八上尖子生培优系列(56) ——因式分解(6) —因式分解的应用

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【例1】已知x﹣y=﹣1，xy=3，求x³y﹣2x²y²+xy³的值．

【分析】现有所学的知识无法求出x和y的值，可先因式分解，再代入求值(先提取公因式，再利用完全平方公式分解)．

【解答】原式=xy（x²﹣2xy+y²）

                      =xy（x﹣y）²，

       把x﹣y=﹣1，xy=3代入得：

              原式=3×1²=3．

【反思】对于繁杂的计算有时通过因式分解进行计算，快且准.

【练习1】已知a－b=2，ab=－1，求a⁴+b⁴的值．

（别急着看答案）

【分析】现有所学的知识无法求出a和b的值，可将原式进行变形为含a－b和ab的形式，再代入求值．

【解答】原式=（a²+b²）²－2a²b²

                      =[(a－b)²+2ab]²－2(ab)².

       把a－b=2，ab=－1代入得：

       原式=[2²+2×(－1)]²－2(－1)²

              =[4－2]²－2×(－1)²=4－2＝2．

【反思】对于繁杂的计算有时通过因式分解进行计算，快且准.

【例2】分解因式：x²﹣120x+3456

【分析】由于一次项系数和常数项数值较大，直接用“十字相乘法“较困难，可采用完全平方公式进行配方，然后设法用平方差公式。

【解】原式=x²﹣2×60x+3600﹣3600+3456

=（x﹣60）²﹣144

=（x﹣60+12）（x﹣60﹣12）

=（x﹣48）（x﹣72）

【练习2】分解因式：x²+86x﹣651．

（别急着看答案）

【解】x²+86x﹣651

=（x+43）²﹣2500

=（x+43+50）（x+43﹣50）

=（x+93）（x﹣7）．

【例3】先阅读，再因式分解：

       x⁴+4=（x⁴+4x²+4）﹣4x²

              =（x²+2）²﹣（2x）²

              =（x²﹣2x+2）（x²+2x+2），

       按照这种方法把多项式x⁴+324因式分解．

【分析】设法将原式变形（“拆项、添项”法）后，利用平方差公式分解因式．

【解】x⁴+324=x⁴+36x²+324﹣36x²          

       =（x²+18）²﹣36x²                   

       =（x²+18）²﹣（6x）²                  

=（x²+18+6x）（x²+18﹣6x）．

【反思】熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．

【练习3】分解因式：x⁴+x²y²+y⁴．

（别急着看答案）

【解】原式=x⁴+2x²y²+y⁴﹣x²y²

=（x²+y²）²﹣x²y²

=（x²+xy+ y²）（x²－xy+ y²）

特别推荐：

《整式的乘除与因式分解》培优系列往期回顾

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