2019-2020福建漳州九上质检倒二压轴解析(北师）超过10种解法——正方形与准特殊角

2019-2020漳州九上质检倒一压轴

【第24题】如图，在正方形ABCD中，点E在边AD上，过点D作DK⊥BE于K，且DK=√2．

（1）若AE=ED，求正方形ABCD的周长；（2）若∠EDK=22.5°，求正方形ABCD的面积．【第一问】
【图文解析】如下图示，由相似的性质或三角函数的定义，得DK：DE＝AB：AE，即√2：a=2a:(√5a)．整理，解得a=√10/2，得AB＝2a＝√10．所以正方形ABCD的周长为4√10．【第二问】
【问题】如图，在正方形ABCD中，点E在边AD上，过点D作DK⊥BE于K，且DK=√2．（2）若∠EDK=22.5°，求正方形ABCD的面积．（注：类似的试题，本公众号或《尖子生之路》中，已有多篇相关文章）
【图文解析】法一：如下图示，分别延长DK和BA交于点F，当∠EDK＝22.5°时，得∠ABE＝22．5°（基本图形——“蝶形”），易证△ABE≌△ADF，设AB＝a，进一步可得到如图所标注的相关结论．在Rt△ABE中，由勾股定理，得
a²+[(√2-1)a]²=(2√2)²．整理，得(4-2√2)a²=8．得正方形ABCD的面积为a²=4+2√2．法二：如下图示，作∠ADB的平分线交BK于点F，可得如下图标注的结论．由勾股定理，得
BD²＝(2+√2)²+(√2)²=8+4√2．所以正方形ABCD的面积为1/2×BD²=4+2√2．法三：如下图示由勾股定理，得
a²+[(√2-1)a]²=(√2)²．……三十多年的一线教学经历的感触

一本数学教辅书如果阅读费劲，书的真正价值体现起来难度较大，购书时的激情就会逐渐被“费劲费时”消磨成了“苦与累”，甚至起反作用（经常听家长们说，买了很多好书本想让孩子好好努力，可成绩反而差了，有的书还没翻上10页……，×××的答案和解析看不懂……），最终成了摆设，成了负担，甚至浪费了时间与精力.基于上述原因，从2017.3.23起，本公众号几乎不间断的撰写“图文解析”方面的解题析题文章，图文并茂地解析压轴题，努力让读者轻松理解和体会压轴题的解题思路和方法技巧.

法四：如下图示，可证得∠DAK＝∠ADK＝22.5°，得AK＝DK．

（注：以下解法，均建立在已证AK＝DK的基础上．）
法五：如下图示的图解：法六：如下图示的图解：
法七：如下图示的图解： 法八：如下图示的图解： 法九：如下图示的图解：法十：如下图示的图解：
 

法十一：如下图示的图解：

 法十二：如下图示的图解：法十三：如下图示的图解：
（作△AKD关于AK对称的△AKD’，连接DD’．）法十四：如下图示的图解：
（作△AKD关于AK对称的△A’KD，连接DD’．）说明：由于本题的背景为正方形，所以还可通过建立平面直角坐标系，用解析法求解，这里略去．
【拓展1】（选自《尖子生之路》中考专题复习）【拓展2】（选自《尖子生之路》中考专题复习）

……（后面略去）

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