彭光焰——再谈三类函数最小值问题的统一解法

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邹生书，男，1962年12月出生，本科学历，理学士学位，中学数学高级教师，黄石市高中数学骨干教师。主要从事高中数学教学、高中数学解题研究和探究性学习等。从2007年8月到2018年8月，在《数学通讯》《数学通报》《数学教学》《中学数学》《中学数学教学》等，二十多种学术期刊上发表解题和探究性学习文章300余篇。

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再谈三类函数最小值问题

的统一解法

彭光焰

（湖北省广水市一中  432700）

文[1]给出了三类函数最小值的统一解法及一般结果，所给一般结果整齐统一.三类函数分别为y=x+p/x;y=x²+p/x；y=x+p/x²(x>0,p>0)文[1]所给统一解法均为四个步骤：①先拆项并人工配凑一个待定系数；②由二元或三元均值不等式缩小一次函数式；③由函数的单调性再缩小一次函数式；④从两次所推不等式中等号同时成立的条件出发，联立解出待定系数，从而得出函数最小值（文[1]个别处推导有误）.文[2]没有设待定系数，仅利用二元均值不等式及单调性（后两类还要配方）给出三类问题另一种统一解法.但在解决问题的过程中，拆项技巧较强，高中生是难以接受的.总之，文[1]和文[2]的解法技巧性太强，不属通法.在解决数学问题过程中，我们提倡通法，淡化技巧.用导数求函数最值已是高中数学必修内容，此法原始自然，更易看清问题的本质，操作性强，容易被接受.为了好比较，本文就用文[1]和文[2]的例题.

综上所述，用导数求解的关键是求函数导数，然后判断导函数在给定条件下正负，进而得到函数的单调性，最后求出函数的最小值.有时为了使求导简捷，需要换元.

最后，本文再给出这三类问题在统一约束条件下（x>0及p>0）的最小值解答作为结束！

参考文献

[1]沈建平、糜冠兴.三类最小值问题的统一解法及一般结果.数学通报，1999，3

[2]黄兆麟.三类最小值问题的又一种统一解法.数学通报，2005，10

彭光焰老师往期文章链接

【作者简介】彭光焰，男，1989年6月毕业于华中师范大学数学系，正高级教师，湖北省特级教师。湖北省广水市第一高级中学副校长。2018年荣获中学数学教育最高奖“苏步青数学教育奖”，湖北省优秀中学数学教师，湖北省骨干教师，湖北省教育科学研究学术带头人，享受湖北省人民政府和随州市人民政府津贴专家，随州市首批学科带头人，随州市首批十大名师。随州市教研室高中数学兼职教研员，随州市高中数学学科核心团队成员，湖北省高中数学名师工作室和随州市高中数学名师工作室主持人，曾被华中师范大学聘为华中师范大学免费师范生导师，曾被《语数外学习》编辑部聘为编委。随州市第一届、第二届政协委员，广水市第五届、第八届政协委员。自1988年4月28日至今，先后在《中国教育报》《数学通报》《中学数学教学参考》《数学通讯》《中学数学》等全国30余家省级以上报刊发表文章160余篇，其中在核心期刊发表论文32篇，主持各级课题5项，参编高中数学教学用书6册，获地级以上教科研成果奖38项。

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