2019-2020福建泉州九上质检倒一压轴解析——直角三角形对称与一次函数

2019-2020泉州九上质检倒一压轴

【第25题】如图，∠MBN＝45°，点P为∠MBN内的一个动点，过点P作∠BPA与∠BPC，使得∠BPA＝∠BPC＝135°，分别交BM、BN于点A、C．

（1）求证：△CPB∽△BPA；（2）连接AC，若AC⊥BC，试求PC/AC的值；（3）记AP＝a，BP＝b，CP=c，若a+b-c=20，a≥2b，且a，b，c为整数，求a，b，c的值．【第一问】
【图文解析】由三角形内角和定理，得∠PAB+∠PBA=∠PCB+∠PBC＝∠PBA+PBC＝45°，进一步，得如下图标注的结论．由两角相等，可证△CPB∽△BPA．
【第二问】【试题】如图，∠MBN＝45°，点P为∠MBN内的一个动点，过点P作∠BPA与∠BPC，使得∠BPA＝∠BPC＝135°，分别交BM、BN于点A、C．（2）连接AC，若AC⊥BC，试求PC/AC的值；【图文解析】
当AC⊥BC时，因∠MBN＝45°，AB：AC＝√2：1．由△CPB∽△BPA，得PA：PB＝PB：PC＝AB：BC＝√2：1，得PA＝√2PB，PB＝√2PC，进一步，得PA＝(√2)²PC＝2PC．在Rt△PAC中，由勾股定理，得AC＝√PC，所以PC/AC＝1/√5＝√5/5．如下图示：三十多年的一线教学经历的感触

一本数学教辅书如果阅读费劲，书的真正价值体现起来难度较大，购书时的激情就会逐渐被“费劲费时”消磨成了“苦与累”，甚至起反作用（经常听家长们说，买了很多好书本想让孩子好好努力，可成绩反而差了，有的书还没翻上10页……，×××的答案和解析看不懂……），最终成了摆设，成了负担，甚至浪费了时间与精力.基于上述原因，从2017.3.23起，本公众号几乎不间断的撰写“图文解析”方面的解题析题文章，图文并茂地解析压轴题，努力让读者轻松理解和体会压轴题的解题思路和方法技巧.

【第三问】
【试题】如图，∠MBN＝45°，点P为∠MBN内的一个动点，过点P作∠BPA与∠BPC，使得∠BPA＝∠BPC＝135°，分别交BM、BN于点A、C．（3）记AP＝a，BP＝b，CP=c，若a+b-c=20，a≥2b，且a，b，c为整数，求a，b，c的值．【解析】
【法一】由（1）知：△CPB∽△BPA，得PA：PB＝PB＝PC，即a/b=b/c，设比值为x，则b=cx，a=bx=cx²．代入已知条件a+b-c=20，得cx²+cx-c=20，即x²+x-1-20/c=0．由a≥2b（b>0），得a/b≥2，即x≥2．且△＝1-4(-1-20/c)=5+80/c≥0．　得5+80/c≥25．解得c≤4．又因c为整数，且c>0．所以c=1，2，3，4．又由于当c=1，2，3时，c为无理数，不符合题意，舍去．∴c=4，x=2．进一步，得b=cx=8，a=bx=16．【或】由（1）知：△CPB∽△BPA，
得PA：PB＝PB＝PC，即a/b=b/c，得b/a=c/b，若设比值为t，则b=at，c=bt=at²，代入已知条件a+b-c=20，得a+at-at²=20．即t²-t-1+20/a=0．由a≥2b（b>0），得0<b/a≤1/2，即0≤x≤1/2．……【反思】数与式、含参方程等的巧算与讨论，历来是纯代数压轴题考查重点，熟练的基本计算能力是解决的关键！
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