2019年福建三明九下质检试题倒一压轴（动点与三角形、最值）
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2019年福建三明九下质检试题倒一压轴
【三明二检】如图，在△ABC中，点P是BC边上的动点，点M是AP的中点，PD⊥AB，垂足为D，PE⊥AC，垂足为E，连接MD，ME.
(Ⅰ)求证：∠DME=2∠BAC；
(Ⅱ)若∠B=45°，∠C=75°，AB=6√2，连接DE，求△MDE周长的最小值.
【题干解读】
【图文解析】
（1）结合【题干解读】，可得解法如下：
【法一】如下图示：
【法二】如下图示：
（2）问题再现：若∠B=45°，∠C=75°，AB=6√2，连接DE，求△MDE周长的最小值.
【支题干解读】题中已给出△ABC的三个具体条件（∠B=45°，∠C=75°，AB=6√2），因此△ABC是确定的三角形，所有与△ABC 相关的结论均可解，解决思路：通过添加“高线”，构造直角三角形，解直角三角形即可．下图是求BC边上的高AH的求法（也是本题需要的结论），其他相关的结论的求法相同．
【图文解析】
【法一】
DE＝2EN＝2Rsin∠EMN＝√3R．
得△MDE的周长＝(2+√3)R．
所以当R最小，即AP最小时，△MDE的周长最小．根据"垂线段最短"知： 当AP⊥BC时，AP最小，此时AP（＝AH）＝6，R＝3．因此△MDE的周长的最小值为(2+√3)×3＝6+3√3．
【法二】
△MDE的周长＝MD+ME+DE
＝NE+NE×sin60°＝（1+√3/2）NE
＝（1+√3/2）AP．……
【拓展延伸】如图，在△ABC中，点P是BC边上的动点，点M是AP的中点，PD⊥AB，垂足为D，PE⊥AC，垂足为E，连接MD，ME. 若sinB=4/5，AB=10，AC=6，连接DE，设BP＝x，求△MDE周长y与x的函数关系式.
（上述问题仅做研讨交流，不给答案，可留言分享交流思路）
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