金磊老师：圆锥曲线讲义之十五——抛物线（三）

上节讲了与抛物线一条切线有关的几何性质，本节介绍与抛物线焦点弦（过焦点的弦）有关的几个经典而有趣的性质。

注：

(3) 上面对本结论提供了两种证明方法，都比较经典，联立方程是二次曲线的通性通法，前面椭圆中一直在用，上述解法二消去y，简单明了，当然这里也可以消去x，要稍微麻烦一点。解法一的参数方程法是抛物线独有的方便解法，所有的性质都可以这样简单明了的解决，所以本系列主要采用此方法，较少使用联立方程的解法。

当然本题应该还有其他的解法，有兴趣的读者可以自行探究。

17  以AB为直径的圆是否恒与某条直线相切？

结合图像，容易猜测此圆与准线相切。

证法一：

以AB为直径的圆的方程为：

证法二：

由抛物线定义知AA’=AF,BB’=BF,

由梯形中位线定理得

MM’=(AA’+BB’)/2=(AF+BF)/2=AB/2=MC,

故以AB为直径的圆恒与准线相切于M’。

注：上述证法对比显然平面几何方法简单明了。这样本题可以改造为初中考试题。

18  以A’B’为直径的圆是否过定点，并判断此圆与AB的位置关系

容易根据图形发现以A’B’为直径的圆与AB切于点F。

证法一：

故此圆与AB切于点F。

证法二：

由AA’=AF及AA’//FF’得

∠A’FF’=∠AA’F=∠A’FA,

即A’F平分∠AFF’，

对称的B’F平分∠BFF’，

故∠A’FB’=0.5*180°=90°。

即以A’B’为直径的圆恒过定点F。

由M’A’=M’F,AA’=AF知△M’A’A≌△M’FA’(SSS),

故∠M’FA=∠M’A’A=90°，

故此圆与AB切于点F。

注：

进一步，由∠A’FB’=90°利用射影定理即得F’A’*F’B’=F’F^2，

从而本结论和结论16可以互相推演。

19 求以A’B’为直径的圆和以AB为直径的圆的公共弦

由准确的图形可以发现两圆公共弦为y轴。

证法一：

证法二：

由中位线定理知A’F中点D在y轴上且ADM’共线，

由18题知M’A’AF共圆，则

DA’*DF=DA*DM’,

即D对两圆的幂相等，

同理B’F中点G对两圆的幂相等，

故两圆公共弦即根轴为y轴。

解法二：

由18的证明知知M’A’AF共圆,

注：

此结论简洁优美，对于圆锥曲线都有类似的结论，用第二定义或者极坐标能简洁明了的解决此类问题。

21 A’OB, AOB’是否共线？

A’OB, AOB’均共线。

证法一：

故A’OB共线,

对称的，AOB’共线。

证法二：

设AO交准线于B’’,则

B’’O/B’’A=OF’/AA’=OF/AA’=BF/BA,

则BB’’//FF’,

故B’,B’’重合，即

AOB’共线,

对称的，A’OB共线。

解法二：

由18的证明知知M’A’AF共圆,且

∠FM’F’=∠A’AF=θ,∠AM’B=∠M’FA=90°,

由射影定理得M’F^2=FA*FB,则

此为过A的切线的斜率，从而M’A为抛物线的切线，

对称的M’B为抛物线的切线。

解法二：

由前面性质18的证明，

有∠FDA=90°,把上节性质9作为判定，即得M’A为抛物线的切线，

(或者由∠AFM’=90°结合性质10,或者由∠FAM’=∠A’AM’结合性质12，均可得到切线。)

对称的M’B为抛物线的切线。

解法三：

若MA’和抛物线还有另一个公共点C，

设C在准线上投影为C’,则由性质18知A’F⊥FB’,C’F⊥FB’,

则A’和C’重合，即A和C重合，矛盾，

故MA’和抛物线相切，

对称的M’B为抛物线的切线。

注：本题证法非常多，几乎上一节切线的每一个性质都能作为判定。还能证明上节的性质9：ND=0.5AA’=0.5(IA’+AI)=0.5(FO+AI),故以AF为直径的圆切y轴于D。

本节讲解了切点弦的8个经典性质，这些性质基本都是在平时的考试中屡见不鲜的，本文都给出了代数和几何两种证明。可以发现，本节所有性质都可以用简单的纯几何方法得到，包括上节的切线性质9到16。事实上，根据抛物线定义，几乎可以用纯几何方法简洁证明抛物线的所有性质。

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往期回顾

一、集合、充分条件与必要条件部分

二、函数与方程部分

三、数列部分

三、不等式部分

四、解析几何部分