北师版初一数学第五章《一元一次方程》知识点总结
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知识点总结
第五章 一元一次方程
1、方程
含有未知数的等式叫做方程。
2、方程的解
能使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解。
3、等式的性质
（1）等式的两边同时加上（或减去）同一个代数式，所得结果仍是等式。
（2）等式的两边同时乘以同一个数（（或除以同一个不为0的数），所得结果仍是等式。
4、一元一次方程
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1的整式方程叫做一元一次方程。
5、移项：把方程中的某一项,改变符号后,从方程的一边移到另一边,这种变形叫做移项.
6、解一元一次方程的一般步骤：
（1）去分母（2）去括号（3）移项（把方程中的某一项改变符号后，从方程的一边移到另一边，这种变形叫移项。）（4）合并同类项（5）将未知数的系数化为1
1、什么是一元一次方程？
2、求解一元一次的方法步骤是什么？
方法：利用两条等式的性质把方程同等变形求解。
等式性质1：等式两边可以同加或同减一个代数式。
等式性质2：等式两边可以同乘或同除（除0）一个数。
步骤：（1）去分母：两边同乘分母的最小公倍数。不能忘记还要给么有分母的项也要乘以最小公倍数。
（2）去括号：利用乘法分配率。
（3） 移项：注意从等号一边跑到另一边要变号，当然，没有动的项就不要变号了。
（4）合并同类项：把同类型的系数进行相加计算。
（5）系数化为1:两边同除以系数或同乘以系数的倒数。
3、应用一元一次方程，你都记得都学习了哪些类型？
（1）水箱变高了——有些题是体积，周长没变。
（2）打折销售——这些题，先要熟记公式，来，复习下
售价=_________________________, 利润=____________ ,利润率=_______________
然后，要根据题意看看都能表示出哪些量，最后，观察你表示出的这些量，往往等量关系就出来，方程也就出来了。
（3）希望工程——就是卖票吗？知道票总张数=谁加谁。知道总钱数=谁加谁，就可以了。这类题的难题是如这种类型，如一批学生去旅游，甲公司说，都打八折。乙公司说，老师免费，学生九折等等。
（4）追赶小明——会画线段图，题就解答了一半了。关键点是：追赶用的时间。追的人和被追的人从开始追到追上所用的时间一样的。
【解是0就是未知数的值等于0】
导学教案
第五章 一元一次方程
1 认识一元一次方程
一、学生起点分析
学生在小学期间已学过等式、等式的基本性质以及方程、方程的解、解方程等知识，经历了分析简单数量的关系，并根据数量关系列出方程、求解方程、检验结果的过程。对方程已有初步认识， 但并没有学习“一元一次方程”准确的理性的概念。
二、学习任务分析
本节从有趣的“猜年龄”游戏入手，通过对五个熟悉的实际问题的分析，学生结合已有知识，能得出一元一次方程。在此过程中，学生逐渐体会方程是刻画现实世界、解决实际问题的有效数学模型.
本节的重点：学生在实际问题中分析、找到等量关系,准确列出方程，并总结所列方程的共同特点，归纳出一元一次方程的概念。
本节的难点：由特殊的几个方程的共同特点归纳一元一次方程的概念。
三、教学目标
、在对实际问题情境的分析过程中感受方程模型的意义；
、借助类比、归纳的方式概括一元一次方程的概念，并在概括的过程中体验归纳方法；
、使学生在分析实际问题情境的活动中体会数学与现实的密切联系。
四、教学过程设计
环节一：阅读章前图
内容：请一位同学阅读章前图中关于“丟番图”的故事。（大约分钟）
丢番图（ ）是古希腊数学家．人们对他的生平事迹知道得很少，但流传着一篇墓志铭叙述了他的生平：坟中安葬着丢番图，多么令人惊讶，它忠实地记录了其所经历的人生旅程．上帝赐予他的童年占六分之一，又过十二分之一他两颊长出了胡须，再过七分之一，点燃了新婚的蜡烛．五年之后喜得贵子，可怜迟到的宁馨儿，享年仅及其父之半便入黄泉．悲伤只有用数学研究去弥补，又过四年，他也走完了人生的旅途.
——出自《希腊诗文选》（ ）第题
目的：通过阅读章前图中的故事，激发同学们探索丟番图年龄的兴趣，进而引导学生通过列方程解决问题，感受利用方程可以解决实际问题，感受方程是刻画现实世界有效地模型。
效果：学生对丟番图的故事很感兴趣，有的学生提出问题：他的年龄是多少呢？教师借机也提出问题：用什么方法可以求解丟番图的年龄呢？紧接着呈现内容。
内容：回答以下个问题：（大约分钟）
、你能找到题中的等量关系，列出方程吗？
、你对方程有什么认识？
、列方程解决实际问题的关键是什么？
目的：第一个问题考查学生根据等量关系列方程的能力，对于解方程这里不做要求。第二个问题意在鼓励学生用自己的语言对方程进行描述，锻炼学生的数学语言表达能力。第三个问题强调列方程解应用题的关键是：寻找等量关系。
实际效果：第一个问题学生可以完成问题。如下：
解：设丟番图的年龄为岁，则：
第二个问题学生的表述合理即可，教师可以用规范的语言再次强调：方程是刻画现实世界有效地模型。第三个问题学生回答较好。
内容：阅读学习目标：（大约分钟）
学习本章内容，你将感受方程是刻画现实生活中等量关系的有效模型。
掌握等式的基本性质，能解一元一次方程。
能用一元一次方程解决一些简单的实际问题。
在探索一元一次方程解法的过程中，感受转化思想。
目的：通过阅读学习目标，学生了解了本章知识的学习内容共有两部分：解一元一次方程和能用一元一次方程解决一些简单的实际问题。学生对于本章知识的学习和数学思想有一个整体的概念。
实际效果：学生通过阅读，目标明确了，学习更有针对性。尤其是认识了“转化思想”的重要性。
环节二：自主阅读、学习
内容：让学生阅读本节教材随堂练习之前的内容。结合课本多以问题串的形式呈现内容的特点，粗读并完成书上的填空题。（大约分钟）
目的：通过读书的过程，首先让学生回忆起小学学过的等式的概念、方程的概念，对课文所设置的较简单又熟悉的实例中的各种量的关系分析清楚，找出等量关系，列出方程，体会不同类型的方程.
实际效果：通常，多数学生能够分析教材实例中所蕴含的各种数量关系，并列出方程。教学过程中需要注意学生在这个环节的活动中所表现出来的书写不规范，错误的地方，提醒学生注意。
环节三：情境引入
内容：与学生共同分析完成课本呈现的五个情境：
（ ）如果设小彬的年龄为岁，那么“乘再减”就是，所以得到方程：
组织活动：四人小组做猜年龄的游戏，每个小组会有几个不同的等式.
如：我的年龄乘减等于，你知道老师多大了吗？
学生算出老师岁了
（ ）小颖种了一株树苗，开始时树苗高为，栽种后每周树苗长高约，大约几周后树苗长高到？
如果设周后树苗长高到，那么可以得到方程：
（ ）甲、乙两地相距，张叔叔从甲地出发到乙地，每时比原计划多行走
，因此提前到达乙地，张叔叔原计划每时行走多少千米？
设张叔叔原计划每时行走，可以得到方程：
（ ）根据第六次全国人口普查统计数据，截至年月日时，全国每万人中具有大学文化程度的人数为人，与年第五次全国人口普查相比增长了．
如果设年第五次全国人口普查时每万人中约有人具有大学文化程度，那么可以得到方程：( )
（ ）某长方形操场的面积是 ，长和宽之差为，这个操场的长与
宽分别是多少米？
如果设这个操场的宽为，那么长为（ ）．可以得到方程
目的：通过准确列五个方程，感受：、列方程解应用题的关键是：寻找等量关系；、五个方程可分为三种类型：一元一次方程，分式方程，一元二次方程。
注意事项：学生在列方程时要注意以下问题：
、让学生读题、审题，锻炼学生的审题能力；
、（ ）中单位换算：米厘米。等量关系为：最后树高初始树高每周生长高度；
、（ ）中单位换算：分 小时。等量关系为：原计划所用时间现在所用时间提前时间；
、（ ）中数字在前，字母在后。
环节四：归纳一元一次方程的定义，了解一元一次方程的解的含义
内容：议一议
（ ）由上面的问题你得到了哪些方程？其中哪些是你熟悉的方程？与同伴
进行交流.
共得到五个方程。其中（ ）、（ ）、（ ）都只有一个未知数，在小学学习时常见。
（ ）方程，，( )有什么共同点？
它们都只含有一个未知数，且未知数的指数都是。
目的：由（ ）引导学生逐步深入地思考所列的五个方程的特点：未知数的次数、位置不同；由（ ）得出一元一次方程的定义：在一个方程中，只含有一个未知数，且未知数的指数都是，这样的方程叫做一元一次方程。
实际效果：逐步引发学生对方程特点的研究，由此让学生自己说出一元一次方程的定义，并判断上述五个方程只有三个一元一次方程。结论的得出源于学生在实际问题中分析，并不断地综合总结，体现了学生思维的主动性.
内容：判断下列各式是不是一元一次方程，是的打“√”，不是的打“ｘ”。
目的：巩固定义，准确判断一元一次方程的形式。
效果：（ ）、（ ）、（ ）是一元一次方程。学生易出现以下错误：
、漏掉（ ）；事实上（ ）是最简洁的方程形式；
、错选（ ），次数不满足条件。
内容：方程的解得含义：使方程左、右两边的值相等的未知数的值，叫做方程的解。
完成随堂练习题：
是下列方程的解吗？
目的：了解方程的解的含义；判断是否为方程的解的方法：将解带入原方程，分别计算左和右，看是否相等。相等则为原方程的解。
实际效果：、学生有小学的基础，能理解方程的解的含义；
、学生熟练将方程的解带入方程进行验证，得出结论。
环节五：达标检测
内容：完成教材上的随堂练习、根据题意，列出方程：
（ ）在一卷公元前年左右遗留下来的古埃及纸草书中，记载着一些数学问题．其中一个问题翻译过来是：“啊哈，它的全部，它的 ，其和等于．”
你能求出问题中的“它”吗？
解：设“它”为，则：
（ ）甲、乙两队开展足球对抗赛，规定每队胜一场得分，平一场得分，负一场得分．甲队与乙队一共比赛了场，甲队保持了不败记录，一共得
了分．甲队胜了多少场？平了多少场？
解：设甲队赢了场，则乙队赢了（ ）场。则：
、达标练习：
1、如果 是一元一次方程，那么 .
2、下列各式中，是方程的是（只填序号）
①②③7m④ ()
3、下列各式中，是一元一次方程的是（只填序号）
①②③④
4、的％加上等于 . 则可列出方程：.
5、某数的一半减去该数的 等于，若设此数为，则可列出方程
6、一桶油连桶的重量为千克，油用去一半后，连桶重量为千克，桶内有油多少千克？设桶内原有油千克，则可列出方程
、小颖的爸爸今年岁，是小颖年龄的倍还大岁，设小明今年岁，则可列出方程：
、 年前，父亲的年龄是儿子年龄的倍，年后父亲的年龄是儿子年龄的倍，求父子今年各是多少岁？设年前儿子年龄为岁，则可列出方程：
目的：对本节知识进行巩固练习
实际效果：
、学生基本能很好地对随堂练习的问题给出准确的解答。
、由同学选自己组的代表发言，对随堂练习 中的各个量及所表示的意义进行说明，加深对背景下的数学模型的理解。
、达标练习中的题可以有选择的做。
环节六：课堂小结
内容：师生互动，梳理本节内容。（本节课你的收获，你的疑惑）
目的：鼓励学生结合学习本节课本内容及课前的预习，谈谈自己的收获与感想，包括如何调整自己的读书方法.
实际效果：
学生一方面总结出了：
1．本节给出了四个知识点：等式（回顾巩固），方程（给出描述性定义），一元一次方程及一元一次的解（根）.
2．感觉在解决实际问题时，列方程相比小学算术法，给出的思维方式与途径更具普遍性.
3．列方程的核心：实际问题“数学化”，关键是找到等量关系。
另一方面：每位同学都在现有程度上，适当调整自己的读书预习方式及自己独立思考问题的途径.
环节七：布置作业
、习题
、思考：如何得到所列三个一元一次方程的解？
五、教学反思：
1．此阶段的学生有比较强烈的自我发展意识，对与自己的主观经验相冲突的现象，教师只有进行得当合理的诠释方可得到学生的认可。授课时要设法让学生体会运用方程建模的优越性，将能使众多实际问题“数学化”的重要数学模型成为学生学习后续知识的自觉选择。
2．让学生在简单的背景问题中，一点一滴地体会分析已知量、未知量之间的数量关系，对列方程的帮助，其正做到分解难点、降低难度、突破难点的目的.
3．学生的读书仍然停留在表面上的阅读，还须继续坚持和及时引导。
2 求解一元一次方程
一、学生起点分析
学生在上一节已经掌握了用移项法则解一元一次方程,用等式的基本性质二将方程中未知数的系数化为1,从而转化方程为x=a（a为常数）的形式，本节课在第一节的基础上进行去括号的应用，学生在之前已经学习了去括号法则，但仍然存在不少问题，教学时需复习巩固． 二、学习任务分析
第一课时要求学生完成用等式基本性质一解方程,分析、观察、归纳出用移项法则,从而简化解方程的步骤.第二课时，让学生体会当方程左右两边含有括号时，如何通过去括号法则将方程化简再运用等式的基本性质一、二使方程变形到“x＝a（a为常数）”的形式. 三、教学目标
知识与能力：经历解方程的基本思路是把“复杂”转化为“简单”，把“未知”转化为“已知”的过程, 进一步
理解并掌握如何去括号的解题方法。
教学思考：研究在解方程时如何去括号，并从中体会转化思想。
解决问题：通过解方程的方法、步骤的灵活多样，培养学生分析问题、解决问题的能力。
情感态度与价值观：培养学生自觉反思求解过程和自觉检验方程的解是否正确（不要求写出检验步骤）的良好
习惯，体验求知的成功，增强学习的兴趣和信心。
教学重点和难点
重点：灵活掌握和运用解一元一次方程的基本程序。
难点：解方程时如何去括号。（①不漏乘括号外的因数②注意括号外为负因数时，去括号后各项的符号都要改变。）
四、教学过程设计
本节课通过过关形式进行设计了四关：第一关：课前练习；第二关：我参与我讨论，合作学习；第三关显身手，验效果，探索交流，深化认识，巩固提高；最后：课堂小结；第布置作业．
第一关，课前练习 内容:设置问题串,
1. 上一节课解一元一次方程的题型有什么特点?一般步骤是什么？移项有什么注意事项？2. 课前练习，有信心吗？
通过两个练习，一去括号三个题目，回忆巩固去括号法则，为本节学习奠定基础。二解方程，熟练上节所学解
方程的一般步骤。
第二关：合作学习，我参与，我讨论 内容：请同学们分析理解图解题.
1. 由同学根据图示编出一道合理的应用题.
2. 比较此题与本章节第一节引例的实际问题有何区别？
目的：进一步让学生体会数学中问题的提出大都是因人们的生活实践需要，因社会的发展需要，实际问题的“数学化”，数学服务于生活实际随处可见.
在学生由图示内容编题过程中，让学生强化“三种语言”的互话能力.即：文字语言，符号语言和图例语言
之间的互相转化.学生着方面能力的培养在教师授课的过程中需要引起关注，将是一个事半功倍的方法，尤其是设法充分利用教材中所呈现内容这一资源，显得尤为重要. 实际效果：
1、同学完整编出此题：
小林到超市，准备买1听果奶和4听可乐，小明告诉他一听可乐比一听果奶贵5角钱， 小林给了营业员20元钱，找回了3元，大家帮助小林算算一听果奶，一听可乐各是多少钱？
完成的过程体现出学生对图例中已知、未知等相关方面的信息掌握全面，梳理清晰，表达准确.
1、 本例及本章节的背景问题，学生们发现设问中的未知量由原来的一个增加到现在的两个，并给出完整的解答
过程．这些方面学生都能很完整、准确地给予书面语言的表达，完成得非常好，为后续课程的学习奠定了很好的基础
让同学们讨论一下，如何列出方程？. 列出方程：４(x＋0.5)+ x =20-3.
这个方程列的对吗？怎样解所列的方程？让同学们分析此方程与上节方程的不同 解方程：４(x＋0.5)+ x =17. 解：去括号，得 ４x＋2+ x =17.
移项，得 ４x+ x =17-2. 合并同类项，得 5x =15. 方程两边同除以5，得 x =3.
此题通过师生合作解决，强调规范的步骤格式.
接着给出两个方程试一试，我能行。4 x — 3（2—x）=15
可由同学上台板演，教师巡视指导、订正。再次叮嘱学生注意符号。让同伴帮助出错的同学找原因，通过组内交流、合作，解决问题，达到团结协作精神。
同时鼓励灵活解题，培养学生的分析问题和解决问题的能力。通过上述过程，强调学生在去括号时注意：
①不漏乘括号外的因数；②括号前是“－”号，要变号。
探索交流，深化认识
内容：1.课本175页，例4解方程：-2(x-1)=4.
解法一:去括号，得 -2x+2=4.
移项，得 -2x=4-2. 化简，得 -2x=2. 方程两边同时除以-2，得x=-1.
解法二：方程两边同时除以-2，得x-1=-2.
移项，得 x=-2+1．
即 x=-1.
此题通过学生板演解决,观察两种解方程的方法,说出它们的区别,同伴间进行交流.
目的：一方面让学生继续巩固含括号的一元一次方程的解法；另一方面让学生感受将(x-1)或其他的未知数的代数式看成整体的数学思想. 培养学生分析，问题归纳问题，灵活解决问题的能力，优化学生的思维结构。
第三关：显身手，验效果
1.给出两方程，让学生到黑板做 （1）?3(x +3) =24; （2）2x — 2（3—2x）=3
2.解方程3-(x+6)=-5(x-1)时，去括号正确的是( ) A.3-x+6=-5x+5 B.3-x-6=-5x+5 C.3-x+6=-5x-5 D.3-x-6=-5x+1
【解析】选B.选项A,C的6及-5没变号；选项D出现了漏乘. 3.【想一想错在哪？】解方程：3(x-3)-(3-x)=8.
解：去括号，得：3x-3-3+x=8
移项，得：3X+x= 8+3+3 合拼同类项，得：4X=24
4.如果2(x+3)的值与3(1-x)的值互为相反数，那么x＝_______. 环节四：课堂小结
１.本节课我们学习了哪些内容？哪些思想方法？
２.解含有括号的一元一次方程的一般步骤是什么？每步变形的依据及需注意什么？
内容：学生归纳总结本节内容，并回顾复习每步变形的依据及注意事项.
目的：学生的课堂小结看似简单，但是却反映学生知识内化的重要方面，这个过程的实现，通过学生的书面表达完成，更能体现了学生的综合能力.
环节五：布置作业 习题第5.4第１、２小题
课后反思
创造性地使用教材,是教师的主导作用的体现.本课时教材在使用时至少有三处贯穿了这样的思想.教师这个“教练”、“导演”应该引导学生充分利用其课文内在的资源，使其发挥最大的作用.如：（1）开始引例“图示”的内容，让学生用其素材编题. （2）本例解题过程回答题中两个未知量的解答环节. （3）通过让学生自编用整体思想解答的方程.
这些环节的设置，对系统地、全面地培养学生捕捉信息、分析信息和处理信息的能力有非常大的作用，对学生课上反思、课上内化知识的能力提高.作为教师，应该长期坚持与学生在这方面切磋、探索，把课堂充分还给学生，充分尊重学生的个性思维，引导学生构建自己的认知结构，并给予适时调控和指导。
3 应用一元一次方程——水箱变高了
教学目标：
1.通过分析图形问题中的基本等量关系，建立方程解决问题；
2.进一步了解一元一次方程在解决实际问题中的应用；
3、通过对实际问题的解决，体会方程模型的作用，发展分析问题、解决问题、敢于提出问题的能力.
重点：列出一元一次方程解有关形积变化问题；
难点：依题意准确把握形积问题中的等量关系。
教学过程：
一、预习 阅读教材P141-142，将书上的空格内容填好，并勾出不懂的地方。
1.方程解应用题的5个步骤是什么?
(1)__________________． (2)________________．(3)__________________．
(4)_________________．（5）_________________.
2.填空
长方形的周长=_________，面积=__________ ．
长方体的体积=_________，正方体的体积=__________．
圆的周长=___________；面积=_______________． 圆柱的体积=_______________．
二、探索新知
1、理解解应用题的关键是找等量关系列方程
阅读课本P141思考下列问题：
（1）、这个问题中的等量关系是：旧水箱的 =新水箱的
（2）、设水箱的高变为xm，填写下表：（3）、根据等量关系，列出方程：(记得用π不要用3.14) 解得：x . 因此，水箱的高变成了 m
变式练习：将一个底面直径是10厘米，高为36厘米
的“瘦长”形圆柱锻压成底面直径是20厘米的“矮胖”形圆柱，高变成了多少？
这个问题中的等量关系是：
设锻压后圆柱的高为 x 厘米，填写下表：
(提示：1、题目中已知的是“底面直径”，而不是“底面半径”，所以应注意转化.2、π的值不用写出，
在计算过程中可根据等式基本性质2约去.3、根据锻压前后体积不变这个等量关系来建立方程！)
解：根据等量关系，列出方程:
解得x= 因此，“矮胖”形圆柱，高变成了 m.
归纳：本节主要研究形积变化问题.对于这类问题，虽然形状和体积都可能发生变化，但应用题中任然含有一个相等关系，要通过分析题意和题目中的数量关系，把这个能够表示应用题全部含义的相等关系找出来，然后根据这个相等关系列出方程.此类问题常见的有以下几种情况：
1、 形状发生了变化，而体积没变.此时，相等关系为变化前后体积相等.
2、 形状、面积发生了变化，而周长没变.此时，相等关系为变化前后周长相等.
3、 形状、体积不同，但根据题意能找出体积之间的关系，把这个关系作为相等关系.
三．应用
1.例1 阅读课本P141-142例题，完成下列问题
⑴使得该长方形的长比宽多1.4m，此时长方形的长和宽各为多少米？
⑵使得该长方形的长比宽多0.8m，此时长方形的长和宽各为多少米？它所围成的长方形与⑴中所围成长方形相比，面积有什么变化？
⑶使得该长方形的长与宽相等，即围成一个正方形，此时正方形的边长是多少米？它所围成的面积与⑵中相比又有什么变化？
解题感悟：解决这道题的关键是什么？从解这道题中你有何收获和体验？
2.练习：用两根等长的铁丝分别绕成一个正方形和一个圆，已知正方形边长比圆的半径长2（π-2）米，求两个等长铁丝长度，并通过计算比较说明谁的面积大.
(分析：正方形周长=圆的周长)
解：设
3.归纳：用一元一次方程解决实际问题的一般步骤
（1）审：审题，分析题中已知什么、求什么，明确各数量之间的关系；
（2）找：找出能够表示应用题全部含义的一个相等关系；（3）设：设未知数（一般求什么，就设什么）；
（4）列：根据相等关系列出需要的代数式，从而列出方程；
（5）解：解所列的方程，求出未知数的值；
（6）检：检查所求解是否符合题意；
（7）答：写出答案（包括单位名称）.
4.例1 制造一个长5cm，宽3cm的无盖水箱，箱底的造价每平方米为60元，箱壁每平方米的造价是箱底每平方米造价的2，若整个水箱共花去1860元，求水箱的高度. 3
分析：本题已知箱底和箱壁每平方米的造价，所以应分两部分分别计算出箱底和箱壁的面积，相等关
系是箱底的造价+箱壁的造价＝1860元，可直接设未知数来解.
5.练习：用直径为4cm的圆钢，铸造三个直径为2cm，高为16cm的圆柱形零件，
问：需要截取多长的圆钢？
分析：本题是等积变形问题，其相等关系是：铸造前圆钢的体积＝底面积×高.设所需圆钢的长为 xcm，则铸造前圆钢的体积为
四．小结 π∙ ⎪x，铸造后3个圆柱的体积为⎛4⎫⎝2⎭. ⎛2⎫3×π× ⎪×16⎝2⎭2
1、形积变化问题常见的有以下几种情况：
（1） (2) (3)
2、用一元一次方程解决实际问题的一般步骤：
五．评价检测
1、用直径为40mm、长为1m的圆钢，能拉成直径为4mm、长为_______m的钢丝。
2、用一根铁丝可围成一个长24厘米、宽12厘米的长方形。若将它围成一个正方形，则这个 正方形的面积是（ ）
A、81㎝² B、18㎝² C、324㎝² D、326㎝²
3、将底面直径为12厘米，高为30厘米的圆柱水桶装满水，倒人一个长方体水箱中，水只占水箱容积的2，设水箱容积为x立方厘米，则可列方程_________________． 3
4、把一块长、宽、高分别为5㎝、3㎝、3㎝的长方体铁块，浸入半径为4㎝的圆柱形水杯中（盛有水），水面将增高多少？(不外溢) （40分）
六．拓展
1、把直径6cm ，长16cm的圆钢锻造成半径为4cm的圆钢，求锻造后的圆钢的长。
2.小圆柱的直径是8厘米，高6厘米，大圆柱的直径是10厘米，并且它的体积是小圆 柱体体积的2.5倍，那么大圆柱的高是多少？
4 应用一元一次方程——打折销售
这节课是北师版七年级上第五章第四节的内容，前面已经完成了一元一次方程定义和解法的初步学习，同学们会解方程，能对简单的实际问题建立方程模型，上节课在等积变换问题上应用了列表的方法分析等量关系，学生已经积累了部分活动经验，这节课的学习进一步强化学生的建模意识，能从实际问题中理清数量关系，能把具体情景中等量关系找出来，教学的重点就是列方程，感受方程在解决实际问题中的有效模型作用，难点就是理清销售问题中数量关系，突破难点的手段就是运用合适的方法辅助分析数量关系，让学生感悟各个量之间的关联，同时进一步积累活动经验，提升解决实际问题的能力。
让学生了解商品标价、进价、售价等概念，掌握他们之间的关系，通过商场体验、情景模拟等方式方法感悟概念的内涵，体验商品交易过程中的数学背景，探究商品交易过程中的数学原理，感悟方程建模在实际生活中的有效模型作用，通过合作交流互助，积累活动经验，提升概括销售问题数量关系的能力， 进一步建立合作的能力和意识。
学生积累的经验还是很少的，很多概念很生疏，比如标价和售价，利润和利润率等等，概念比较多，开始几个可能还比较容易理解，一旦混在一块，估计很多孩子就会理不清楚，第二就是具体到列方程的过程，如何找关键语句，如何将关键语句数学化数量化，如何清晰的表述他们之间的关系，这些都是教学中会遇到的问题，可以借助上节课的列表分析，课本是用填空的形式把数量一一拽出来，化繁为简，一步一理，分解难点，第一个例题我也想这样，搞清楚了数量关系，其他就好办了，通过两个变式进行强化，最后进行方法的提炼，化解难点，肯定还有生活经验不足的孩子理解有困难，我想课后再组织一次我做推销员的活动课，让孩子进入商场，亲身感受一下。这节课的重点是建立方程模型，我想视频展示、图片展示，实物展示都需要计算机辅助，另外，设计了两个情景模拟，准备一点道具。首先是兴趣激发，通过视频和图片展示，让孩子平时常见的打折促销的情景再现在学生脑海，激发学生的探究欲望，这里面有什么样的数学知识呢，整个教学过程的线索就是了解生活的促销方法-----体验商品的促销过程
-------认识商品销售中的相关概念----------分析商品交易过程中的数量关系--------建立方程解决销售问题（列方程）---------体验方程的有效模型作用（变式训练+编一道应用题）------方法归纳--------方法应用（练习+小测）
1、展示拍摄的视频和图片。
问：你还知道那些促销方法？
设计目的：激发学生兴趣，同时拓展思维，促销的方式不仅仅打折销售这一种，还有买送，买赠，买减等等方式，同时为下面的情景模拟做铺垫。
2、活动设计：了解到这么多的促销方式，你知道蕴含在里面的数学知识吗？下面随老师一起走进商品销售里面的数学世界，首先我们模拟一个情景。“我批发给大家一批批发价为18元的文具袋，你们小组就是一个商店，大家合作制定一个销售方案”
设计目的：让学生在体验中感受商品的定价、售价、进价和利润的概念，同时初步了解他们之间的关系。
预设问题：1.卖20元，每个可以赚2元
2.每个定价30元，可以打个八折，每个能赚6元。
3.每个定价25元，买四增一，一笔交易就可以装10元
3、小组展示
4、问：（抓住展示过程中的几个量）如2中的18元、30元、八折、6元在实际商品交易中称为什么呢？这几个量之间的关系是什么呢？（思考或合作交流）
设计目的：明确销售问题中的相关概念，在体验中理解相关概念和他们之间的关系，突破本节中的第一个难点。
5、板书进价、标价、售价，让学生再次重述他们之间的关系
练习巩固：
1、每支钢笔的原价为10元，打8折后的单价为2、已知一件商品的标价为a元，按标价打8折后售出，这件商品的售价是。
3、已知一件商品的成本价为 100元，将成本价提高40%后定为标价，这件商品的标价是
6.例题分析：一件夹克按进价提高50%后标价，后因季节关系按标价的8折出售，每件以60元卖出,这批夹克每件的进价是多少元？
设计目的：题目中涉及了三个关键量：进价、标价和售价，相对比较好处理，
那些是已知量，那些是未知量，我用表格的形式让孩子一一确认，售价是_______，标价是 ， 进价是_______，鼓励孩子用各种方式解决，对比各种方法，感受方程的的优化作用， 最后分析列方程解应用题的一般思路，做到方法的提升。
变式训练：
（1）一家商店将某种服装按进价提高40%后标价，又以8折（即按标价的80%）优惠出售，结果每件仍获利15元，这种服装每件的进价是多少元？
（2）某商品按标价的8折出售，此时商品的利润是15元，已知这种商品的进价为125元，那么这种商品的标价是多少？
设计目的：分析题目的数量关系的基础上，安排两名同学板书过程，强化落实的力度，教师巡视，及时处理发现的问题，帮助个别学困的孩子进一步分析，同时规范答题的步骤，形成完整的解题过程。
7、情景再现：每个小组根据开始的情景模拟编一道应用题，写到纸上，实物投影，一起分析题目中的数量关系，小组合作。
要求：先确定已知量和未知量，再赋予一定的问题情景
目的：体会数学的建模思想和方程思想在解决实际问题中的有效性，同时在合作中积累学习经验，增强合作的能力和意识。同时归纳列方程解应用题的一般步骤。
8、课堂小结，同学们，通过这节课的学习请谈谈你的收获有哪些？
问题预设：
知识层面：打折销售问题中的数量关系，数量关系的确定方法，列方程解应用题的一般步骤；
方法层面：感受方程在解决实际问题中的有效模型作用，掌握审题的方法和销售问题中数学关系确立的一般方法。
5 应用一元一次方程——“希望工程”义演
教学目标
1.借助表格分析复杂问题中的数量关系和等量关系，体会间接设未知数的解题思路，从而建立方程解决实际问题, 并要求学生进一步明确必须检验方程的解是否符合题意.
2、通过分析有关和、差、倍、分问题中已知数与未知数之间的相等关系，列出方程.
3、巩固用一元一次方程解决实际问题中的步骤，并注意检验解的合理性.
重点：找出问题中的条件和要求的结论，并找出等量关系，列出方程，解决实际问题。
难点：找等量关系
教学过程
一、预习准备 阅读教材 P147-148 完成书上的填空
1、总价、单价、数量的关系：总价= ×
2.某校组织活动，共有100人参加，要把参加的人分成两组．已知第一组人数比第二组的2倍少8人．问这两组人数各有多少？
二、探索新知
（一）引入：展示一组有关希望工程的图片，让学生谈谈他的所见所感（PPT展示图片），引出课题“希望工程”义演.
希望工程5年共资助八十多万名
失学儿童．
共青团十五大主席团常务主席周强在22日召开的团十五大开幕式上，代表共青团十四届中央委员会作了报告．周强在报告中总结了5年来共青团工作的新发展和基本经验．他说，团十四大以来的5年，共青团始终坚持以邓小平理论和“三个代表”重要思想为指导，紧紧围绕全党全国工作大局，努力把握当代青年特点和青年工作规律，团结带领全国亿万青年在跨世纪新征途中取得了新的成就．
5年来，共组织青年5000多万人次参与扶贫开发、社区服务、大型活动、抢险救灾等方面的志愿服务，丰富了雷锋精神的时代内涵．希望工程5年共筹资资助八十多万名失学儿童重返校园，援建4034所希望小学和一批希望网校多媒体教室．进一步倡导了尊师重教、扶贫济困的良好风尚．
板书：《“希望工程”义演》
（二）探索
文艺团体为“希望工程”募捐组织了一次义演，售出1000张票，筹得票款6950
元。学生票5元/张，成人票8元/张。问：售出成人和学生票各多少张？
分析：正确找出等量关系：成人票数+学生票数=1000张，成人票款+学生票款=6950元.
学 生 | 成 人 | |
票数/张 | ||
票款/元 |
解：设售出的学生票为x张，填写下表
列出方程：
解得：
答：
如果设学生票款为y元，又该如何列方程了？
思考：（1）如果票价不变，那么出售1000张票所得票款可能是6930元吗？为什么？
（2）如果成人票价改为10元，学生票价改为6元，那么售出1000张票所得票款可能为6930元吗？为什么？
意图：通过对这两个问题的讨论，进一步使学生明确必须检验方程的解是否符合实际．
归纳：（1）在前学习中，求什么就设什么为x；而本题中所求的未知数不止一个，问题中的等量关系也不止一个，比前面的问题复杂，在分析问题时理不清楚数量关系时，是表格帮了忙。
（2）发现本题含有两个未知量，两个等量关系，可以把其中一个未知量设为未知数，另一个未知量就用其中的一个等量关系表示为含未知数的代数式，而另一个等量关系则用来列方程．
（3）.比较两种解题方法，你从中学到了什么？
含有两个未知量，两个等量关系，可以把其中一个未知量设为未知数，另一个未知量就用其中的一个等量关系表示为含未知数的代数式，而另一个等量关系则用来列方程是如何实施的；解法一的求解过程比较简单；不论选择哪种方法，在解题前，首先要明确数量关系，而在这里运用列表法是一种比较有效的工具。
（4）.学会寻找相等关系是关键.在本节所涉及的和、差、倍、分问题中，要善于利用“总量等于各个分量之和”来确定相等关系，列出方程.
（5）.用一元一次方程解决实际问题的一般步骤是什么？
三．应用
例1：今有雉兔同笼，上35头，下94足，问今有雉兔几何？
解：设 ，填写下表
雉 | 兔 | |
头/个 | ||
足/支 |
2. 完成随堂练习
补充练习1.七•１班举办了一次集邮展览，展出的邮票数若以平均每人3张则多24张，以平均每人4张则少26张，这个班级有多少学生？一共展出了多少张邮票？
2．某工厂三个车间共有180人，第二车间人数是第一车间人数的3倍还多1人，第三车间人数是第一车间人数的一半还少1人，三个车间各有多少人？
四．小结：
1．总结列方程解应用题的方法及步骤．
2．列方程解应用题时，切勿漏写“答”，“设”和“答”都必须写清单位名称，列方程时要注意单位一致，对于求得的解，还要看它是否有实际意义．
五．当堂检测
1．小明买了80分与2元的邮票共16枚，花了18元8角，若设他买了80分邮票x枚，可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
2．甲比乙大15岁，五年前甲的年龄是乙的年龄的2倍，则乙现在的年龄是（ ）
A．10岁 B．15岁 C．20岁 D．30岁
3. 一个办公室有五盏灯，其中有40瓦和60瓦两种，总的瓦数是260瓦，则40瓦和60瓦的灯泡各有多少个？（40瓦的灯泡有2个，60瓦的灯泡有3个）
六．拓展
1. 甲、乙、丙三个粮仓共存粮食80吨，已知甲、乙两仓存粮数之比是1:2，乙、丙两仓存粮数之比是1:2.5，求甲、乙、丙三仓各存粮多少吨？
分析：由题意知：甲：乙=1:2，乙：丙=1:2.5，为了研究问题方便通常把两个比例式统一起来，将1:2.5
两项同乘以2，得2:5，于是又甲：乙：丙=1:2:5.本题的等量关系是：甲仓存粮+乙仓存粮+丙仓存粮
+总存粮.本题适合间接设未知数的方法.
2.某车间28名工人生产螺栓和螺母，螺栓与螺母个数1∶2，每人每天平均生产螺栓12个或螺母18个，刚好配套.求多少人生产螺栓？设：有x名工人生产螺栓，其余人生产螺母.依题意列方程应为 .
3.甲、乙两地水路比公路近40km，轮船上午9时从甲地出发，速度为24km/h，汽车当日12时从甲地出发，速度为40km/h，结果车船同时到达乙地，问甲、乙两地水路、公路各为多少km？（水路240km，公路280km．）
4．李白街上走，提壶去买酒；遇店加一倍，见花喝一斗；三遇店和花，喝完壶中酒；试问壶中酒，原有多少酒？斗．
6 应用一元一次方程——追赶小明
〖教学目标〗
1．知识：能充分利用行程中的速度、路程、时间之间的关系列方程解应用题，感知数学在生活中的作用。
2．能力：借助“线段图”分析复杂问题中的数量关系，从而建立方程解决实际问题，发展分析问题、解决问题的能力，进一步体会方程的模型作用，培养学生文字语言、符号语言、图形语言的转换能力。
3．情感：通过开放性的问题，为学生提供思维的空间，培养学生的创新意识，在合作与交流中学会肯定自己和倾听他人的意见。
〖教材分析〗
教材首先由一个实际事例“能追上小明吗”创设问题情境，激发学生探究解决问题的方法和结果，接着通过画“线段图”建立一元一次方程的办法来解决问题，旨在培养学生把生活中的实际问题转化为数学模型的能力。教材还安排了“议一议”，内容是让学生根据事实提出问题，并尝试解答，让学生在自主探索、互相启迪、合作交流中提高分析问题和解决问题的能力，进一步梳理所学知识，培养学生的数学能力。
本节课的重点是：认识追赶问题中的数量关系。
本节课的难点是：借助“线段图”分析复杂问题中的等量关系，从而建立方程。
〖教学设计〗
(一)引入新课
多媒体展示：
1．若小明每秒跑4米，那么他5秒能跑（ ）米。
2．小明用4分钟绕学校操场跑了两圈(每圈400米)，那么他的速度为（ ）米/分。
3．小明家距离火车站1500米，他以4米/分的速度骑车到达火车站需（ ）分钟。
师：上面三个题都是关于路程、速度、时间的问题，它们之间有何关系?
生：路程＝速度×时间，知道这三个量中的两个就可以求出另一个(分别找三名学生回答上面的问题)
师：下面我们根据路程、速度、时间之间的关系来讨论几个较为复杂的问题：能追上小明吗(板书)。
(二)讲授新课
1．提出问题
在我们的生活中，一些同学有一种很不好的习惯――丢三落四，常常害得父母操心，小明今天就犯了这样的错误：小明每天早上要在7：50之前赶到距家1000米的学校上学。一天，小明以80米/分的速度出发，5分钟后，小明的爸爸发现他忘了带语文书。于是爸爸立即以180米/分的速度去追小明。
问题：(1)爸爸追上小明用了多长时间?
(2)追上小明时距离学校还有多远?
(多媒体出示例题时，问题(1)(2)事先没有直接给出，而是先问学生看到题之后想到什么。大部分学生问小明爸爸有没有追上小明，教师马上追问：“你估计能追上小明吗?”绝大部分学生又说：“能”。此时才给出问题(1)(2)。)
说明：从学生熟悉的生活经历出发，选择学生身边感兴趣的事件给学生提出有关的数学问题，唤起学生的思维和问题意识。
2．分析问题
多媒体展示：制作动画演示爸爸追小明的过程。
(用直观、动态的演示使学生的注意力集中在“爸爸追小明”这个事件中，教师及时提出：在这一过程中，你们发现了哪些等量关系?)
说明：这一问题，首先让学生自己来思考，探索解决问题的方法，通过电脑的演示，去发现，体会追赶问题的过程。
学生活动：学生已经有了自己的想法后，四人一组进行讨论交流，然后每组选一代表发言，最后总结出：①当爸爸追上小明时，两人所行的距离相等；②小明所行的总距离可以看做是两段距离之和；③小明所用的时间比爸爸所用的时间多5分钟；④小明先走“5分钟”加上爸爸追上他所用的时间等于爸爸全部所用的时间。
(课堂气氛活跃，学生积极回答问题，教师及时给予肯定和鼓励学生通过小组交流，既促进学生的合作探究，又提高了学生的语言表达能力。)
师：能不能用简单的“线段图”表示他们所走的距离呢?
(学生通过思考，在练习本上动手画。)
师：出示正确答案：
说明：列方程解决实际问题是一个数学化的过程，这个过程常常需要文字语言、图形语言和符号语言互相转换。教学中适当加以渗透，以培养学生对三种语言进行转换的能力。
3．解决问题
师：路程、速度和时间三者之间有何关系呢?应如何求解出爸爸追上小明所需要的时间及追上时离学校还有多远呢?
学生活动：思考路程、速度和时间三者之间的关系，再列出方程求解。根据线段图建立方程：80×5+80x＝180x(解得：x=4)。要求部分学生上讲台解答。教师巡视检查教学效果。
(对学生的解题过程，要先让学生评判，让学生发现问题，教师不要直接给予评判。)
4．问题拓展
师：刚才的结果表明，爸爸是在途中追上小明的，如果刚好在学校门口追上小明，要用多长时间?这时爸爸的速度又是多少?在什么情况下又追不上小明呢?
说明：这一提问，使问题本身变得更加开放，再度激活学生的思维，进一步培养学生发现问题、分析问题及解决问题的能力。
(三)课堂练习
多媒体展示：
小彬和小明每天早晨坚持跑步。小彬每秒跑4米，小明每秒跑6米。(1)如果他们站在百米跑道的两端同时相向起跑，那么几秒后两人相遇?(2)如果小明站在百米跑道的起点处，小彬站在他前面10米处，两人同时同向起跑，几秒后小明能追上小彬?
师：要求先画“线段图”，再解答。
学生活动：多数在练习本上解答，两位学生到黑板前板书。
(巩固新学的知识技能和方法，加深对相关知识和方法的理解。教师在巡视时发现有不同的解法及时进行介绍。)
(四)议一议
多媒体展示：
育红学校七年级学生步行到郊外旅行。(1)班的学生组成前队，步行速度为4千米/时，(2)班的学生组成后队，速度为6千米/时。前队出发1时后，后队才出发，同时后队派一名联络员骑自行车在两队之间不间断地来回进行联络，他骑车的速度为12千米/时。
根据上面的事实提出问题并尝试解答。
(教师鼓励学生交流、讨论，结合例题大胆提出问题，如后队追上前队用了多少时间，后队追上前队时联络员行了多少路程等。学生与同伴讨论、交流自己的问题和解决问题的过程。)
说明：这是一个开放性的问题，旨在拓展学生思维，寻求个性发展。让学生利用方程解决问题，在学生相互交流中提高分析和解决问题的能力。
(五)课堂小结
今天你们学到了什么知识?是怎样学到的?还有什么疑问?
说明：让学生自己总结，可以加深印象，提高学生学习的积极性，丰富了学生是学习“主人”的意识。
(六)课后作业
1．习题5．9第2题。
2．课本试一试［这是一个开放性问题，为学生提供了思维的空间，鼓励感兴趣的学生大胆思考，分多种情况进行讨论］。
〖教学反思〗
1．本课完成了教学目标，重点突出，时间安排合理，能调动学生的积极性，让学生积极参与教学。
2．需要反思的是：在教学中要减少教师的讲解，给学生充足的时间思考，教师做好学法指导，力求做到精而美，让学生学会学习。这一点自己做得不好，总是什么都不放心，总想跟学生抢着说，今后需要改进。
3．应用题是学生学习的一个难点，必须激发学生的学习兴趣，让学生在教师的指导下主动学习。把这些理念，具体落实到教学中，有一定挑战性。我将继续努力与学生共同发展。
〖案例点评〗
本节课的设计以学生为主体，按照新课标要求从学生已有的生活经验出发，创设有助于学生自主学习的情境，使学生在教师的指导下主动学习。课堂教学的最高艺术是看学生而不是看教师，看学生能否在课堂中学到知识。
本课按新课标要求完成了教学目标，创设了丰富有趣的教学情境，激发了学生学习的兴趣，鼓励学生大胆提出问题。“议一议”活动是本课设计较为成功之处，让学生在自主探究、合作交流中解决问题。
第六章 数据的收集与整理
1 数据的收集
【知识与技能】
1.了解数据的收集方法和收集过程，体会数据在解决现实问题中的作用.
2.能对统计图表进行分析，获得必要准确的信息.
【过程与方法】
通过具体情境对统计图表进行分析体验数据的重要作用，明确利用数据说理是一种有效的方法.
【情感态度】
结合本课教学特点，教育学生热爱学习，热爱生活，激发学生观察、探究发现数学问题的兴趣.
【教学重点】
收集数据的步骤和方式.
【教学难点】
从统计图表中获取信息.
一、情境导入，初步认识
某年春我国西南五省市遭受了特大的干旱，水资源问题成为全社会关注的热点.小颖和小明对水资源问题也很感兴趣，他们各自进行了调查.在日常生活中，你也进行过这样的调查吗？
【教学说明】 学生很容易找出生活中关于调查的例子，初步了解数据的收集方法和过程.
二、思考探究，获取新知
1.从统计图表中获取信息
问题1 教材第155页图6-1及与图相关的内容.
【教学说明】 学生通过观察折线统计图，与同伴交流从中得到的信息.
2.设计调查问卷
问题2 教材第155页下方及第156页“做一做”上面的内容.
【教学说明】 学生通过观察小明设计的调查问卷和绘制的统计图，思考分析，得出结论.
【归纳总结】调查问卷的设计往往包括问题的设计和答案的设计.
3.收集数据的步骤
问题3 从事一个统计活动大致要经历哪些过程？
【教学说明】 学生通过思考，与同伴进行交流然后进行归纳.
【归纳总结】（1）明确调查问题,（2）确定调查对象,（3）选择调查方法,（4）展开调查，（5）记录结果,（6）得出结论.
4.收集数据的方式
问题4 （1）如果想了解我国水资源的总量、人均水资源占有量，你打算怎样获得这些数据呢？
（2）为了得到“抛掷一枚均匀的硬币50次，出现正面朝上的次数”，你打算如何收集这个数据？
（3）获得数据的常用方式有哪些？
【教学说明】 学生通过思考、分析，然后与同伴进行交流.
【归纳结论】 我们经常通过调查、试验等方式获得数据信息，当调查或试验项目很大，我们个人无法完成时，还可以通过查阅报纸、相关文献或上网的方式，获得数据信息.
三、运用新知，深化理解
教材第157页“随堂练习”.
【教学说明】 学生自主完成，加深对新学知识的理解，检测学生对本节课有关于知识的掌握情况，对学生的疑惑教师应及时指导.完成上述题目后，教师引导学生完成练习册中本课时练习的课堂作业部分.
【答案】（1）15365+13270+4540+1048+698=34921(人），即参与本次调查的人数是34921人；
（2）×100%≈2%，即“从来不让座的人”约占调查总人数的2%.
（3）答案不唯一，如：“每次都让座”的人约占调查总人数的44%，“大多数时候让座”的人约占调查总人数的38%.
四、师生互动，课堂小结
1.师生共同回顾收集数据的步骤和方式.
2.通过这节课的学习，你掌握了哪些新知识？还有哪些疑问？
【教学说明】 教师引导学生回顾知识点，让学生大胆发言，积极与同伴交流，加深对新学知识的理解与运用.
1.布置作业：从教材“习题6.1”中选取.
2.完成练习册中本课时的相应作业.
本节课从学生根据统计图表获取信息，到了解收集数据的步骤和方式，培养学生动手、动脑习惯，加深对所学知识的认识.培养学生分析问题，解决问题的能力，激发学生学习的兴趣.
2 普查和抽样调查
【知识与技能】
1.在具体的问题情境中，体会普查及抽样调查的概念，理解总体、个体、样本、样本容量的意义.
2.能根据具体问题选取合适的调查方式和选取合适的的样本.
【过程与方法】
经历调查、收集数据的过程，进一步获得数据收集的经验，初步发展统计意识.
【情感态度】
结合本课教学特点，教育学生热爱学习，热爱生活，激发学生学习兴趣.
【教学重点】
掌握普查与抽样调查的区别与联系，掌握总体、个体、样本间的关系.
【教学难点】
调查方式的选择和样本的选择.
一、情境导入，初步认识
你知道我们国家的人口有多少吗？你知道我们国家多少年进行一次全国人口普查？
【教学说明】 从学生很熟悉的例子引入，让学生初步了解普查这种调查方式.
二、思考探究，获取新知
1.普查、总体、个体
问题1 在上一节中，我们曾对全班同学的节水意识进行了调查，你知识这是一种什么样的调查方式吗？
【教学说明】 学生通过交流，教师引导加以规范，有利于学生理解掌握.
【归纳结论】 像这种为某一特定目的而对所有考察对象进行的全面调查叫做普查.其中，所要考察对象的全体称为总体，而组成总体的每一个考察对象称为个体.
2.抽样调查、样本、样本容量
问题2 你能用普查的方式了解下面的信息吗？你准备如何调查？
（1）全国中学生的节水意识；
（2）中央电视台春节联欢晚会的收视率；
（3）一批电视机的寿命.
【教学说明】 学生通过思考、分析，与同伴进行交流，感知普查的不合适性.
【归纳结论】 普查可以直接获得总体的情况，但有时总体中个体数目较多，普查的工作量较大；有时受客观条件的限制，无法对所有个体进行普查；有时调查具有破坏性，不允许普查.这时，人们往往从总体中抽取部分个体进行调查，这种调查称为抽样调查，其中从总体抽取的一部分个体叫做总体的一个样本. 样本中个体的数目叫做样本容量.
3.样本的选择
问题3 教材第160-161页“议一议”的内容.
【教学说明】 学生通过思考、分析，与同伴进行交流，感受样本选择的合理性.
4.抽样调查的特点及应注意的问题
问题4 抽样调查有什么特点？抽样时应注意什么？
【教学说明】 学生结合问题2 和问题3 加以分析，积极与同伴进行交流，教师加以引导和规范.
【归纳结论】 抽样调查只考察总体的一部分个体，因此它的优点是调查范围小，节省时间、人力、物力和财力，但其调查结果往往不如普查得到的结果准确.为了获得较为准确的调查结果，抽样时要注意样本的代表性和广泛性.
三、运用新知，深化理解
1.要调查下面的问题，你觉得用什么调查方式比较合理？
（1）调查某种灯泡的使用寿命;
（2）调查你们学校七年级学生的体重；
（3）调查你们班学生早餐是否有喝牛奶的习惯.
2.为了了解你们学校的学生是否吃早饭，下列这些抽取样本的方式是否合适？
（1）早上7∶00至7∶30在校门口随机选择50名同学进行调查；
（2）选择全校每个班级中学号是5和15的同学进行调查；
（3）选择七（1）班全体学生进行调查.
【教学说明】 学生自主完成，检测对普查和抽样两种调查方式等有关知识的掌握情况，加深对新学知识的理解，对学生的疑惑，教师应及时指导.完成上述题目后，教师引导学生完成练习册中本课时练习的课堂作业部分.
【答案】1.（1）抽样调查（2）普查（3）普查
2.（1）合适（2）合适（3）不合适
四、师生互动，课堂小结
1.师生共同回顾普查、抽样调查、总体、个体、样本、样本容量等概念.
2.通过这节课的学习，你掌握了哪些新知识？还有哪些疑问？
【教学说明】 教师引导学生回顾知识点，让学生大胆发言，积极与同伴交流，加深对新学知识的理解与运用.
1.布置作用：从教材“习题6.2”中选取.
2.完成练习册中本课时的相应作业.
本节课从学生了解普查、抽样调查、总体、个体、样本、样本容量等概念，到合理的选择调查方式和合理的选择样本，培养学生观察、分析、概括能力，加深对所学知识的认识，激发学生学习的兴趣.
3 数据的表示
第1课时
【知识与技能】
1.会用表格整理数据和用统计图描述数据.
2.会计算扇形圆心角度数，会根据扇形的圆心角绘制扇形统计图.
【过程与方法】
经历数据的收集、数据的整理和数据的描述等过程，进一步发展统计意识.
【情感态度】
结合本课教学特点，教育学生热爱学习，热爱生活，使学生认识数学与生活的密切联系，激发学生学习的兴趣.
【教学重点】
会计算扇形圆心角的度数，会绘制扇形统计图.
【教学难点】
绘制扇形统计图.
一、情境导入，初步认识
你喜欢看NBA吗？你喜欢打篮球吗？你最喜欢的球类运动是什么？如果你想知道全班同学最喜欢的球类运动是什么，你会怎么做？
【教学说明】 从学生很熟悉的例子引入，激发学生学习兴趣.教师讲课前，先让学生完成“自主预习”.
二、思考探究，获取新知
1.绘制扇形统计图
问题1 小强是校学生会体育部部长，他想了解现在同学们更喜欢什么球类运动，以便学生会组织受同学们欢迎的比赛.于是他设计了调查问卷，在全校每个班随机选取了10名同学进行调查，调查结果如下：
调查问卷
你最喜欢的球类运动是（ ）（单选）
A.篮球 B.足球
C.排球 D.乒乓球
E.羽毛球 F.其他
（1）如果你是小强，你会组织什么比赛？你是怎样判断的？
（2）喜欢篮球运动的人数占调查总人数的百分比是多少？喜欢足球运动的人数占调查总人数的百分比是多少？排球、乒乓球、羽毛球、其他球类运动的百分比呢？上述所有百分比之和是多少？
（3）你能尝试用扇形统计图表示上述结果吗？
【教学说明】 学生通过思考、分析，与同伴进行交流，尝试完成下面的问题：
（1）计算各选项人数占调查总人数的百分比，并填在下表中：
（2）计算各个扇形的圆心角度数：圆心角度数=360°×该项所占的百分比.
（3）在圆中画出各个扇形，并标上百分比.
【归纳结论】 扇形统计图，可以直观地反映各部分在总体中所占的比例.在扇形统计图中，每部分占总体的百分比等于该部分所对应的扇形圆心角的度数与360°的比.
2.从扇形统图中获取信息
问题2 教材第166页“做一做”的内容.
【教学说明】 学生通过观察扇形统计图，先计算A所占的百分比，再计算C所占的百分比，最后再解决问题2的3个问题.
【归纳总结】扇形统计图能清楚地看出各部分量与总量之间的关系，当知道总体的具体数量时，可借助扇形统计图求各部分量，当知道部分量时，可借助扇形统计图求总体的具体数量.
3.如图，教材第166页“议一议”.
【教学说明】 学生通过观察、分析，与同伴进行交流，教师加以引导.
【归纳总结】当总体的具体数量不知道时，无法对各部分量进行比较.
问题4 小亮对全班40名学生进行了“你对哪些课程非常感兴趣”的调查，获得如下数据：语文20人，数学25人，英语18人，物理10人，计算机34人，其他12人.他想用扇形统计图表示这些数据，却发现6项的百分比之和大于1，为什么会这样呢？
【教学说明】 学生通过思考、分析,与同伴进行交流，教师加以引导.
三、运用新知，深化理解
教材第167页的“随堂练习”
【教学说明】 学生自主完成，加深对新学知识的理解，检测对扇形统计图知识的掌握情况，对学生的疑惑教师应及时指导.完成上述题目后，教师引导学生完成练习册中本课时练习的课堂作业部分.
【答案】（1）太平洋50% 大西洋25% 印度洋21% 北冰洋4% （2）太平洋180° 大西洋90° 印度洋76° 北冰洋14°
（3）绘制扇形统计图如下：
四、师生互动，课堂小结
1.师生共同回顾绘制扇形统计图的方法和扇形统计图的优点.
2.通过这节课的学习，你掌握了哪些新知识？还有哪些疑问？
【教学说明】 教师引导学生回顾知识点，让学生大胆发言，积极与同伴交流，加深对新学知识的理解与运用.
1.布置作业：从材料“习题6.3”中选取.
2.完成练习册中本课时的相应作业.
本节课从学生绘制扇形统计图，到了解扇形统计图的优点，培养学生动手动脑习惯，加深对所学知识的认识，激发学生学习的兴趣.
第2课时
【知识与技能】
1.了解频数直方图.
2.能根据数据特征绘制频数直方图.
【过程与方法】
通过对数据进行整理，对数据进行描述，进一步发展统计意识.
【情感态度】
结合本课教学特点，教育学生热爱生活，热爱学习，认识数学与生活的密切联系，激发学生学习的兴趣.
【教学重点】
会制作频数直方图，掌握制作频数直方图的大致步骤.
【教学难点】
频数直方图与条形图的区别与联系.
一、情境导入，初步认识
你的身高是多少？你还记得你的入学成绩吗？你知道你的入学成绩处于哪个等级吗？
【教学说明】 从学生熟悉的问题引入，激发学生学习的兴趣.
二、思考探究，获取新知
1.认识频数直方图
问题1 根据教材168页某校七（2）班的同学入学信息表解决下面的问题：
（1）你能用恰当的统计图表、表示这个班同学入学时的英语成绩吗？从你的图表中能看出大部分同学处于哪个等级吗？成绩的整体分布情况怎样？
（2）你能用恰当的统计图表、表示这个班同学入学时的语文成绩吗？从你的图表中能看出大部分同学处于哪个分数段吗？成绩的整体分布情况怎样？
【教学说明】 学生通过思考、分析,与同伴进行交流，教师加以指导.
教材第169页从“对于（1）”至“对于（2）”的内容.
对于（2），小明还想采用表格和统计图的方法，结果他觉得很复杂.
教材第170页的整页内容.
问：这种统计图与条形统计图有什么区别与联系？有什么优点？
【教学说明】 学生通过观察，与同伴进行交流，找出频数直方图与条形图的区别与联系.
【归纳结论】 频数直方图是一种特殊的条形统计图，它将统计对象的数据进行了分组，画在横轴上，纵轴表示各组数据的频数.如果样本中数据较多，数据的差距也比较大时，频数直方图能更清晰、更直观地反映数据的整体情况.
2.绘制频数直方图
问题2 请将教材168页表格中的数学成绩按10分的距离分段，用频数直方图表示.
【教学说明】 学生动手操作，与同伴进行交流，教师加以指导.
问题3 根据教材172页例题中的数据，将数据适当分组，并绘制相应的频数直方图，图中反映出该地区新生儿体重状况怎样？
【教学说明】 学生动手操作，与同伴进行交流，进一步掌握制作频数直方图的方法和步骤.
问：（1）你还有具体的分组方式吗？
（2）制作频数直方图的大致步骤是什么？
【归纳结论】 分组时可以先确定组距，再确定组数，也可以先确定组数，再确定组距.制作频数直方图的大致步骤是：（1）确定所给数据的最大值和最小值，算出它们的差；（2）确定组距和组数，将数据适当分组；（3）统计每组中数据出现的次数，列出频数分布表；（4）绘制频数直方图.
问题4 （1）测量一下你1min脉搏跳动的次数.
（2）汇总全班同学的数据，制作频数直方图，看看大多数同学1min脉搏跳动的次数处于哪个范围？
【教学说明】 学生通过测量，对数据进行收集和整理，然后对数据进行描述，绘制频数直方图.
三、运用新知，深化理解
请将教材168页表格中的身高数据按3cm分段，用频数直方图表示.
【教学说明】
学生自主完成，加深对新学知识的理解，掌握绘制频数直方图的方法和步骤.完成上述题目后，教师引导学生完成练习册中本课时练习的课堂作业部分.
【答案】绘制频数直方图如下：
四、师生互动，课堂小结
1.师生共同回顾绘制频数直方图的方法和步骤.
2.通过这节课的学习，你掌握了哪些新知识？还有哪些疑问？
【教学说明】 教师引导学生回顾知识点，让学生大胆发言，积极与同伴交流，加深对新学知识的理解与运用.
1.布置作业：从教材“习题6.4，6.5”中选取.
2.完成练习册中本课时的相应作业.
本节课从学生了解频数直方图，到绘制频数直方图，培养学生动手动脑习惯，加深对所学知识的认识，激发学生学习的兴趣.
4 统计图的选择
【知识与技能】
通过三种统计图的比较与选择，理解三种统计图的特点，能根据具体问题选择合适的统计图清晰、有效地描述数据.
【过程与方法】
经历数据的收集、整理和简单分析、作出决策的统计活动过程，发展统计观念.
【情感态度】
通过相互间的合作与交流，进一步发展合作交流能力与数学表达能力，激发学生学习兴趣.
【教学重点】
1.理解不同统计图的特点；
2.能根据实际问题选择合适的统计图描述数据.
【教学难点】
根据实际问题选择合适的统计图.
一、情境导入，初步认识
小玲就中央电视中节目受欢迎的情况，对本班50名同学作了一次调查，调查结果如下：
为了清楚地表现出同学们以不同节目的喜好程度，你知道应该选择何种统计图来表示这些数据吗？
【教学说明】 从学生很熟悉的生活例子引入，激发学生探求新知的欲望.
二、思考探究，获取新知
1.三种统计图的特点
问题1 教材第175页和176页“做一做”上面的所有内容
【教学说明】 学生观察三幅统计图，从中得到信息，解决上面的问题，然后归纳三种统计图的特点.
【归纳结论】 条形统计图能清楚地表示出每个项目的具体数目，折线统计图能清楚地反映事物的变化情况，扇形统计图能清楚地表示出各部分在总体中所占的百分比.
2.选择合适的统计图
问题2 教材第176页“做一做”
【教学说明】 学生通过思考、分析，与同伴进行交流，制作适当的统计图.
【归纳结论】 当需要直观地表示数据进行比较时，宜选用条形统计图；当需要显示数据的变化趋势时，可选用折线统计图；当需要反映部分占总体的百分比时，宜选用扇形统计图.
三、运用新知，深化理解
1.要反映我市某一周每天的最高气温的变化趋势，宜选用（ ）
A.条形统计图 B.扇形统计图
C.折线统计图 D.频数直方图
2.在计算机中，为了让使用者清楚、直观地看出磁盘“已用空间”占“整个磁盘空间”的百分比，应使用的统计图是（ ）
A.条形统计图 B.折线统计图
C.扇形统计图 D.三种图都可以
3.教材177页随堂练习.
【教学说明】 学生自主完成，加深对新学知识的理解，检测对三种统计图的特点和统计图的选择等知识的掌握情况，对学生的疑惑教师应及时指导.完成上述题目后，教师引导学生完成练习册中本课时练习的课堂作业部分.
【答案】1.C 2.C
3.（1）制作条形统计图如下：
（2）制作折线统计图如下：
（3）制作扇形统计图如下：
四、师生互动，课堂小结
1.师生共同回顾三种统计图的特点.
2.通过这节课的学习，你掌握了哪些新知识？还有哪些疑问？
【教学说明】 教师引导学生回顾知识点，让学生大胆发言，积极与同伴交流，加深对新学知识的理解与应用.
1.布置作业：从教材“习题6.6，6.7”中选取.
2.完成练习册中本课时的相应作业.
本节课从学生了解三种统计图的特点，到三种统计图的选择，培养学生分析问题、解决问题的能力，激发学生学习的兴趣.
本章复习
【知识与技能】
掌握本章主要知识，能灵活运用所学知识解决具体问题.
【过程与方法】
通过梳理本章知识，回顾解决问题中所涉及的统计思想和意识，加深对本章知识的理解.
【情感态度】
在运用本章知识解决问题的过程中，进一步体会统计与生活的密切联系，增强统计应用意识，激发学生学习兴趣.
【教学重点】
回顾本章知识点，构建知识体系.
【教学难点】
利用统计知识解决具体问题.
一、知识框图，整体把握
【教学说明】 引导学生回顾本章知识点，展示本章知识结构框图，使学生系统地了解本章知识及它们之间的关系，教学时，边回顾边建立结构框图.
二、释疑解惑，加深理解
1.收集数据的步骤和方式
收集数据的步骤：（1）明确调查问题，（2）确定调查对象，（3）选择调查方法，（4）展开调查，（5）记录结果，（6）得出结论.
2.普查和抽样调查
为某一特定目的而对所有考察对象进行的全面调查叫做普查.从总体中抽取部分个体进行调查，这种调查叫做抽样调查.
3.总体、个体、样本、样本容量
在普查时所要考察对象的全体称为总体；而组成总体的每一个考察对象称为个体；从总体抽取的一部分个体叫做总体的一个样本；样本中个体的数目叫做样本容量.
4.绘制扇形统计图和频数直方图的一般步骤
绘制扇形统计图的一般步骤：
（1）计算各部分数量占总体数量的百分比：×100%；
（2）计算各个扇形的圆心角度数：360°×百分比；
（3）根据所算得的圆心角度数，在圆中依次画出各个扇形并标出百分比；
（4）给绘制好的扇形统计图写上名称.
绘制频数直方图的一般步骤：
（1）找出所有数据中的最大值和最小值.算出它们的差；
（2）决定组距和组数；
（3）列出频数分布表；
（4）画频数直方图.
5.三种统计图的特点
条形统计图能清楚地表示出每个项目的具体数目；折线统计图能清楚地反映事物的变化情况；扇形统计图能清楚地表示出各部分在总体中所占的百分比.
三、典例精析，复习新知
例1 下列调查中，适宜采用普查方式的是（ ）
A.对全国中学生心理健康现状的调查
B.对冷饮市场上冰淇淋质量情况的调查
C.对我市市民实施低碳生活情况的调查
D.对我国首架大型民用直升机各零部件的检查
【分析】全国中学生的数量巨大，不宜普查，A错；调查冰淇淋质量因工作量大且带有破坏性，也不宜普查，B错；C中的调查因居民户数多，问题涉及面广，也不宜普查，C错；应选D，D中的调查对零件精密性要求极高，必须用普查.
例2 为了解我县七年级6000名学生的数学成绩，从中抽取了300名学生的数学成绩，以下说法正确的是（ ）.
A.6000名学生是总体
B.每个学生是个体
C.300名学生是抽取的一个样本
D.每个学生的数学成绩是个体
【分析】我们可以根据总体、个体、样本、样本容量的概念并结合具体问题来解决此类问题，本题的考察对象是6000名学生的数学成绩，而不是6000名学生，所以选项A是错误的，同理，选项B、C也是错误的，每个学生的数学成绩是个体，所以选项D是正确的.
例3 要反映某市一月内每天的最低气温的变化情况，宜采用（ ）
A.条形统计图B.扇形统计图
C.折线统计图D.频数分布直方图
【分析】根据各种统计图的特点：条形统计图能清楚地表示出每个项目的具体数目；折线统计图能清楚地反映事物的变化情况；扇形统计图能清楚地表示出各部分在总体中所占的百分比.故选项C正确.
例4 七（1）班同学为了解2014年某小区家庭月均用水情况，随机调查了该小区部分家庭，并将调查数据进行如下整理：
请解答下列问题：
（1）把上面的频数分布表和频数分布直方图补充完整；
（2）求该小区用水量不超过15t的家庭占被调查家庭总数的百分比；
解：（1）12，0.08频数直方图补充如图
(2)（6+12+16）÷50=68%
例5 为更好地宣传“开车不喝酒，喝酒不开车”的驾车理念，某市一家报社设计了如下的调查问卷（单选）.在随机调查了全市5000名司机中的部分司机后，统计整理并制作了如下的统计图：
克服酒驾——你认为哪一种方式更好？ A.司机酒驾，乘客有责，让乘客帮助监督 B.在汽车上张贴“请勿酒驾”的提醒标志 C.希望交警加大检查力度 D.查出酒驾，追究就餐饭店的连带责任 E.查出酒驾，追究同桌吃饭的人的连带责任 |
调查结果的条形统计图
调查结果的扇形统计图
根据以上信息解答下列问题：
（1）该市支持选项C的司机大约有多少人？
（2）补全条形统计图，并计算扇形统计图中m=______.
解：（1）调查的司机总数：
69÷23%=300（人）.
支持选项C的司机：
300-60-69-36-45=90（人）.
（2）补全的条形统计图如下所示：
60÷300=20%，即得m=20.
【教学说明】 师生共同回顾本章主要知识点，教师适时给予评价，指出应用各知识点需注意的问题.
四、复习训练，巩固提高
1.要调查下面的问题，适合做全面调查的是（ ）
A.某班同学“立定跳远”的成绩
B.某水库中鱼的种类
C.某鞋厂生产的鞋底承受的弯折次数
D.某型号节能灯的使用寿命
2.我国五座山的海拔高度如下表：
若想根据表中的数据制成统计图，以便清楚地对几座山的高度进行比较，应选用（ ）
A.条形统计图 B.折线统计图
C.扇形统计图 D.都可以
3.在“校园读书节”期间，学生会组织了一次图书义卖活动，提供了四种类别的图书，下图是本次义卖情况统计图，则这次活动共卖出的文学类图书本数占所有卖出本数的百分比是______.
4.为了了解中学生的身体发育情况，对某中学同年龄的60名女学生的身高进行了测量，结果如下：（单位：cm）
167 154 159 166 169 159 156
166 162 158 159 156 166 160
164 160 157 156 157 161 158
158 153 158 164 158 163 158
153 157 162 162 159 154 165
166 157 151 146 151 158 160
165 158 163 163 162 161 154
165 162 162 159 157 159 149
164 168 159 153
请对上述数据适当分组,画出频数直方图.
5.广安市积极开展“阳光体育进校园”活动，各校学生坚持每天锻炼一小时，某校根据实际情况，决定主要开设A：乒乓球、B：篮球、C：跑步、D：跳绳四种运动项目.为了解学生最喜欢哪一种项目，随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成如图所示的统计图.请你结合图中信息解答下列问题：
（1）抽取的学生中最喜欢B项目的人数百分比是_______，其所在扇形图中的圆心角的度数是_______;
（2）请把条形统计图补充完整；
（3）已知该校有1200人，请根据抽取的学生情况估计全校最喜欢乒乓球的人数是多少？
【教学说明】 这部分安排了几个较典型的重点题型，加深对本章知识的理解，进一步提高学生综合运用所学知识的能力.
【答案】
1.A 2.A 3.45%
4~5略
五、师生互动，课堂小结
本堂课你能完整地回顾本章所学的有关知识吗？你学会了哪些与本章有关的数学思想方法？你还有哪些困惑与疑问？
【教学说明】 学生回顾本章知识，积极与同伴交流，对于学生的困惑与疑问，教师应及时指导.
1.布置作业：从教材“复习题6”中选取.
2.完成练习册中本章复习课的练习.
本节课通过复习归纳本章重点知识，加深对本章知识的理解，通过例题的讲解与复习训练，进一步提高学生综合运用所学知识的能力。
初中学科辅导
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