吕增锋：反复认知，螺旋上升 ——由研读新教材“基本不等式”引发的教学思考

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原文发表于《中国数学教育》2020.7-8

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       文卫星，上海市特级教师。践行“生态课堂”，做到“两尊重”----即尊重知识的发生、发展规律，尊重学生的认知规律；把握“两个度”----思想（哲学或数学）高度和文化厚度。

在《数学教育学报》《数学通报》《中学数学教学参考》等近50家报刊杂志发表论文或文章约330多篇。

     专著（代表作）：《超越逻辑的数学教学----数学教学中的德育》（2009）、《文卫星数学课赏析》（2012）、《挑战高考压轴题高中数学精讲解读篇》（1-10版，2009-2019）、《上海高考好题赏析》（2019）。

近年为北京、上海、天津、江苏、浙江、福建、广东、贵州、河南、河北、四川、云南、新疆、宁夏、安徽、山西、重庆等地师生讲学。

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吕增锋，1978.9出生，2000.8在浙江省象山县第二中学执教至今。正高级教师，浙江省春蚕奖，浙江省教科研先进个人，宁波大学兼职教授，宁波市领军拔尖人才，宁波市德育先进个人，宁波市学科骨干教师已发表论文100余篇，多篇论文被人大复印资料全文转载；多项课题获省市一等奖；5门校本课程入选省市精品课程。。

摘要：最新版教材之所以把“基本不等式”前置是经过了学习的重要性与可能性两方面的综合考量。相比旧教材，“基本不等式”的教材地位与教学要求都发生的变化，由于“基本不等式”本身内涵非常丰富，其学习过程不可能一蹴而就，“反复认知，螺旋上升”才是课堂教学的有效策略。

关键词：新教材 反复认知 螺旋上升 基本不等式

最新版的人教版高中数学教材已于2019年下半年在部分省市正式推行使用。在新的课程理念的指导下，新教材按照“四条主线”对高中数学知识进行重新串联、整合、重构，形成了新的主题单元，其中比较引人注目的是“基本不等式”原来是属于旧教材必修5第三章“不等式”的内容，而新教材却把它前移到必修第一册第二章“一元二次函数、方程和不等式”中。按照新教材的定位，必修第一册第二章属于“初高中衔接”内容，由此可见，不仅“基本不等式”的教学内容发生了前置，而且它的教学地位也发生了相应的改变。那么，新教材为何如此处理？其意图什么？会带来怎样的教学启示？

1“基本不等式”是“工具”，需要提前熟悉 

“基本不等式”为何提前学习？新教材首先考量的应该是基本不等式是探索“对勾函数”性质的工具。虽然在旧教材中对勾函数没有明确的教学要求，但对勾函数的重要性不亚于高中阶段的几个“基本初等函数”，因此，在实际教学中，对勾函数是作为“补充”内容要求学生掌握。这次新教材正式确定了“对勾函数”名分，特意在必修第一册第三章中开辟了“探究函数                             图像与性质”栏目，对勾函数成了学生必学的内容。“基本不等式”显然有助于解释对勾函数的“极值点”的问题，有助于学生直观感知对勾函数的图像。

其次，基本不等式一直是求最值的有力“工具”而存在，尤其是在面对比较复杂的多元最值问题，更是能够起到化繁为简、化腐朽为神奇的作用。最后，基本不等式也是推导证明其它重要不等式的工具，比如，柯西不等式、Holder不等式以及一系列的多元齐次不等式，掌握了基本不等式就意味着找到了通向不等式研究大门的钥匙。

由此可见，学生越早熟悉“基本不等式”就意味着越早掌握认识数学、研究数学的工具，新教材把“基本不等式”前移也是基于实际学习的需求，是一种理性的举措。

2“基本不等式”很“基本”，可以提前学习 

在旧教材中，基本不等式一般是在高一第二学期才开始学习，那时学生已经具备一定的认知基础与思维水平，学习“基本不等式”一般不存在大的认知障碍。在新教材中，学生只是刚学习了“集合与常用逻辑用语”，马上就要学习基本不等式，他们能学会吗？

3“基本不等式”不易“掌握”，需要反复认知、螺旋上升

“基本不等式”虽然表现出很多“基本”的属性，但实际上基本不等式蕴含了丰富背景与内涵，需要深入挖掘；在运用其解决最值问题时也并非只要抓住“一正二定三等”就可以了，很大程度上依赖于变形化简的技巧，需要花时间去掌握。因此，学生对数学知识的理解并不是一蹴而就的，尤其是面对数学一些核心概念、重要的定理与公式，一般需要经历从简单到复杂、从具体到抽象、由低级到高级，在已有理解基础上扩展、深化的反复认知过程[i]。正是基于这个基本认知规律的考量，新教材对“基本不等式”采用了“螺旋上升”的设计策略，整块内容被分为两节，前后知识内容虽然有适当的重复，但在学习要求上逐步提高，并使后面的内容成为前面内容的扩展和深化，从而使教材体现出一个“因袭与扩张”相融合的学习进程[ii]。因此，“基本不等式”的课堂教学应遵循出“反复认知、螺旋上升”的原则，具体操作如下：

3.1经历多次发现的过程

新教材中，“基本不等式”第一次需要在“弦图”中发现。“弦图”包含了太多的相等关系与不等式关系，教师可以通过问题链驱动学生去发现：

问题1 从一维视角出发，你能发现“弦图”中包含了哪些“相等关系与不等式关系”？（比如，四个三角形对应边长相等、三角形斜边长大于直角边等）

问题2从二维视角出发，你能发现“弦图”中包含了哪些“相等关系与不等式关系”？（比如，勾股定理、四个三角形面积相等、四个三角形面积之和小于正方形面积等）

✎ 参考文献 

[1]章建跃. 核心素养导向的高中数学教材变革（续3）——《普通髙中教科书•数学（人教Ａ版》的研究与编写［J］.中学数学教学参考，2019（08）:5-10

[1]章建跃. 核心素养导向的高中数学教材变革（续2）——《普通髙中教科书•数学（人教Ａ版》的研究与编写［J］.中学数学教学参考，2019（08）:7-13

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