胡云端：圆锥曲线求离心率的常见题型与解法

离心率是圆锥曲线的一个重要几何性质，它的变化直接导致曲线类型和形状的变化，同时它又是圆锥曲线统一定义中的重要要素。纵观近年的高考，离心率也是圆锥曲线客观题的考查重点，通常有求椭圆和双曲线的离心率和离心率取值范围两种题型，属于中档题型。试题既不需要深奥的知识，也没有高难的技巧，许多题目源于将课本中若干基础知识串并联、类比、改造而成。本文通过实例归纳了求椭圆、双曲线的离心率和离心率的取值范围两种题型的常用方法。

题型一：求离心率e

方法1：直接求出a,c，再求解离心率e

当圆锥曲线的标准方程已知或者易求a,c时，可直接利用率心率公式e=c/a来解决。

方法2：采用圆锥曲线的统一定义求解

从“焦点-准线”的观点来看，到定点的距离与到定直线的距离的比是常数e的点的轨迹是圆锥曲线（不包括一些退化情形）。定义中提到的定点，称为圆锥曲线的焦点；定直线称为圆锥曲线的准线；固定的常数（即圆锥曲线上一点到焦点与准线的距离比）称为圆锥曲线的离心率。根据的取值范围不同，曲线也各不相同：当时，轨迹为圆；当0<e<1时，轨迹为椭圆；当e=1时，轨迹为抛物线；当e>1时，轨迹为双曲线。

方法3：构造a,c的齐次方程，解出e

根据题设条件建立a,c之间的等量关系，再借助椭圆或双曲线中a,b,c间的关系消去b，从而构造a,c的齐次方程，进而根据离心率的定义两边同时除以a的齐次得到关于e的方程，便可解方程得到离心率e。

题型二：求解离心率e的取值范围

方法1：运用函数思想求解离心率的范围

通过已知条件分析，利用圆锥曲线的性质建立离心率的函数关系，转换为求函数值域的问题。

方法2：构建关于e的不等式，求e的取值范围

根据已知和潜在条件构建一个关于基本量a,b,c的齐次不等式（通常要借助一些不等式性质、平面解析几何知识，函数性质与数形结合思想等来探求），再化简为e的形式，便可求得离心率范围。

三、综合题

四、总结：

（1）圆锥曲线离心率的问题，通常有两类：一是求椭圆和双曲线的离心率；二是求椭圆和双曲线离心率的取值范围。

（2）一般来说，求椭圆（或双曲线）的离心率，只需要由条件得到一个关于基本量a,b,c,e的一个方程，就可以从中求出离心率e=c/a。

（3）一般来说，求椭圆（或双曲线）的离心率的取值范围，通常可以从三个方面来研究：一是考虑几何的大小，例如线段的长度、角的大小等；二是通过设椭圆（或双曲线）点的坐标，利用椭圆（或双曲线）本身的范围。

（4）离心率是描述圆锥曲线性质的一个关键量，它是一个比值，它与圆锥曲线的大小无关，只与其形状有关。在椭圆中，离心率越大，椭圆越扁平，离心率越小，椭圆越圆，椭圆离心率的取值范围e∈(0,1)；在双曲线中，离心率越大，双曲线的形状从扁狭逐渐变得开阔，即双曲线的“张口”逐渐增大，双曲线离心率的取值范围e∈(1,+∝)；在抛物线中，离心率e=1。

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作者简介：胡云端,男，理学学士，高中数学奥赛二级教练员。先后任教于湖北省某县一中、广东省重点高中、市直学校。

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