李尚志：数学抽象与逻辑推理

当前举国上下热议＂核心素养＂，支持者、赞同者不少，但讥讽者、反对者似乎更多。一线教师最怕被折腾，能安安静静教书育人就心满意足了。中国教育改革折腾了三十余年，结果每况愈下，最令人向往的还是上世纪八十年代的教育。崇尚假大空，热衷造新词。新瓶装旧酒，新鞋走老路。成就不多见，笑料倒不少。教师折腾苦，学生应试累。何日能得闲？师生共逍遥。

北京航空航天大学数学与系统科学学院原院长、博士生导师、国家级教学名师李尚志先生几十年坚守讲坛，衷情教育，执着追求，痴心不改，坚持自己的做法与教法，以不变应万变。任尔东西南北风，我自岿然不动。不盲从，不跟风，不折腾，却发现自己还常常引领教改新潮流，做出了超出那些所谓热衷教改的人士若干倍的业绩。

情怀君与先生仅一面之交，但微信交流已一年有余。先生乐于与青年交朋友，总是有求必应，有问必答。提携后辈竭尽所能，奖掖青年不遗余力。卓越才识惠学子，豁达襟怀服人心。丰功伟绩传捷报，嘉言懿行育栋梁。

近日情怀君向先生约稿，先生仙风道骨，慨然答曰：＂我将以系列原创新作支持你！＂蒙受如此厚爱，情怀君心生无限感激与感动！贵为享誉中外之大师倾力支持一开办才20天的区区小号，最合理的解释只能是先生胸怀对祖国、民族之大爱，主动肩负振兴中华之使命。先生常说：＂能帮一个就帮一个，能做多少算多少。＂德行高洁、功勋卓著却从不居功，年届古稀、学富五车仍勉力精进。令多少胸无点墨却目中无人之徒无地自容，叫无数志大才疏却耀武扬威之辈情何以堪。

先生自幼嗜书如命，文理兼修，因而博古通今，兼及美欧，著书左右逢源，撰文信手拈来，且挥洒自如，恰到好处。今天本号推送的是先生论述＂数学核心素养＂的系列文章之三，以如此明白晓畅之语言论述抽象枯燥之科学概念，且生动形象，妙趣横生，的确是情怀君平生仅见。貌似浅白却暗藏机锋，看似平淡实寓意深刻。诸多疑云在慨然谈笑间灰飞烟灭，不少歧见在缜密推理下土崩瓦解。情怀君捧读其文，研判其识，时有醍醐灌顶之彻悟，常感淋漓尽致之酣畅。信可乐也，幸甚至哉！诸君且随情怀君同登李师大讲堂，共品专家新华章！深圳高级中学黄元华

一、课标解读

史校长主持起草的普通高中数学课程标准列出六条核心素养。前两条是：

1.数学抽象：数学抽象是指舍去事物的一切物理属性，得到数学研究对象的思维过程。

2.逻辑推理：逻辑推理是指从一些事实和命题出发，依照逻辑规则推出一个命题的思维过程。

一般来说，抽象就是舍去若干不同事物的不同点，得到它们的共同点。逻辑推理就是由很少的共同点推出尽量多的共同点，用到尽量多的不同事物中去。

具体就是一次性杯子，用一次就扔了，再用另一个。抽象就是可以反复使用的杯子，买一个杯子可以用一万次，说一句真理可以用一万次，很多人向往的

“一本万利”，“一句顶一万句”。

舍去的“物理属性”不是物理科学和物理理论，而是现实的物体的特殊性质。舍去它们的不同点，得到共同点，其中关于数量关系和空间形式的共同点就是数学研究对象，这就是数学抽象。另外某些共同点是物理或者其他科学的研究对象，就是物理学或其它科学的抽象。

数学从何而来：一是从现实世界总结出共同点，也就是从现实产生理论，这就是数学抽象。另一条是已经总结出的共同点推出更多的共同点，就是逻辑推理，由少数简单的基本理论产生更多的理论，这就是逻辑推理。

打个比方，数学抽象是女娲造人，逻辑推理是人生人。

二、学会忘记--从数数开始

虽然以上课标是针对高中数学，但却是整个数学教育的共同点，包括小学、中学、大学。也包括小学之前和大学之后。

数学从算术开始，算术从数数开始，小学之前就开始了。

数数怎么教？没有理论可以用，只能从现实开始。比如数铅笔，掰开手指开始数。1,2,3。为什么要掰手指？因为还不会写字，手指是用来计数的，哪根手指记1,哪根手指记2,哪根手指记3，都得背出来。

如果只会数铅笔不会数苹果，就还没有学会数数。不但要会数铅笔，还要会数苹果、梨，数人，数天上的星星，很多不同的东西，舍去它们的不同点，不管它们的大小长短味道，只管多少，多少全部由数到哪根手指决定。不但要学会记住，还要学会忘掉。记住哪根手指代表哪个数。忘掉被数的东西的大小长短味道，不要在数星星的时候还在想它们是不是有苹果的甜味。这就是课标所说的“舍去物理属性”。

金庸武侠小说描写张三丰教张无忌太极剑，教学方法很普通：动作示范。教学要求却很奇特：要忘掉所教的招数。香港版倚天屠龙记的编剧和导演打破脑袋也无法理解为什么老师要学生忘掉自己所教的东西。“忘掉”就是课标说的“舍去”。要求小孩背123456789并不难，多重复几次就行了。忘掉却很难教会，怎么能够让小孩在数铅笔的时候忘掉苹果的甜味，是很困难的事情，但每个小孩都做到了，学会了忘掉，也就是培养了“数学抽象”的核心素养。

数数的开始是把所有的多少都对应到手指上，舍去苹果铅笔和星星的物理属性。按照集合论的观点，是将苹果铅笔星星的集合与手指的子集建立一一对应。手指只有十只，不够用。下一步就要把手指也舍去，写成阿拉伯数字来代表，这是更高一级的抽象。大多数小孩也学会了。

三、学会了数数，再来学加法

加法怎么教。例如高中数学教向量的加法，先教加法的定义，平行四边形法则或者三角形法则，然后按照法则来做加法。可是小学教过加法的定义吗？小学中学大学考过一道题“什么叫加法”吗？是这道题太容易不值得考？还是太难不敢考？如果真考这道题，你打算怎么回答？

我1970年从中国科大数学系毕业被分配到大巴山区教公社小学，教小学二年级的老师就出了这道题，让学生解释“什么叫加法”。我心想这位老师真是胆大包天，全世界都不敢考的题他敢考。就去看他的答案。他的标准答案是：“把两个或两个以上的数合并在一起，求它们的和，这样的运算叫加法。”根据这个定义，加法就是求和，那就需要先懂得什么叫和。书上有解释：加法的结果叫做和。这就发生逻辑问题了：为了懂得加法，先要知道和。为了懂得和，又需要先懂加法。假如把求和取掉。剩下一句是合并。什么叫合并？3与2写到一起成为32，也是合并。

不过，他说的合并还真有道理：3+2就是3个手指和2个手指合并在一起。不过，把手指拿出来，又是把课标舍去的“物理属性”又请回来了，这不能算定义，而是现实模型。3个手指和2个手指合并在一起是多少？又去数手指，数出来是5，就得到3+2=5。如果不数手指直接数阿拉伯数字，3就是1+1+1，2就是1+1，3+2=(1+1+1)+(1+1)=(1+1+1+1)+1=5。这其实是加法结合律。

幼儿园或小学老师其实都是这样教的：先教数数。教加法怎么教？把两个数代表的手指（或算珠）摆到一起，然后一起数数。这就是用已经学会的知识来得出新的知识，旧理论得出新理论，这就是核心素养第二条：逻辑推理。

四、老土称帝

你也许很奇怪：数数简单得不能再简单，老土得不能更土，怎么能登上理论的大雅之堂呢？

我们都知道：欧几里得是几何学的老祖宗。不是说这个老祖宗之前没有几何，而是说他之前的几何是一盘散沙一堆砖块乱堆在那里，不成建筑。老祖宗把砖块散沙整理，修成了高楼大厦。怎么整理？为每一条几何命题找理由，论证它对不对，为什么对。还要看理由为什么能成为理由：理由有什么理由。再追溯理由的理由的理由。打个比方：用砖块造房子，砖块A不能悬在空中，需要放在另一个砖块B上，B放在C上，这样追溯下去不能永无止境，直到不能追溯了，就是地基，下面就是地球的硬石头，不用担心它垮掉，其它砖块都从地基往上一层层砌起来。欧几里得几何的地基叫做公理，砌的砖块叫做定理，砌砖的过程叫做逻辑推理，砌砖的能力就是课标的第二条核心素养。

反过来的过程就是定理的论证。论证就是找一个更简单更显然的理由来论证定理。直到简单得不能再简单，老土得不能更土，就是地基，就是公理。

公理主宰一切。是唯一的上帝。

算术的公理就是数数。算术的一切都是由数数派生出来的。

这个公理叫什么名字？皮亚诺公理。

不用管他叫什么名字。只要你会数数，就掌握了这个公理。正如郭靖学会了九阴真经不知道它叫九阴真经，令狐冲学会了易筋经不知道它叫易筋经。

五、坚持真理不容易

国家推行义务教育制度，要求所有公民达到初中毕业程度。数数是小学算术的开始，所有的公民都应该学会。

我相信这个目标是达到了。但是能不能将数数这条真理坚持到底，就很难说了。甚至读了博士，成了名人专家明星，都不一定能坚持。

有一个国际会议研讨中国文化。有一个号称中国文化的明星的名人讲了一个故事证明中国文化的代表是“三八二十三”。

故事从这里开始：

某朝代，一个小痞子去买布，每疋布8元，买了3疋布，根据三八二十四的口诀,应付24元。

小痞子说口诀不对，应是三八二十三。只付23元。

一位在场的小和尚见义勇为出来打抱不平，说“哪有三八二十三，应是三八二十四”。

小痞子说：“我们去找你师傅评理。如果师傅说24，我把我的头输给你。如果说23，你把你的帽子输给我。”

于是去找师傅。师傅果然说：“三八二十三”。小痞子赢了一顶帽子加一元钱。

小和尚不服。师傅解释：你输了只输帽子，他输了输头。出家人慈悲为本，怎么能要他的命呢？

讲故事的明星总结道：命第一，钱第二，这就是中国文化。

假如我们具有课标所说的逻辑推理能力，就利用这个能力来分析一下。

1.假如老和尚判了24，小痞子会死吗？

明星会说：打了赌就要执行，当然会死。

打了赌为什么就要执行？这个赌是两个人打的，不但没有法律效益，而且取人性命是违法的。不执行才合法，执行是违法的。

明星又会说，既然打了赌，说了话不算数，违反道德。三八二十四是宇宙最高的道德，你都要违反，还有脸皮来谈道德，岂不是太无耻了吗？

明星还会反驳：小痞子自杀了怎么办？我要问：小痞子会自杀吗？他连三八二十四都不遵守，怎么会遵守打赌的约定。这是逻辑推理里的同理可证。

我们很多人与这个明星一样的愚蠢，不管什么人说什么就当真。比如，小编说一句“不转就不是中国人”就生怕自己丧失中国国籍了，也不考虑小编是不是国家授权管理国籍的。小编出一个题说做不出来就是低智商，自己做不出来就真以为自己是低智商了，也不考虑出题人是不是智商问题专家，更不鉴别智商是不是可以由一道题测出来。

2.老和尚判了23,真的就只差1元钱加一顶帽子吗？

老和尚给小痞子的不是具体的钱或帽子，而是“三八二十三“这个抽象的定理。定理可以反复使用，一句顶一万句。小痞子把这个定理用一万次，就会有一万元加一万顶帽子。这就是抽象的厉害。

明星会说我是吹毛求疵，纸上谈兵。

不是纸上谈兵：周幽王烽火戏诸侯，把“敌人来了点烽火”改为“敌人没来也点火”，这是“三八二十三”这个中国文化的第一次亮相。玩第一次是想逗妃子笑，第二次不但自己丢了命，一个朝代都亡了。

赵高的“指鹿为马”是三八二十三的生物版。死了扶苏蒙恬李斯赵高子婴，不可一世的大秦帝国化为灰烬。

历史已经过去。这个中华文化的最新版是两位被老虎吃掉的人。“老虎要吃人”也是“三八二十四”，改成了“老娘要任性”，这也是三八二十三的忠实信徒。没有小和尚来赔他一顶帽子，只有老虎咬他没商量。信徒还很多，还会被吃掉。

数学抽象是第一条核心素养。应该让学生认识到：抽象就是可以反复重复的东西。一句顶一万句。帮人可以帮一万次，吃人也可以吃一万个人。

3.现在回到数学：三八二十四还是二十三，谁说了算？

老和尚说了算吗？数学家说了算吗？牛顿高斯说了算吗？

足球比赛输赢谁说了算？打电话问国际足联吗？问马拉多纳或者贝利吗？

都不问：自己看比赛。谁进球多谁赢。规则说了算，大家都能懂。

同样道理：三八二十三还是二十四，不问老和尚不问数学家，自己数数。三叠钱，每叠8张，数一数共有多少张。其实数都不用数。小痞子不承认24，但承认三八，每疋布付8元，数3个8元付账。然后拿布走人，也没输也没赢。

逻辑推理这条核心素养，最基本的一条就是：真理不因人而异，不由人说了算，只有公理说了算。不管他拿什么国籍，娶多少岁的老婆，得过什么奖，只管他的命题是否能由公理推出来。

要培养这条核心素养，我们还任重道远。不但学生差得远，老师也差得远，专家明星都差得远。虽然大家都拿过小学毕业证，都会数数，但遇到小痞子大痞子主张三八二十三的时候，还是只想到请一个老和尚或数学家来裁决，而没有想到争论双方一起来掰手指数数。你说你达到小学毕业水平了吗？

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