大长腿的小姐姐真的很难追吗?

妙解之慧 2022-08-05

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引言

俗话说，美不美看大腿，女性一双大长腿能迷倒万千男性。就说说每年的维密秀，虽说是内衣公司的宣传秀，然而有这么多条美腿，谁还在意穿什么衣服啊。

图 1: 这么长的腿不蹬三轮可惜了

我最迷恋的九零后狮子座的杨姐姐（图 2），就有一双白、细、长、直的美腿。作为当下人气最高的女星之一，杨超越没有辜负热血追梦的时光，她正在用属于她自己的大长腿突破边界、勇往直前。

图 2: 杨姐姐展示大长腿

人们为什么会如此迷恋大长腿呢？这种执着可以追溯到远古时代。在新疆呼图壁县康家石门子发现的岩画中就有所体现，其中女性双腿修长 (图 3)。这幅岩画距今约有 3000 年的历史了，从画中可见，男性的审美一直比较专一，千年不变。

图 3: 新疆康家石门子长腿女岩画

在远古时代，人们经常处于食不饱腹的状态，所以整体的身材发育都不够好。如果出现身材高挑的女性，那就意味着她在身体发育阶段得到了良好的照顾，身体素质比较好，故而具有强大的生殖能力和养育能力。但如果腿太长，热量就更容易流失，在远古时代更容易被冻死。此外，如果腿太长，身体的重心就会比较高，更容易在冰天雪地里滑倒而骨折。在远古时代，骨折可能就意味着死亡。

图 4: 腿太长并不好看

现代医学研究表明，儿童在生长发育期时如果健康状况欠佳、饮食不足、家庭环境不好都会减少腿部的长度^[1]。成年后，相对较短的腿和相对较矮的身材可能会增加肥胖、冠心病和糖尿病的风险^[2-4]。但一些癌症（如前列腺癌、乳腺癌、直肠癌等）更容易发生在身材更高和腿相对更长的人身上^[5]。所以，腿太短和太长都不好，中等偏长的腿才是好腿。

图 5: 腿太短有点尴尬

从视觉角度来讲，最完美的腿也是中等偏长的腿。有研究^[6]表明，无论男女，都喜欢高个子的女性，都认为腿比正常人还长 5% 的人最有魅力，其次是与平均长度一致的人或者超过平均长度 10% 的人。人们也常说好看的身材一定是四六分的。这个比例实际上就是所谓的黄金分割，即上半身和下半身比例为 0.618:1，此时的腿长才是最完美的^[7]。经大致估计，杨超越的腿长就正好使其上下半身的比例符合黄金分割（图 6）。

图 6: 符合黄金分割的腿

综上所述，像杨超越这样大长腿的小姐姐不仅健康，还很美。因此想追的人自然很多。那么问题来了：大长腿的小姐姐真的很难追吗？该如何科学地追大长腿的小姐姐呢？本文将建立模型，回答以上两个问题。

模型

擅长初中物理的我，一下子就看穿了问题的本质：追大长腿的小姐姐实际上就是追及相遇问题。假想你在路上发现前方有一位长腿美女，你想要追上去确认一下美女有多美。但你又怕被发现，只得强装镇定，不能跑步。你只能加快走路的速度，但当你走路的速度增加到 3 m/s 时，你会发现你根本无法走得更快了。你想要获得更快的速度只能改走为跑。是什么限制了你走路的速度？直观来讲，腿长就是其中一个因素。

图 7: 超越奔驰，这速度谁敢去追？

经过对多位大长腿小姐姐的长期观测，我发现：大长腿的小姐姐之所以难追，主要是因为腿长，走路、跑步的速度都比较快（图 7 和 8）。接下来，我们具体研究一下腿长和走路或跑步速度的关系。

图 8: 身轻如燕，这超越谁能超越？

走路

在之前的文章中，我们已经研究过走路的步态。走路实际上是一个非常复杂的过程，仅一条腿上就有 29 根骨头和 37 块肌肉。我们需要对走路的过程做一些简化。假设身体的质量集中于髋关节（大腿根处的大关节）。如图 9 左和图 11 所示，人在走路时，一只脚着地后，另一只脚随即离地。着地的腿几乎保持笔直，直到另一条腿再次着地。

图 9: 走路和竞走示意图

某条腿着地期间，髋关节到该腿着地点的距离不变，并绕着该着地点做圆弧运动。因此，走路的过程可以看成两条腿交替地作为半径，质心沿着一系列圆弧运动。圆周运动的物体具有朝向圆心的加速度，如果其速度为，半径为，则向心加速度为。因此，当着地的腿运动到竖直状态，身体向下的加速度为，其中为人行走的速度，为腿长。身体向下的加速度完全来自于自身重力，该加速度不会大于重力加速度，即因此走路的速度满足上式给出了走路所能达到的最大速度，同时表明该最大速度与腿长有关。例如某知名作家兼导演小的身高约为米，假设其上半身和下半身比例为 1:0.618 满足黄金分割。由此可得其腿长约为 0.54 m。因此，其走路的最大速度为而杨姐姐的身高约为 1.67 米，考虑到其下半身和上半身比例为 1:0.618 满足黄金分割。由此可得其腿长约为 1.03 m。因此，其走路的最大速度为综上所述，如果杨姐姐以较大的速度走路，小想追杨超越就只能跑步了。

图 10: 运动员竞走时扭臀

上面的分析告诉我们，对于腿长为 0.9 m 左右的普通人，走路的速度上限为 3 m/s 左右。但如果你比较了解竞走运动，就会知道竞走运动员的速度能超过 4 m/s。实际上这是由于运动员在竞走时摆动臀部，以减少身体质心的垂直运动，他们的质心上升和下降的幅度小于髋关节（图 9 右和图 10）。

图 11: 走路模型示意图

接下来，我们分析走路过程中的能量消耗。如图 11 所示，人走路时，当一只脚着地，身体在惯性和重力作用下沿圆弧运动，此时人体不需要做功。身体上升时，动能转化为势能，速度降低。身体下降时，势能转化为动能，速度升高。动能和势能相互转换，类似于钟摆的运动。人体只在一只脚着地，而另一只脚离地的瞬间需要做功，此时两腿与竖直方向的夹角都为。在此瞬间前后，质心的速度与水平的夹角由变为，数值上稍大于。速度在竖直方向的分量由变为。在此瞬间，人体失去和重新获得的动能均为

人体的肌肉必需在迈出的每一步都做功来补尝失去的动能。每一步前进的距离为，因此步行单位距离所需要做的功为步行单位时间所需要做的功，即功率为需要注意的是：上式中的略大于。可以根据机械能守恒来估计和的差别。当着地的腿从竖直状态运动到与竖直方向夹角为时，重力势能的减小等于动能的增加，即从而可得因此，走路的功率为跑步

不同于走路，人在跑步过程中，会出现双脚同时腾空离地的时间段（图 12）。当身体的重心在水平方向超过着地的脚时，着地的腿膝盖会稍微弯曲，腿对身体的支撑力基本沿着腿的方向。在走路的过程中，动能转化为重力势能，然后重力势能再转化回动能，如此往复。但在跑步过程中，动能与势能不再此消彼长，而是同步消长。当两只脚均离开地面，重心处于最高点时，动能（速度）和势能都达到最大。

图 12: 跑步模型示意图

跑步时的步长显然大于走路时的步长，不妨设为，其中。在一步时间内，地面对人的平均支撑力应该等于重力。而只有脚着地的时间段内，地面才对人有支撑力。脚着地的时长只占一步时间的。因此在脚着地的这段时间内，地面对腿在竖直方向的平均支撑力为。为了简化问题，假设地面对腿的竖直支撑力恒定为。由于地面对腿的合力沿腿的方向，当脚刚着地时，地面对腿有水平方向的摩擦力。当腿与地面垂直时，该摩擦力下降为 0。身体在水平方向的摩擦力作用下前进了。因此，身体损失掉的动能为人体的肌肉必需做功来补偿这部分损失掉的动能。跑步时的步长为，因此跑步过程中单位距离人体做功为跑步单位时间所需要做的功，即功率为比较

上文的模型给出：走路的功率（单位时间所消耗的能量）与速度的三次方成正比，而跑步的功率与速度的一次方成正比。因此存在一个临界速度，当超过这个速度时，跑步就会比走路消耗的能量少。考虑普通人的腿长约为 0.9 m，一步的跨度约为 25 左右。我们可以根据模型计算出不同速度下走路和跑步的功率。

图 13: 不同速度下走路和跑步的功率

图 13 为普通人不同速度下走路和跑步的功率，两条曲线的交点即为临界速度。令临界速度为，则有 = ，即由上式可解得代入 m，可得普通人的临界速度为即当速度 m/s 时，跑步所消耗的能量是小于走路的。生理学家通过对走路或跑步时人体氧气消耗率的测量，给出的临界速度为 2 m/s 左右^[8]。这种差异可能是由于模型的简化引起的。

任何动物的走或跑，都伴随着动能和势能的增加和减少。一部分动能和势能相互转换，另一部分消耗掉的能量则需要肌肉进行补充。可以用动能和势能的比值来描述包括人在内的不同动物的运动相似性。如果某个动物质量为，腿长为，运动速度为，则其动能和势能之比为其中无量纲数被称为弗劳德数（Fr）。当两个动物具有相同的弗劳德数，则称这两个动物具有运动相似性。从前面的模型中可知，是走和跑的转折点。

图 14: 弗劳德数与无量纲步长的关系^[9]

图 14 给出了不同动物弗劳德数与无量纲步长（步长／腿长）的关系。图 14 表明，包括人在内的动物之间存在运动相似性。例如，对于时，人、骆驼和犀牛具有相似的无量纲步长。这种相似性可以用来估计未知动物的运动特征。例如，由恐龙的化石可估计出恐龙的腿长，由恐龙的脚印可以估计出恐龙的步长。在此基础上，可以利用运动相似性来估计出恐龙的运动速度。这种相似性还告诉我们，无论是走还是跑，速度都与正相关，即腿越长速度越快。

结论

本文的模型给出了走路的最大速度，以及不同速度下走路和跑步的功率。结果表明，走路和跑步的速度都与腿长正相关，即腿越长速度越快。这从理论上印证了我根据观察得到的结论：大长腿的小姐姐之所以难追，主要是因为腿长。追小姐姐是一场持久战，谁越持久越可能追上。因此，应该在追的过程中尽可能减小能耗。当小姐姐的速度低（高）于你的临界速度时，无论小姐姐是走还是跑，你都应该走（跑）着追。此外，模型还告诉我们，有些腿特别长的小姐姐，你是永远追不上的，除非你开宾利追！

由于简化，也导致了模型存在一些缺点。模型将身体的质量集中于了一点，忽略了腿上的质量分布。模型忽略了肌腱和韧带的弹性。模型还假设地面对脚的作用力集中在固定的点上。实际上，在一个跨步过程中，压力中心始于脚跟并向前移动至脚趾。在跑步模型中，只考虑了身体因动能损失所做的功，而忽略了因势能损失所做的（较小）功。模型假定脚着地的整个过程中，地面对人支撑力的垂直分量是恒定的。实际上，地面对人垂直支撑力是先升高再下降的。尽管本文的模型简单且假设与实际情况存在一些差别，但模型给出的结果已经足够说明问题。

附录

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参考资料

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Isabella Leitch. Growth and health. British Journal of Nutrition, 5(1):142–151, 1951.

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M R Järvelin. Fetal and infant markers of adult heart diseases. Heart, 84(2):219–26, 2000.

[4]

Claudia Langenberg, Rebecca Hardy, Diana Kuh, and Michael Ej Wadsworth. Influence of height, leg and trunk length on pulse pressure, systolic and diastolic blood pressure. Journal of Hypertension, 21(3):537–543, 2003.

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Barry Bogin and Maria Inês Varela-Silva. Leg length, body proportion, and health: A review with a note on beauty. Int J Environ Res Public Health, 7(3):1047–1075, 2010.

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[7]

M. Bourne. The math behind the beauty, 2019: https://www.intmath.com/numbers/math-of-beauty.php

[8]

Mc Neill Alexander. Walking and running. American Scientist, 72, 1984.

[9]

Mc Neill Alexander. Walking and running. Mathematical Gazette, 1996.

[10]

Mc Neill Alexander. Modelling, step by step, 2001: https://plus.maths.org/content/modelling-step-ste

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