尖子生之路[七上系列]——一元一次方程（30） ——一元一次方程的实际应用（20）——动点问题
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一元一次方程的实际应用（20）
——动点与数轴问题
【例1】已知数轴上有两点A、B，点A对应的数为﹣10，点B在点A的右边，且距离A点16个单位，点P为数轴上一动点，其对应的数为x．
（1）若点P到点A、点B的距离相等，求点P对应的数；
（2）是否存在这样的点P，使点P到点A、点B的距离之和为18？若存在，请求出x的值：若不存在，请说明理由？
（3）点Q是数轴上另一个动点，动点P、Q分别从A、B同时出发，点P以每秒6个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，点Q以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，M为AP的中点，点N在线段BQ上，且BN=(1/3)BQ，设运动时间为t（t＞0）秒．
①求数轴上点M、N表示的数（用含t的式子表示）
②t为何值时，MN距离为4？
【分析】结合数轴和绝对值的意义（距离）表示出点P与A、B的距离，再利用题中给出的条件列方程．
（1）相等关系：点P到点A、点B的距离相等；
（2）分类讨论：分点P在点A左边、点P在点A、B之间及点P在点A右边三种情况，相等关系：点P到点A、点B的距离之和为18；
（3）①根据题意，找出：当运动时间为t秒时，点P对应的数为6t﹣10，点Q对应的数为6﹣3t，再结合“M为AP的中点，点N在线段BQ上，且BN=(1/3)BQ”；
②根据MN=4列方程．
【解】（1）∵点A对应的数为﹣10，点B在点A的右边，且距离A点16个单位，
∴点B对应的数为6．
∵点P到点A、点B的距离相等，
∴x﹣（﹣10）=6﹣x，∴x=﹣2．
∴点P对应的数为﹣2．
（2）当点P在点A左边时，
﹣10﹣x+6﹣x=18，解得x=﹣11；
当点P在点A、B之间时，PA+PB=16＜18，
∴此情况不存在；
当点P在点A右边时，
x-(-10)+x-6=18，解得x=7．
综上所述，存在这样的点P，使点P到点A、点B的距离之和为18，且x的值为﹣11或7．（3）①当运动时间为t秒时，点P对应的数为6t-10，点Q对应的数为6-3t，
∵M为AP的中点，点N在线段BQ上，且BN=1/3BQ，
∴点M对应的数为(6t-10-10)/2=3t﹣10，点N表示的数为6-(6-3t-6)/3=6-t．
②∵MN=4，∴|3t-10-(6-t)|=4，
解得t1=3，t2=5．
答：t为3或5时，MN距离为4．
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【例2】在数轴上，点A代表的数是﹣3，点B代表的数是15，点Q表示的数是1．
（1）若P从点A出发，向点B运动（到达点B时运动停止）；每秒运动2个单位长度，M在AP之间，N在PB之间，且MP=1/2AP，NP=2/3BP，运动多长时间后MN=10？
（2）若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点Q分别以每秒7个单位长度和3个单位长度的速度向右运动．试探索BQ﹣AQ的值是否随着时间t（秒）的变化而变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出这个值；
（3）若CD为数轴上一条线段（点C在点D的左边），CD=2，当CA+CB+CQ+DA+DB+DQ的值最小时，请直接写出点C对应的数c的取值范围．
【分析】（1）根据题意列出方程可解；
（2）根据题意BQ=15+7t﹣（1+3t ）=14+4t，AQ=1+3t﹣（﹣3﹣t ）=4+4t，则BQ﹣AQ=10是定值；
（3）根据两点之间，线段最短可得要使CA+CB+CQ+DA+DB+DQ 最小，那么 Q 一定在CD 上，且CD=2，即可求C点对应的数c的取值范围．
【解】（1）当运动 t 秒时，则AP=2t，PB=18﹣2t.
∵MN=MP+NP，∴1/2AP+2/3BP=10t+12﹣4/3t=10，解得：t=6.
（2）不变．
当运动 t 秒时，
∵BQ=15+7t-(1+3t)=14+4t，
AQ=1+3t-(-3-t)=4+4t
∴BQ-AQ=10
（3）∵要使 CA+CB+CQ+DA+DB+DQ最小，那么 Q 一定在 CD 上，且CD=2，
∴－1≤c≤1．
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