考前帮你搞定：排列与组合问题

排列组合问题是高考命题的一个热点，一般作为中等题呈现。解决这类问题时，一定要问问自己：怎样做才能完成所要做的事？这样做是否保证不重不漏了?应采取分步还是分类,或是分步与分类同时进行？分多少步及多少类？每一步或每一类是排列问题(有序)还是组合(无序)问题？当然，对于一些常见的问题，还需学会根据具体的问题，采用相应的解题方法，这样就能做到游刃有余。

一、两个计数原理：

（一）分类计数原理(加法原理)

（二）分步计数原理（乘法原理）

注意：分类计数原理分步计数原理区别在于分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事；而分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事件．

下面来看一些应用.

二、几种常用的解题策略：

（一）特殊元素和特殊位置优先策略

高考在考查排列问题时主要考查具有一定限制条件的排列问题，这类问题中往往对某些元素或是某些位置有特定的要求，在这些特定要求下求排列数，解决这类问题的基本思想是优先考虑特殊元素或特殊位置，当特殊元素、特殊位置安排好后，其余元素和位置就是一个普通的排列问题。

例14 把2名新生分别到甲、乙、丙、丁四个班，甲班必须且只能分配1名新生，则不同的分配方法有（）

A.3种 B. 4种 C. 6种 D.8种

例17 (2014四川理)六个人从左至右排成一行,最左端只能排甲或乙,最右端不能排甲,则不同的排法共有（）

A.192种 B.216种 C.240种 D.288种

例24 某高中举办“情系母校”活动，学校安排6名大学生到高一年级A，B，C三个班级参加活动，每个班级安排两名同学，若甲同学必须到A班级，乙和丙同学均不能到C班级，则不同的安排方法种数为（）.

A.12 B.9 C.6 D.5

位置分析法和元素分析法是解决排列组合问题最常用也是最基本的方法,若以元素分析为主,需先安排特殊元素,再处理其它元素.若以位置分析为主,需先满足特殊位置的要求,再处理其它位置。若有多个约束条件，往往是考虑一个约束条件的同时还要兼顾其它条件.

（二）并组或相邻问题捆绑策略

要求某几个元素必须排在一起的问题,可以用捆绑法来解决问题.即将需要相邻的元素合并为一个元素,再与其它元素一起作排列,同时要注意合并元素内部也必须排列.

例26 (17全国2理)安排3名志愿者完成4项工作,每人至少完成1项,每项工作由1人完成,则不同的安排方式共有（）

A.12种 B.18种 C.24种 D.36种

（三）不相邻问题插空策略

元素相离(即不相邻)问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定相离的几个元素插入上述几个元素间的空位和两端．

例35 记者要为4名志愿者和他们帮助的2位老人照相，要求排成一排，2位老人不相邻，不同的排法共有（　）种．

A.240 B.360 C.480 D.720

例42 《中国诗词大会》（第二季)亮点颇多，十场比赛每场都有一首特别设计的开场诗词，在声光舞美的配合下，百人团齐声朗诵，别有韵味.若《将进酒》《山居秋暝》《望岳》《送杜少府之任蜀州》和另确定的两首诗词排在后六场，且《将进酒》排在《望岳》的前面，《山居秋暝》与《送杜少府之任蜀州》不相邻且均不排在最后，则后六场的排法有（）

A.144种 B.288种 C.360种 D.720种

（四）平均分组问题除法策略

分组分配问题是排列组合问题的综合运用，解决这类问题的一个基本指导思想就是先分组后分配，在分组时要注意是均匀分组还是不均匀分组，在均匀分组中有一个难点，

例45 将5件不同的奖品全部奖给3个学生,每人至少一件奖品,则不同的获奖情况种数是

A.150 B.180 C.300 D.360

例46 某高校大一新生中的6名同学打算参加学校组织的“演讲团”、“吉他协会”等五个社团，若每名同学必须参加且只能参加1个社团且每个社团至多两人参加，则这6个人中没有人参加“演讲团”的不同参加方法数为（）

A.3600 B.1080 C.1440 D.2520

【解析】由于每名同学必须参加且只能参加1个社团且每个社团至多两人参加，因此可以将问题看成是将6名同学分配到除“演讲团”外的四个社团或三个社团，可以分两类：

备注：排列组合中不同元素的分配问题，往往是先分组，再分配.在分组时，通常有三种类型：①不均匀分组，②均匀分组，③部分均匀分组，由于分组的无序性，所以在均匀分组和部分均匀分组时，要注意剔除顺序.

例47 某高校大一新生中的6名同学打算参加学校组织的“雅荷文学社”、“青春风街舞社”、“羽乒协会”、“演讲团”、“吉他协会”五个社团，若每名同学必须参加且只能参加1个社团且每个社团至多两人参加，则这6个人中至多有1人参加“演讲团”的不同参加方法数为（）

A.4680 B.4770 C.5040 D.5200

（五）排列组合混合问题先选后排策略

解决排列组合混合问题,先选后排是最基本的指导思想.一般地,从几类元素中取出符合题意的几个元素，再安排到一定位置上，可用先选后排法．

例48 (17天津理)用数字1,2,3,4,5,6,7,8,9组成没有重复数字,且至多有一个数字是偶数的四位数,这样的四位数一共有___________个.（用数字作答）

例51 生产过程中有4道工序，每道工序需要安排一人照看.现从甲、乙、丙等6名工人中安排4人分别照看一道工序，第一道工序只能从甲、乙两名工人中安排一人，第四道工序只能从甲、丙两名工人中安排一人，则不同的安排方案共有（）

A.24种 B.36种 C.48种 D.72种

（六）正难则反总体淘汰策略

有些排列组合问题,正面直接考虑比较复杂,而它的反面往往比较简捷,可以先求出它的反面,再从整体中淘汰.

例54 从3名男生和4名女生中随机选取3名学生去参加一项活动，则至少有一名女生的抽法共有多少种（）

A.34 B.32 C.31 D.30

例59 从6名团员中选出4人分别担任书记、副书记、宣传委员、组织委员四项职务，若其中甲、乙不能担任书记，则不同的任职方案种数是（　　　）

A.280 B.240 C.180 D.96

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（七）重排问题求幂策略

十）多排问题直排策略

一般地,元素分成多排的排列问题,可归结为一排考虑,再分段研究.

(十一)实际操作穷举策略

对于条件比较复杂的排列组合问题，不易用公式进行运算，往往利用穷举法或画出树状图会收到意想不到的结果.

例71 设有编号1，2，3，4，5的五个球和编号1，2，3，4，5的五个盒子,现将5个球投入这五个盒子内,要求每个盒子放一个球，并且恰好有两个球的编号与盒子的编号相同,有多少投法?

(十二)数字排序问题查字典策略

数字排序问题可用查字典法,查字典的法应从高位向低位查,依次求出其符合要求的个数,根据分类计数原理求出其总数.

排列组合题的特点是条件隐晦，不易挖掘，题目多变，解法独特，数字庞大，难以验证.只有对基本的解题策略熟练掌握,根据它们的条件,选取不同的技巧来解决问题.对于一些比较复杂的问题,我们可以将几种策略结合起来应用,把复杂的问题简单化,举一反三,触类旁通.

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