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高等代数，第四版，第六章P271，T18
数学兴趣大讲堂
有理距离
在平面上是否存在一个点，它到单位正方形的四个顶点的距离都是有理数？
第一次知道这个问题竟然没被解决时，我很是吃惊——我原本还以为这个问题会有一些很平凡的解呢。然而，仔细想想也不奇怪，这和很多其他的数学难题一样，本质上都是 Diophantus 方程，其解的存在性都是很难判断的。只不过，某些问题的叙述方式会给人带来一种格外基本、格外初等的感觉。
与这个问题类似的是 Euler 完美长方体问题：是否存在一个长方体，它的长、宽、高、所有面对角线以及体对角线的长度都是有理数？
事实上，还有很多“构造点集让距离满足一定关系”形式的数学问题，它们都是长期以来悬而未解的难题。
另外几个与点集内的距离有关的未解之谜，我也一并写在这里。其中一个问题是 Ulam 在 1945 年提出的：是否存在一个平面上的稠密点集，使得每两个点之间的距离都是有理数？另一个有趣的问题则是，注意到 n 个点两两之间能确定 C(n, 2) 条线段，而这个数目正好等于 1 + 2 + … + (n – 1) 。于是我们想问，是否对于任意一个正整数 n ，我们总能找出平面上任意三点不共线、任意四点不共圆的 n 个点，使得其中有一种长度的线段恰好出现了一次，有一种长度的线段恰好出现了两次，等等，一直到有一种长度的线段恰好出现了 n – 1 次？目前，人们已经构造出了 n ≤ 8 时的解，其中一部分构造可以见这里（问题 12 ）。对于 n > 8 的情况究竟是否有解，目前尚无定论。
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