教学研讨｜5.5.2 简单的三角恒等变换（2019版新教材）

请关注阳光备课 2023-02-05

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研讨素材一

一、教材分析

教材截图

（考虑到研讨时部分教师未带有2019版课本，这里对教材截个图）

教材分析：

本小节包括利用已有的11个公式进行简单的恒等变换，以及三角恒等变换在数学中的应用。本节内容都是用例题来展现的.通过例题的解答，引导学生对变换对象和变换目标进行对比、分析，促使学生形成对解题过程中如何选择公式，如何根据问题的条件进行变形，以及变换过程中体现的换元、逆向使用公式等数学思想方法的认识，从而进一步理解变换思想，提高学生的推理能力、数学运算素养.

教科书中把三角恒等变换的应用放在三角变换与三角函数间的内在联系上。从而使三角函数性质的研究得到延伸。

1.简单的恒等变换

本部分安排了例7和例8两个例题，这两个例题要重视得到结果的过程。它们以推导半角公式、积化和差、和差化积作为基本训练，两个例子尽管变换的内容不同，但在教学时要引导学生对它们涉及变换的途径和方法进行思考，找到思维方法的共性。这是培养数学运算素养和数学抽象素养的契机。

对于例7.要求以cosα表示sin² (α/2)。

教科书边空中提出了“α与α/2有什么关系”的问题。

目的在于引导学生从a与α/2之间的关系出发思考cosα与sin² (α/2)之间的关系，并通过对这种关系的思考建立这两个三角函数式之间的联系.

事实上，只要理解倍、半的相对性，就容易选择倍角关系（cos2α=1-2sin² (α/2)）作为联系的纽带，再在方程思想、换元思想等的指导下，求得所要的结果就比较容易了。

例7之后的一段话，既有引导学生思考的目的，也有帮助学生进行总结的功能；与普通的代数变换相比较，三角变换要考虑所包含的角的不同、三角函数的种类差异，三角函数式的结构差异等多个因素。

因此，教学时更要注重培养学生有序的思维习惯.从而更好地把握三角恒等变换的特点。

例8的第（1）题如果从其右式出发，那么仅利用和与差的正弦公式展开、合并，也会得出左式。不过教科书边空中提出“这两个式子的左右两边在结构形式上有什么不同”的问题，这是为了更好地发挥本例的教育功能，即把两个三角式上的不同点作为思考的出发点，并通过建立它们之间的联系进而在消除不同点上下功夫，这样不仅有利于深化对和（差）公式的理解，而且还有利于对本例两个小题内在联系的认识。

那么，哪些公式中包含sinαcosβ呢？可以想到和角正弦公式

sin（α+β）=sinαcos β+cosαsinβ.

从方程角度看这个等式，sinαcosβ看作一个未知数， sin（α+β）看作常数，那么cosαsinβ看作另一个未知数。二元方程求得确定解，必须有两个方程，这就促使学生考虑还有没有其他包含sinαcosβ的公式，列出

sin（α-β）=sinαcos β-cosαsinβ后，

解以sinαcosβ，cosαsinβ为未知数的二元一次方程，就容易得到所要的结果。

由（1）得到以和的形式表示积的形式后，解决它的反问题，即用积的形式表示和的形式，在思路和方法上都与（1）没有什么区别。

积化和差公式、和差化积公式还有6个，都放在练习中

从上述分析可以发现，教科书中安排的这两个例子，有以下共同特点：分析题意，明确思维起点：选择共识，把握思维方向；实施变换，运用数学思想方法等。教学中应对此作出引导、抓住机会，培养学生的数学运算素养。

2.三角恒等变换在数学中的应用举例

此处安排例9和例10两个例题，它们使得三角函数中对函数y=Asin（ωx+φ）性质的研究得到延伸，体现了三角恒等变换在化简三角函数式中的作用。这些在学习解三角形的知识后还会有一定的运用空间.

例9是一个简单的、常见的问题：先通过三角恒等变换化简函数表达式，然后讨论有关的性质。这个问题的一般化，就是对y=asinx+bcosx的性质的讨论。对于数学水平高的学生。在教学中可以再适当补充几个同类问题（非特殊角的），让学生进行讨论。教科书在习题5.5中安排了第17（2）题，就是这种一般情况的讨论。

教学时，例9的分析思路与例7、例8在本质上是一致的：首先明确化简的目标y=Asin（ωx+φ）.因为只有化成这样的形式，才便于讨论函数的性质：然后将y=Asin（ωx+φ）的展开式与y=asin x+bcosx进行对比，在差异中建立联系，确定对y=asinx+bcosx怎样进行变形；最后对y=asinx+bcosx进行变形、化简。

在化简过程中，当φ不是特殊角时，严谨的表达是写出cosφ和sinφ的值

对于例10，还可以去掉“记∠POC=α”，将设问改成“求矩形ABCD的最大面积”。这时在建立函数模型时，对自变量可多一种选择，如设AD=x，则

尽管对所得函数还暂时无法求其最大值，但能促进学生对函数模型多样性的理解，并能使学生感受到以角为自变量的优点。

本节课选自《普通高中课程标准实验教科书数学必修1本（A版）》5.5.2节《简单的三角恒等变换》属于新授课.本节的内容是简单的三角恒等变换，主要内容是利用已有的十一个公式进行简单的恒等变换，以及三角恒等变换在数学中的应用，本节的内容都是用例题来展现的，通过例题的解答，引导学生对变换对象和变换目标进行对比、分析，促使学生形成对解题过程中如何选择公式，如何根据问题的条件进行公式变形，以及变换过程中体现的换元、逆向使用公式等属性思想方法的认识，从而加深理解变换思想，提高学生的推理能力。让学生感受数形结合及转化的思想方法。发展学生数学直观、数学抽象、逻辑推理、数学建模的核心素养。

它位于三角函数与数学变换的结合点上，能较好反应三角函数及变换之间的内在联系和相互转换，本节课内容的地位体现在它的基础性上。作用体现在它的工具性上。前面学生已经掌握了两角和与差的正弦、余弦、正切公式以及二倍角公式，并能通过这些公式进行求值、化简、证明，虽然学生已经具备了一定的推理、运算能力，但在数学的应用意识与应用能力方面尚需进一步培养.

本文大部分内容选自《普通高中教科书教师教学用书数学必修第一册》，版权归原作者、原出版者所有，摘录、转载是为没有带纸质用书时研讨使用。

研讨素材二

一、本单元教科书编写意图及教学建议

本节内容可分为两部分，第一部分是两角和与差的正弦、余弦和正切公式：第二部分是简单的三角恒等变换.第一部分依然是基于圆的对称性进行研究，与5.3节相比较，5.3节中用到的是圆的特殊的对称性，此处用到的是圆的更一般的对称性，即旋转对称性。这种特殊与一般的关系，蕴含着诱导公式与两角和（差）公式之间的特殊与一般的关系。本部分一共11个公式。这11个公式的推导是发展学生逻辑推理素养的载体。第二部分则从两个角度进行简单的三角恒等变换，在这个过程中要注重发展学生的数学运算素养。

在5.3节中.利用诱导公式对三角函数式进行恒等变形，可以达到化简、求值和证明的目的。本部分与之衔接，一方而要推导获得新的公式，另一方面要利用获得的公式进行恒等变形，习惯上称之为三角恒等变换。

单元重点、难点

重点：利用圆的旋转对称性推导两角差的余弦公式：两角和与差的三角函数的其他公式及其内在联系.

难点：发现两角和（差）的三角函数与圆的旋转对称性间的联系；认识三角恒等变换的特点，并能解决一些三角恒等变换的问题。

二、本节教学目标

1.能用二倍角公式导出半角公式，体会其中的三角恒等变换的基本思想方法，以及进行简单的应用.

2.了解三角恒等变换的特点、变换技巧，掌握三角恒等变换的基本思想方法，能利用三角恒等变换对三角函数式化简、求值以及三角恒等式的证明和一些简单的应用.

3.体会知识之间的内在联系，培养学生的思考归纳能力，提高其思维灵活性.

三、教学重点、难点

重点：体会其中的三角恒等变换的基本思想方法，以及进行简单的应用.

难点：了解三角恒等变换的特点、变换技巧，掌握三角恒等变换的基本思想方法，能利用三角恒等变换对三角函数式化简、求值以及三角恒等式的证明和一些简单的应用.

四、数学学科素养