浙江名师：利用导数研究函数单调性问题

   本文刊于《中学数学教学参考》2020.1-2

开号宗旨:为数学教师提供交流、学习、研究的平台，既关注高中数学解题研究，也关注教法和学法研究。

文卫星，上海市特级教师。践行“生态课堂”，做到“两尊重”----即尊重知识的发生、发展规律，尊重学生的认知规律；把握“两个度”----思想（哲学或数学）高度和文化厚度。

在《数学教育学报》《数学通报》《中学数学教学参考》等近50家报刊杂志发表论文或文章约330多篇。

专著（代表作）：《超越逻辑的数学教学----数学教学中的德育》（2009）、《文卫星数学课赏析》（2012）、《挑战高考压轴题高中数学精讲解读篇》（1-10版，2009-2019）、《上海高考好题赏析》（2019）。

近年为北京、上海、天津、江苏、浙江、福建、广东、贵州、河南、河北、四川、云南、新疆、宁夏、安徽、山西、重庆等地师生讲学。

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祝敏芝 浙江省台州市三门县教研员。两次被评为省优秀教研员，台州市优秀教师，发表了二十多篇论文。

利用导数研究函数的单调性问题

                         浙江省台州市三门县 教研室 祝敏芝

方法点睛：本题的难点是切换主元转变函数的结构，在解答过程中，根据运算的结果分类讨论，并不断地简化函数式，使之在传承问题本质的同时得到不断的优化。另一个难点是确定单调区间的端点，需要精确计算与估算相结合。全面考查运算能力、逻辑推理能力与综合应用能力。

3复习建议

我国南宋时期杰出的数学家杨辉曾说：“夫学算者，题从法取，法将题验，凡欲明一法，必设一题。”利用导数求解单调性相关问题作为需要解决的问题与一种需要掌握的解题方法，可谓相辅相成、教学相长。近年的高考数学多以函数与导数压轴，起点低、落点高，对学生的数学抽象、逻辑思维与运算求解能力都提出了很高的要求。第一，直观想象能力。明晰导数的意义，利用图形直观理解函数的单调性、凹凸性、极值、拐点的判断方法。第二，运算能力与逻辑推理能力。掌握利用导数研究单调性相关问题的基本思路和基本运算技巧，理解运算对象，掌握运算法则，并能构造运算程序表达问题，比如极值点或拐点邻域的单调区间的构造及放缩估算技巧。第三，数学抽象能力。导函数方程不是代数方程，难以求出极值点与单调区间，需要合理处理函数与导数，让函数在保持所要求的特征不变的前提下不断化繁为简。通常可以利用指数与对数不等式、基本不等式放缩简化函数，对分式函数利用分界点可以只考虑分子简化运算；或者分析结构特征，通过运算、变换、复合等构造单调函数。对于含参数的函数有时需要切换参数与主元的角色，将问题转换化归为可求解的基本函数类型。

4 反馈训练