Hardy-Littlewood-Polya 著《不等式》

MathematicsClub 2023-10-05

20世纪数学经典著作之一它透彻地介绍了数学分析中的所有标准不等式，并给出了详尽的证明。　——NewTechnicalBooks

内容简介：本书是由Hardy、Littlewood和Pólya合著的一部经典之作。作者详尽地讨论了分析中常用的一些不等式，涉及初等平均值、任意函数的平均值和凸函数理论、微积分的各种应用、无穷级数、积分、变分法的一些应用、关于双线性形式和多线性形式的一些定理、Hilbert不等式及其推广等内容。本书适合于高等院校数学专业高年级本科生和研究生，以及对数学感兴趣的研究人员阅读参考。

译者序：本书的三位作者都是数学界，特别是古典分析学界杰出的学者。记得有人说过，英国的数学之为世界同行所重视，是从由Hardy形成的具有世界影响的英国分析学派开始的。其工作涉及解析数论、三角级数、调和分析、发散级数等诸方面，影响深远。在20世纪上半叶，Hardy的文风对数学工作者也有很大的影响。无论是写书，还是写论文，他总能做到像苏轼所说的“如行云流水，初无定质，但常行于所当行，常止于不可不止，文理自然，姿态横生”，将复杂深奥的东西写得明白易懂，使读者在不知不觉之间“轻舟已过万重山”。

不等式是我们在数学工作中常遇到的东西。当我们求解一个问题是，常会遇到一个复杂的表达式，很难判断它的大小，而这正是我们所关心的，希望有一个较简单的式子去代替它，这时就出现了不等式。当作者解决了他的问题之后，作为过渡工具的不等式往往遭到遗弃。因此，同样一个不等式可能在不同的时间、不同的场合多次出现。但每次出现，作者的注意力只限于解决他当时所考虑的问题，从普遍性和完整性的角度看，这总会带来某些缺陷。因此，要去搜索历史上留下的众多不等式，将他们加以整理，发现它们之间的关系，并加以推广，使之完善，以便能适应更宽阔的一些场合，的确是一件重要而又艰难的工作。我们眼前的这部著作就是由哈代、李特尔伍德和波利亚三位数学巨匠经过6年的辛勤劳动完成的。它是一本工具书，是数学工作者必备的一本书，又是一本关于不等式的经典著作。读者从中不仅可以看到许多著名的不等式，而且还可以学到如何处理问题，如何将一个不等式加以推广、扩大其应用范围使之臻于完善，如何将一个复杂的证明以严格而又流畅的语言来表达，这些也都是每一位严肃的数学工作者所期盼做到的。从这一角度来看，本书又是一本经典的教材。

第1章　导论

1.1　有限的、无限的、积分的不等式

1.2　记号

1.3　正不等式

1.4　齐次不等式

1.5　代数不等式的公理基础

1.6　可比较的函数

1.7　证明的选择

1.8　主题的选择

第2章　初等平均值

2.1　常用平均

2.2　加权平均

2.3　Mr（a）的极限情形

2.4　Cauchy不等式

2.5　算术平均定理和几何平均定理

2.6　平均值定理的其他证明

2.7　Holder 不等式及其推广

2.8　Holder不等式及其推广（续）

2.9　平均值Mr（a）的一般性质

2.10　和数Sr（a）

2.11　Minkowski不等式

2.12　Minkowski不等式的伴随不等式

2.13　诸基本不等式的解说和应用

2.14　诸基本不等式的归纳证明

2.15　与定理37有关的初等不等式

2.16　定理3的初等证明

2.17　Tchebychef不等式

2.18　Muirhead定理

2.19　Muirhead定理的证明

2.20　两个备择定理

2.21　关于对称平均的其他定理

2.22　n个正数的初等对称函数

2.23　关于定型的一点说明

2.24　关于严格正型的一个定理

2.25　各种定理及特例

第3章　关于任意函数的平均，凸函数论

3.1　定义

3.2　等价平均

3.3　平均Mr的特征性质

3.4　可比较性

3.5　凸函数

3.6　连续凸函数

3.7　关于凸函数的另一个定义

3.8　诸基本不等式中的等号

3.9　定理85的改述和推广

3.10　二阶可微的凸函数

3.11　二阶可微的凸函数的性质的应用

3.12　多元凸函数

3.13　Holder不等式的推广

3.14　关于单调函数的一些定理

3.15　关于任意函数的和数：Jensen不等式的推广

3.16　Minkowski不等式的推广

3.17　集合的比较

3.18　凸函数的一般性质

3.19　连续凸函数的其他性质

3.20　不连续的凸函数

3.21　各种定理及特例

第4章　微积分学的若干应用

4.1　导引

4.2　中值定理的应用

4.3　初等微分学的进一步应用

4.4　一元函数的极大和极小

4.5　Taylor级数的使用

4.6　多元函数的极大极小理论的应用

4.7　级数与积分的比较

4.8　W.H.Young的一个不等式

第5章　无穷级数

第6章　积分

第7章　变分法的一些应用

第8章　关于双线性形式和多线性形式的一些定理

第9章　Hilbert不等式及其类似情形和推广

第10章　重新排列

附录A　关于严格正型

附录B　Thorin关于定理295的证明及推广

附录C　关于Hilbert不等式

参考文献

读者评价：

绝对的经典！数学背景强的朋友会觉得痛快淋漓！

对不等式又有了更进一步的认识

世界经典教材

经典中的经典,翻译得也很好,极力推荐!

虽然还没有认真读，从书的目录中就已经感觉到该书的内力了。希望以后能够静下心把这本书读完，虽然这还是相当有挑战性的一件事。

不等式的经典之作！

内容比较全，就是比较难懂，估计需要很多知识基础。

总的来说，这本书还是不错的。三位大师讲的是不等式而非不等式之应用。不等式是属于纯数学的东西

不等式的应用很全面，数学、经济各个方面都有讲解。不愧是经典。书的印制也很好。

实系数六大定理相互证明（最详细版本，值得收藏）

■ END ■

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Hardy-Littlewood-Polya 著《不等式》

第1章 导论

1.1 有限的、无限的、积分的不等式

1.2 记号

1.3 正不等式

1.4 齐次不等式

1.5 代数不等式的公理基础

1.6 可比较的函数

1.7 证明的选择

1.8 主题的选择

第2章 初等平均值

2.1 常用平均

2.2 加权平均

2.3 Mr（a）的极限情形

2.4 Cauchy不等式

2.5 算术平均定理和几何平均定理

2.6 平均值定理的其他证明

2.7 Holder 不等式及其推广

2.8 Holder不等式及其推广（续）

2.9 平均值Mr（a）的一般性质

2.10 和数Sr（a）

2.11 Minkowski不等式

2.12 Minkowski不等式的伴随不等式

2.13 诸基本不等式的解说和应用

2.14 诸基本不等式的归纳证明

2.15 与定理37有关的初等不等式

2.16 定理3的初等证明

2.17 Tchebychef不等式

2.18 Muirhead定理

2.19 Muirhead定理的证明

2.20 两个备择定理

2.21 关于对称平均的其他定理

2.22 n个正数的初等对称函数

2.23 关于定型的一点说明

2.24 关于严格正型的一个定理

2.25 各种定理及特例

第3章 关于任意函数的平均，凸函数论

3.1 定义

3.2 等价平均

3.3 平均Mr的特征性质

3.4 可比较性

3.5 凸函数

3.6 连续凸函数

3.7 关于凸函数的另一个定义

3.8 诸基本不等式中的等号

3.9 定理85的改述和推广

3.10 二阶可微的凸函数

3.11 二阶可微的凸函数的性质的应用

3.12 多元凸函数

3.13 Holder不等式的推广

3.14 关于单调函数的一些定理

3.15 关于任意函数的和数：Jensen不等式的推广

3.16 Minkowski不等式的推广

3.17 集合的比较

3.18 凸函数的一般性质

3.19 连续凸函数的其他性质

3.20 不连续的凸函数

3.21 各种定理及特例

第4章 微积分学的若干应用

4.1 导引

4.2 中值定理的应用

4.3 初等微分学的进一步应用

4.4 一元函数的极大和极小

4.5 Taylor级数的使用

4.6 多元函数的极大极小理论的应用

4.7 级数与积分的比较

4.8 W.H.Young的一个不等式

第5章 无穷级数

第6章 积分

第7章 变分法的一些应用

第8章 关于双线性形式和多线性形式的一些定理

第9章 Hilbert不等式及其类似情形和推广

第10章 重新排列

附录A 关于严格正型