初中数学一题多解【第10期】
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抛物线与线段交点问题
浙江初中数学研究【解题分享】第10期与大家见面了!今天分享的内容是“抛物线与线段交点问题”，各位老师积极参与线上研讨，精彩纷呈！下面我们一起看看老师们对本题的精彩演绎吧!
一
原题呈现
二
解法分析
三
变式拓展
四
解题启示
本题从 “形”上看是抛物线和直线的交点问题，从“数”上看是二次方程与一次方程的解的问题，“数形结合”是解决这类问题的主要方法。由于二次函数中参数a的不确定性，使得抛物线的开口方向，与线段端点的位置都有多种变化，怎么样进行分类是个难点。解法一到解法三都是根据抛物线的开口方向结合与线段交点的临界状态进行思考，分类清楚完整，很好地解决了问题.
“参变分离”虽然是高中数学中很重要的方法，但在初中数学中对学有余力的学生可以适当渗透这种思想。在本题中把a用x的代数式来表示，避免了对a的分类讨论，把问题转化为开口方向确定的抛物线与直线的交点，降低了难度.
五
专家观点
这个问题引起了很多老师的思考.
宁波的徐翔翔老师说：“看图分类难在分类，学生分不清；参变分离学生没有储备的知识，感觉学生也很难理解”.
金华四中的潘宇晓老师对这类问题的改编方向提出了自己的看法：
1.线段两个端点的位置，从一个坐标相同变化到两个坐标不同；2.函数类型可以改为反比例函数，或将部分图像通过轴对称等变换做一定改变；3.函数的待定系数可以从一个字母变化到三个字母；4.交点的个数要求可以从一个变化到三个乃至更多；5.可以从图像与线段有交点改为图像与某个图形（例如三角形，平行四边形）的边有交点.
END
整理：湖州市第五中学 黄伟 朱威
编辑：湖州市第十二中学 李清强
审核：湖州市教育科学研究中心 倪金根
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