例谈分类讨论思想在含参函数单调性中的应用

摘要：分类讨论思想是高中数学重要思想方法之一。在高中每个阶段的学习中都有涉及，突出体现在含参函数类问题、含绝对值类问题、排列组合类问题等。涉及分类讨论的题目都r容易被学生划分为“难题”，学生的困难在于难以明确分类依据，论述过程缺乏条理与逻辑，容易造成错解或漏解。要对分类讨论思想进行教学，不能就题讲题。数学思想的渗透应是长期且不断的过程，教师不仅要在教授过程中提出分类讨论思想，更应在教学的前期、中期、后期延续此过程。

关键词：分类讨论数学思想含参函数渗透教学

人教A版选修2-2，函数的单调性与导数一节中，课本主要讲解函数的单调性与其导函数正负的关系，并通过三个例题加深学生对这种关系的理解。素材丰富、举例贴切，对概念的剖析已然比较到位。但是对习题的讲解，特别是涉及含有参数的题目寥寥无几，更没有把它作为例题给学生做示范。但是含参函数却是高考必考内容，且是热点、难点。在含参函数学习中，学生往往感觉到连听懂都存在困难，部分能听懂的学生在自主解题时，又感到茫然而无从下手。真正能掌握且熟练运用的少之又少。重重的困难，对教师的教学提出了要求和挑战。因此，教师在教学的过程中，必须补充更多的内容和习题，填补课本此处的空白，思考和选择更有效的方式来帮助学生。

根据课本及高考题，可将本节内容细分为以下四个题型。

1.原函数与导函数的图像关系；

2.求不含参的函数的单调区间；

3.求含参函数的单调区间；

4.已知函数的单调性，求参数的取值范围。

前面两个题型作为铺垫，后面两个题型是重难点，也是本文将探讨的内容。本文主要针对“含参函数的单调性”，例谈如何在教学的前、中、后期渗透分类讨论思想。

一、在教学前期做好题型分类整合

在教学前期，也就是备课环节，特别是在教授解题技巧前，我们需要对所研究的问题有一个整体的把握。

讨论含参函数的单调性的习题并不难找，难的是需要把题目进行重新分门别类，最后以题组的形式呈现给学生。为此，需思考以下几个问题：1.是否需要对所研究的问题进行分类。2.可以细分为几个类型。3.不同类型的题目的区别是什么。4.不同类型的题的解题方法是什么。以上几个问题有助于我们梳理讲题脉络。下面逐个击破。

对于问题1，我们知道在含参函数求单调性的问题中，有些需要讨论、有些不需要讨论，并且参数处于不同的位置所引起的讨论也是不一样的，因此题型分类十分有必要。

对于问题2和3，我们需明确：题目区分的依据是什么？上文提到，对于两个都含有参数的函数，可能有的要讨论参数的范围，有的不需要讨论参数的范围。

此外，对于含参且都需要讨论的题目，仍需继续细分。因为参数的位置不同，所引起的讨论也不同。如：二次项系数含参，需讨论参数等于、大于、小于零；两根含参大小不确定，需讨论两根大小；题目给定区间，需讨论根与区间的位置关系等。当然，更多的题目并不止一种分类，可能涉及两级甚至三、四级分类，属于综合性题目。

结合以上分析，可从导函数类型先进行粗分。

当然，教师可在此基础上再根据参数的位置进行细分。

接下来，教师在题目编排时，就可以以上分类作为依据，将问题填充进去。在一定程度上，题目编排得越细致，学生对题型的把握越准确。若分类较多，教师在教授时，可将简单题型交由学生来解决并总结解题方法。教师重点突破几类复杂题型，先解决仅涉一级讨论的问题，再进行多级讨论的综合训练。通过这样的梳理，帮助学生构建知识框架，理清解题方法，也便于题型的对比区分。

二、在教学中期做好分类依据引导

(一)梳理分类讨论的顺序

在教学过程中，教师与学生有最直接的交流，因此，课堂是向学生渗透数学思想最直接有力的途径。对于教师在教授“求含参函数的单调区间”这一课时，首先应避免就题讲题，应在题组归类的基础上，着重梳理含参问题讨论的顺序及技巧。

分类讨论思想一定要弄清楚两个问题：一是在什么情况下要分类讨论？二是分类讨论的标准是什么？讨论是因为不确定造成的，讨论的目的是化不确定为确定。在很多情况下，把第一个问题搞清楚了，第二个问题的答案也就出来了。

1.按层级讨论

要突破这一难点，应先梳理讨论顺序。参照第一部分的题型分类，可作以下梳理。

梳理清楚后，开始培养学生做题的“方向感”。也就是，按照规律去做题。碰到含参的导函数，先归类。尝试问自己几个问题：导函数是一次型、二次型还是超越型？若是二次型，二次项系数是否有参数？若有，要如何讨论？若没有，接下来继续讨论什么？慢慢地，分类标准就浮现出来了。

在授课过程中，教师应强调讨论时分清主次，不越级讨论，力求“不重不漏”。

2.按平移顺序讨论

对于一些函数图像随参数变化而产生位置变化的题目，需向学生渗透：将图像按照一定的顺序，如从左往右或从上往下讨论，减少漏解。如例3。

（二）分类讨论可借助的工具

由于含参函数的分类讨论，对学生来说，是个难点，尤其是对逻辑思维不够严密的学生，更是容易晕头转向。因此，在教师教授过程中，应强调化抽象为具体，即利用数形结合思想。

上述的讨论顺序，为学生做题打下了一个理论基础，但学生的理解与运用还停留在初步阶段，必须在实际应用中才能检测掌握的情况。因此，在学生做题时，能否有一些更有效的手段将理论与实际结合呢？

1、树状图分析解题思路

树状图分析，是一个较为清晰有效的方法。不妨看看例4。

点评：在这道题中，导函数的分子部分是含参的二次函数，对其进行讨论会发现，要经历三层讨论。先是开口、再是△、还要比较两根大小和根与定义域的位置关系。教师在讲解时，不妨用树状图梳理解题思路。

并且，若学生能养成这样分析问题的习惯，遇到多层分类讨论的题目，也不至于太混乱了。相当于语文写作中的列提纲，先把大框架架好，再往里填充细节。这样也方便我们下次回顾这道题时，从树状图就能知晓这道题的大体思路。

教师在梳理分类讨论层级时，用树状图来梳理，也会使脉络更清晰。如下图。

2、分类讨论与数形结合

对于复杂的题目，我们往往需要多种思想方法来指引。分类讨论可将复杂的问题分类细化，逐个击破。而数形结合可将抽象的问题具象化。需要分类讨论的题目，本质上都是假设性的题目。我们在讨论的都是假设参数在某个范围时，会得出怎样的结果；假设在另一个范围时，又将得出怎样的结果。对于如此“虚幻”，需要想象的题目，我们更要把它具体化。并且，代数与几何不分家，对于严谨性高且抽象的函数题，我们可借助画图来帮助我们进行分类讨论。

点评：在此题中，不仅需要比较两根大小，还要进一步比较根与区间的位置关系，分类情况较多。在解题时，若不借助图形加以辅助，不仅大脑负担会增大，还有可能产生记忆错乱导致出错。

在所有分类讨论完成之后，我们还要进行最后一步综上小结。学会按顺序整合讨论的结果也是非常关键的，在整理的过程中，及时发现自己的问题，特别是重复或遗漏之处。

当然，不仅在函数类的题目中，需要分类讨论。在整个高中数学中，各处都有分类讨论的身影。思想方法的渗透既不单是这个章节的，也不单是那个章节的事情。需要在日常教学中，不断地、循序渐进地渗透，带领着学生从“入行”到“精通”。并且，在学习之初，先多多地让学生感受为什么在某处进行分类讨论。俗语有云：磨刀不误砍柴工。明白了为什么的问题，再去解决怎么做的问题，逐步建立分类讨论思想意识。

三、在教学后期做好分类总结提升

有分必有总，在各类型问题的逐个击破之后，教师应善于对问题进行总结归纳。题海战术能否奏效，要看是否有反思、总结、提升。零散的知识，总是容易被遗忘。因此，在课后学生必须要做的一项工作是：归类总结。这是知识的内化过程，将知识内化于心，纳入自己的知识体系，才能为己所用。

教师需要引导学生，对不同题型进行归类整理，总结方法。并通过做题巩固，强化分类讨论思想方法。在前期，我们把一个内容分成多个种类，逐个归类，集中火力逐个击破。在后期，当我们对这个问题学习得更深入之时，或许我们能站在更高的角度来思考，把其中的几类又重新合为一类，得出统一的解决方法。就像书先要读厚，然后要读薄。那我们对题目的内在联系会把握得更清楚，总结会更精炼，解题会更精准。

在传统的数学课堂中，往往以教师讲授为主，过多地知识灌输，导致数学思想方法渗透的缺失。数学课程标准中“四基”的提出，说明新的教学应更注重学生数学学科核心素养的发展，其中就包括数学基本思想。思想的作用不仅体现在学生当前能解一个数学题，还将体现在以后其学习、生活的各方面。

教学对学生的影响非一朝两夕可成。在整个高中的数学教学中，应保持数学思想循序渐进地渗透。在教学前期，总结划分、归类题型；在教学中期，指引分类标准、合理分类、结合例题说明；在教学后期，归类整理、总结提升。只有这样才能让学生逐渐感受分类讨论思想的重要性和必要性，才能更顺畅地利用分类讨论方式解决问题。

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