多个！”“一万多个！”“无数个！”

老师：“真是太神奇了！现在你用自己手里的棋子，摆一行更长或更短的白棋子试试看。”

孩子们纷纷动手摆起来。有的孩子没有将黑棋子摆在距离两端白棋子一样远的位置上，老师发现后及时进行对话、引导。如果引导后孩子摆不出，也不必急于告诉孩子“正确答案”，继续游戏就好了。

就这样，这些学前班的孩子用围棋子构造出了圆和线段的垂直平分线。当然，孩子们并不知道“线段”、“垂直平分线”这样的名词，但他们却能在游戏活动中动手构造出来。

王志江校长点评：

不同年龄的孩子，他们大脑里的几何图形的概念是不一样的。以“圆”为例：

在和不同年龄的儿童进行的“圆”游戏中，老师们发现，儿童建构生成“圆观念”的基本过程如下：

3岁左右的儿童能够“识别”什么样的图形是“圆”，也就是说，他们能够按照物体的形状（常见的）对物体进行简单分类。但是，如果你让他们在纸上画一个“圆”，他们一般会画成“椭圆”，并确信自己画的就是“圆”。实际上，只要是封闭图形，他们画出来的图形基本都是一样的，这是因为3岁左右儿童的脑海中的几何观念还是“拓扑几何”，也就是说，只要是封闭的图形，不管它是三角形、四边形，还是圆形，儿童画出来的样子都是“圆的”。

4岁多的儿童不仅可以识别圆形，而且也可以在纸上画出比较“标准的圆”。这是因为此时儿童脑海中的几何观念，正在从“拓扑几何”逐步向“前欧式几何”过渡。当然，此时的“圆”，只是作为一个整体性的图形被他们所认知，他们还不能识别圆的局部几何特征，所以，他们还不能在操作性的游戏活动中“构造”圆，更不能“认知”有关圆的某些概念，比如圆心、半径等。

5岁多的儿童，可以运用某种材料，比如棋子、彩泥、细沙子等，自己动手构造一个“圆”。不过，即便他们已经能够理解圆上个别的棋子（点），到中间固定的棋子（圆心）距离是相等的，但是，圆心和半径仍然还不能作为一个思考的焦点被凸显出来，所以，他们还不会产生对它进行命名的“愿望”，只是在操作过程中，儿童已经在“应用”这些“概念”了。

在漫长的具体运算阶段（6~12岁），儿童学会了对圆心、半径的命名，以及对周长和面积的测量与计算……我们从中可以看出，不同年龄的儿童，建构生成的是完全不同的“圆观念”，而这种“不同”又是极其独特的，体现了数学发生学上的生长性和创造性。

如果要将儿童圆观念的发展界定为三个阶段的话，4岁以前就萌芽期，儿童只是通过视觉对某类特殊的图形进行“命名”。4--8岁期间，儿童可以通过绘画、手工制作、构造等途径得到圆，儿童得到的是一个“整体性的圆”，他们还不会有意识地去关注图形的局部特征。大约在11岁左右，儿童的圆观念发展进入成熟期，他们可以开始学习圆的初步定义，以及圆心、半径、直径、周长、面积等局部性质（这里仅指儿童在12岁以前建构圆观念的阶段）。

编者按：

今天晚上，赵俊杰老师要给大家介绍三角形的前世今生。三角形还有前世今生？？看了她拟的主题，我就预感我的大脑又会被她疯狂地拆开重组，然后哀叹一声：“为什么我的几何不是这样学的？！”

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