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他是最具影响力的华人数学家之一，在中国却鲜为人知
作者 | 王辉（西北大学数学系）
来源 | 返朴（ID:fanpu2019），本文原载于《自然辩证法通讯》2000年第2期，责任编辑李克敏，原标题为《周炜良：一位极富创见且涉猎广泛的数学家》
在代数几何的现代史上，周炜良（1911-1995）是一个无法抹去的名字，他在数学史上留下了许多以他名字命名的概念、定理。陈省身、华罗庚和丘成桐都认为他的贡献非常重要。但作为华人数学家，他并不为中国公众所熟知，甚至中国数学界的一些学者也对他没有深刻了解。对于原因，华人数学家季理真认为，他好像没有像其他的人那样很会推销自己的工作，跟大家分享。
杨振宁的看法则是，“我想他因为没有学生，他这个人的个性太……”
杨振宁在访谈录中谈到周炜良时说，“他在代数几何是有奠基性的工作。我想他的贡献，事实上我觉得年轻的中国血统的数学家应该写些文章，把这个讲得更清楚一点。”
本文简要介绍了他的家世、生平与个人爱好，重点评述他对现代代数几何学的伟大贡献与影响。
周炜良，一个代数几何的现代史上无法抹去的名字，一个代数几何的研究者无法避开的名字。由于少有巨大的荣誉加之其上，所以它并不为中国的平常百姓，甚至数学界的一些学者所深刻了解，然而它所代表的数学成就并不会因此而受到忽视，这个名字自在的荣誉已远远超出了其主人应得的任何奖励。
周炜良（Wei-liang Chow，1911-1995）
家世与生平
周炜良的祖父周学海（1856-1906），在36岁时得中进士，补扬州府同知，主司河防事务。后因业绩卓著，迁浙江后补道员。为官期间，周学海好读医书，潜心研究，终于成就为一代名医，并编著有三集本《周氏医学丛书》。
周炜良的父亲周达（1879-1949），字美权，数学家、社会活动家、资本家和邮学家。周达青年时期生活于扬州，创办有我国最早的数学学术团体一一知新算会。周达曾两次访日，并被日本东京帝国大学数学物理学会选为会员。辛亥革命前后，周达迁居上海，开办实业，并积极从事科学活动，是中国数学会的创建者和赞助人之一。他还以“周今觉”而闻名于邮学界，世称“邮票大王”。[1]
周炜良于1911年10月1日出生于上海，为周达的幼子，排行第三。他自小随父在上海长大。由于周家具有丰厚的财力，可以延请家庭教师，因而周炜良根本用不着去学校读书，而只要在家中便可接受必要的科学和文化教育。通过家庭教师的辅导，周炜良很快熟悉了中国的语言和历史文化。在父亲的影响下，周炜良对于数学也是情有独钟。得益于家族开明的观念，周炜良于1928年初踏上了留美之路。先后在肯塔基州的阿斯伯里大学（Asbury University，原Asbury College）和肯塔基大学学习政治与经济。但是他很快发现自己也许更适合于学习数学，于是在次年转入芝加哥大学（The University of Chicago）选修数学课程，并于1931年在该校取得学士学位，次年获硕士学位。
为了在数学方面得以发展并有所建树，从芝加哥大学毕业后的第二年，周炜良去了哥廷根（Göttingen）一一当时世界上最大的数学研究中心之一。然而不幸的是，在那段时间里，德国所发生的一些政治事件严重影响了他在哥廷根的居留。但是他并没有就此放弃追求数学真理的初衷，而是改道莱比锡（Leipzig），去追随数学大师范德瓦尔登（Bartel Leendert van der Waerden），从而在1933年成了一名莱比锡大学的学生。
由于受德国的政治环境所影响，哥廷根的数学中心地位在那时已经开始衰落，代之而起的是另一座城市——汉堡（Hamburg）。“讲座十分精彩、兴趣相当广泛”的年轻教授阿廷（Emil Artin）便是这个新兴数学中心最具魅力的代表人物之一。为了向阿廷请教和学习，周炜良曾一度生活在汉堡，当然，这是德国的大学体制所容许的。
在汉堡的岁月里，周炜良结识了两位对自己一生十分重要的人物。其一是当时刚刚留学来德的陈省身，两人自此结成知交。陈省身是周炜良婚礼上受邀的唯一中国宾客。其二是一位年轻的女士玛格特·维克多（Margot Victor），两人于1936年7月结成连理，并相伴终生。
1936年夏，周炜良在莱比锡大学获得博士学位，随后便携带新婚妻子一起回到了阔别多年的祖国，开始在当时的中央大学（南京）任数学教授。然而时不足一年，卢沟桥发生事变，中国自此沦入战争之中。无奈，周炜良只好回到上海，赋闲在家。1937年之后的上海，充满了血腥与屠杀。由于连年战事，周炜良不得已逐渐停止了数学研究工作，但他与生俱来的数学天赋和后天修得的数学功底并没有就此磨灭。
抗战胜利后的1946年，周炜良与陈省身在上海重逢。在陈省身的鼓励与帮助下，周炜良的数学生命很快便获得了奇迹般的再生。他先是应同济大学之聘担任了一年数学教授，1947年3月，又应普林斯顿高等研究院（IAS）之邀，往美国从事数学研究工作。继之在 1948年秋，受聘于约翰斯·霍普金斯大学（Johns Hopkins University）。在霍普金斯周炜良担任了十多年（1955-1966）的系主任之职，负责霍普金斯出版的美国最悠久的数学刊物——《美国数学杂志》（American Journal of Mathematics），同时着手创建了霍普金斯代数几何学派，吸引了众多的数学名家来此从事研究或访学，其中包括井草准一（Jun-Ichi Igusa）、萨卜森（Joseph. H. Sampson）、沃史尼泽尔（Gerard Washnitzer）、德沃克（Bernard. M. Dwork） 、阿布罕克（Shreeram. S. Abhyanker）和韦伊（André Weil)、扎里斯基（Oscar Zariski）、兰格（Serge Lang)、小平邦彦（Kunihiko Kodaira）等。格罗滕迪克（Alexander Grothendieck）和其他人赞许地将周炜良领导的这个学派与扎里斯基领导的哈佛代数几何学派相提并论。
1977年，周炜良在霍普金斯退休，成为荣誉退休教授。其后便过起一种简朴、恬静的生活，偶尔也应邀参加一些大型的社交聚会，间或在自己喜欢的餐馆约请几位朋友聊天。周炜良和玛格特·维克多有三个女儿，他们拥有一个幸福美满的家庭。
1995年8月10日凌晨2时许他平静地逝去，留下了人们对他永久的怀念。[2, 3]
工具与方法
周炜良在对数学的研究过程中，为代数几何的诸多领域创造性地提供了不少十分有用的数学工具与数学方法。其中最值得提及的是周型（Chow forms）与周坐标（Chow coordinates）。周型与周坐标的创立是周炜良于 1937 年在德国完成的，这是他在数学方面的第一件工作，也是他最有影响的工作。
在他与范德瓦尔登合作的一篇论文中[4]，周炜良给出了周型的构造。设射影空间的一个退化的子空间 U 与一个给定的 d次 m 维族Z相交，其d个交点的坐标是U的格拉斯曼（Grassmann）坐标的代数函数。通过选取该代数函数的一个对称函数，可以得到一个齐次多项式，这就是Z的周型。周型的系数即是周坐标。
可以看出，周坐标是格拉斯曼坐标的自然推广。某高维向量空间的一个子空间可以由一个相关阶的矩阵来刻画。该矩阵的子阵中阶数与子空间维数相同的方阵便构成了子空间的格拉斯曼坐标。格拉斯曼坐标给出了格拉斯曼簇在射影空间中的一个嵌入。现在，如果想研究某向量空间的某维射影子空间中给定次给定维的簇系统，就必须用周坐标来代替格拉斯曼坐标。
周型与周坐标具有十分广泛的用途。它曾一直是周炜良进行代数几何，特别是代数簇相关研究的有力工具。后来，在五十年代初期，周炜良把周坐标用于生成除子的最小定义域[5]，并在给出局部分析等价性标准后，用周型来研究代数簇[6]。在1952年的一篇论文中[7]，周炜良应用他的周型，补充了皮卡簇的井草准一超越构造。五十年代后期，周又用周型简化了扎里斯基关于连通性的证明[8, 9]。
由于周型具有优越的构造性，故此周坐标对于研究普通代数几何、阿拉克洛夫（Arakelov）理论以及丢番图帖合（diophantine applications）都具有重要的作用。基于周坐标所定义的簇高，可以与兰格、奈龙（André Néron）、菲力彭（P. Phiippon）等通过内蕴非射影方法构造的其它高相比较。周坐标在阿拉克洛夫理论中被王斌（Bin Wang）所深入运用。另外，周坐标还被陈省身、韦廷哥尔（Wirtinger）用来证明阿贝尔定理逆命题的李（Lie）猜想。
周环（Chow ring）是代数几何中的又一重要的工具与方法。在1956年，周定义了代数簇上闭链间的有理等价概念，并为这些类定义了交叉积，这样便可得到周环[10]。周环是一种具有单位元的、结合的、交换的代数结构。周环具有很好的函子性质，即在两代数簇之间存在一种模射，使一个中闭链的原象也是另一个中的闭链，并且此运算与相截和有理等价性都能够相容。
相交理论是代数几何中一个基本问题，周环在研究这一问题时，表现出许多优点，故而得到广泛应用。在拓扑学中，相交理论对于同调环成立。而周环之于代数几何正如同调环之于拓扑学。如同其拓扑对应一样，周环已被证明在代数几何中是基本的。周环常被用以导出陈（省身）类进而证明各种黎曼-罗赫（Riemann-Roch）定理。使用周环，甚至可以解决著名的韦伊猜想。
周炜良在阿贝尔簇代数系统理论方面所创造的概念及思想方法也具有深远的影响。他1955年的两篇论文[11, 12]深入研究了阿贝尔簇中不依赖于参数变化的部分，并将其明确定义为不变部（fixed part），这一概念势必要被其他人在关于阿贝尔簇的进一步研究中多次使用。概念提出后的第四年，兰格与奈龙证明了定义在函数域 K 上的一个阿贝尔簇 A，它在 K 中的有理点群以不变部为模是有限生成的。这是莫德尔-韦伊定理（Mordel-Weil theorem）的一个相应形式。
周炜良在 1955 年的这两篇论文还给出了定义在k的扩张域上的阿贝尔簇能够定义在域k自身上的条件。周炜良的这一思想启发了兰格，很快便被兰格推广，从而所有的簇都被给出这样一个标准，而不仅仅局限于阿贝尔簇。
理论与进展
首先，必须提到的是，在解析对象的代数性方面，周投入了较多的精力，并取得了突出的成就。其中最有名，影响最大的是关于射影空间解析簇的周定理。正是由于该定理，以及前边讲到的周坐标，使他成为一个数学界众所周知的人物。
假定讨论的基本域是复数域，射影空间解析簇的周定理指出，射影空间中复解析子簇实际上是代数簇，而且所有闭解析子簇间的半纯映射一定是有理映射。有关该定理的论文于1949年发表在《美国数学杂志》第 71 卷上[13]。这是对刘维尔定理（Liouville's theorem）的一个绝妙的推广，而后者本身又是所谓代数基本定理（Fundamental theorem of algebra）的推广。周炜良对该定理的原始证明基于来自代数数论的思想。定理揭示了代数几何与代数数论彼此之间的类似之处。
射影空间解析簇的周定理还反映了由局部性质向整体性质过渡的深刻结论，在代数几何学领域倍受重视，成为一些学者发展新理论的出发点。1969 年，周炜良再次回到类似问题上，在齐次簇的关系中证明了亚纯映射是代数映射[14]。1986 年周炜良将这一理论推广到了任意基本域上的抽象情形，终于完成了完善这一理论的关键性工作。[15]
其次，值得介绍的是，在环上的代数几何方面周炜良作出了不少开创性的工作。五十年代后期，由于研究代数簇或解析簇的需要，加之来自数论的推动力，域上的代数几何开始向各种环上的代数几何扩展，如研究局部戴德金环（Dedekind ring）、p-进环和更完备的诺特局部环（Noetherian local ring）。周从几个方面对此扩展作出了贡献。
1958年，周炜良将贝尔蒂尼定理推广到局部整环[16]，从而为代数簇局部基群的研究铺平了道路。1959年周炜良推广了扎里斯基连通性定理并简化了其证明[9]。扎里斯基根据自己提出的全纯函数的代数理论，证明了连通代数集特定化的一般连通性定理。周炜良则只用到些更为简单的代数几何技巧特别是周型，便证明了连通性定理在任意完备的诺特局部整环上的一个推广。用以界定射影簇的齐次理想是非混合的，如果它没有嵌入素除子。1964年，周证明了在适当的一般性条件下的环合并中，两个非混合理想的塞格尔（Segre）乘积仍是非混合的[17]。早在1952年周炜良与兰格合作，证明了亏格大于等于1的曲线模型和在非退化归约下离散赋值环上的阿贝尔簇模型的唯一性[18]。1958年周炜良同井草准一合作，证明了在相当广泛的一类诺特局部整环上的上同调的上半连续性[19]。
此外，在齐次空间的研究方面，周炜良也取得了一些鲜为人知的成就。关于齐次空间的射影嵌入，周炜良将阿贝尔簇射影嵌入的莱夫谢茨-韦伊（Lefschetz-weil）证明拓展到了任意群簇上齐次空间的情形，从而唤起了人们对射影构造的兴趣[20]。周炜良还有一篇论文涉及到齐次空间的几何学[21]。该文的主要目的在于用几何性质来描述群的特性，其中有一条典型的定理说：极系空间的任何双射保近变换连同自身皆属于基群的一个变换，只要空间的阶大于 1。论文考虑了双有理几何。在这篇论文中，周炜良通过巧妙地计算来处理所谓矩阵射影几何，他的论述可以推广到更为一般的情况。阿廷称其为射影几何最精彩的进展之一。1986 年退休之后的周炜良还在《数学发明》（Inventiones Mathematicae）上发表了一篇名为“齐次空间上的形式函数”的论文[22]。
需要说明的是，周炜良的代数几何工作远不止这些，他在关于辫群、族的基群、有理剖分、簇的实迹等研究方面，也都有所论述，并不乏创造与贡献。
最后，不可不提的是，1939 年，抗战爆发不久，周炜良在国内极其艰苦的条件下，所完成的一篇关于一阶线性偏微分方程组的论文[23]。该论文推广了关于热力学基础的卡拉西奥多里（C. Carathéodory）定理，建立了一条微分系统的可达性定理。论文实际阐明了一个向量场集合的积分子流形与其生成的李代数的积分子流形的等价性。这已被广泛认作是非线性控制论中的周定理，并且成为研究非线性系统中可控性问题的基础，在控制论中具有十分重要的作用。
性情与爱好
陈省身曾在扎里斯基的支持下提名他为美国国家科学院院士，但由于他对此表现得并不十分积极，故而最后也便没有什么结果。1959 年，他被选为台湾中央研究院院士，但他也从未参加过研究院的任何活动。1955 年，霍普金斯大学曾力邀他接替数学系主任之职。他起初无心接受，只是在后来获准只在下午去系里，并可以主要通过电话而不是信件来处理系里的事务时，才答应就任。
周炜良虽然不喜交往，但面对亲近且熟悉的朋友，却十分友善健谈。1957 年夏，缅因（Maine）的中国湖（China Lake）畔，他曾与阿布罕克彻夜长谈中国和印度文化的比较。自幼在家中所受的传统教育，使他对于中国文化颇有修养。由于阿布罕克那时正在练习瑜伽功，因此他们还共同风趣地讨论做瑜伽和研究数学哪个更好。在一些更为随意与亲切的场合，他还向朋友们谈起他于三、四十年代在国内的生活情况，有时也谈论一些子女教育问题。周炜良虽然十分支持约翰逊大社会方案（Johnson's Great Society Program），但他的家庭观念却十分传统。对于小女儿放弃职业律师的职务，而专心操持家务的做法，他十分赞同。
在学术研究与交流方面，周炜良更是自由开放、谦逊和蔼。在他所领导的霍普金斯代数几何研究群体中，周炜良算是一位资历较深的年长者，但是他却能平等地与每一位研究者交流，大家都把他当知心朋友看待。他甚至常常将自己尚处于朦胧状态的数学思想方法公开坦露给其他研究者，以期引起共同的讨论。朋友们亲眼目睹他如何把这些朦胧的想法升华为漂亮的定理，都被他开阔的思路和绝妙的几何直觉所折服。
周炜良不仅是一位伟大的数学家，而且具有十分广泛的爱好。首先，从一定程度上来讲他可以算是一位华邮权威，他在集邮方面还曾出过一本书。据井草准一回忆，周炜良作为一个邮迷，不仅在数学家，而且在专业集邮者中都广为人知。周炜良对于集邮的爱好，显然是受到了父亲周达的影响。1923 年的一个秋天，周炜良小病住进了一家医院，为了排解寂寞，父亲在医院附近的一家花摊上买下一包杂色邮票送给他玩。从此父子两人都迷上了集邮。其次，周炜良对于建筑设计也十分专长。五十年代后期，居住在麦迪伍德大道（Midwood Avenue）的他曾设想自己建造一所房屋。他四处观察，买好了地皮，精心设计，绘好了图纸，但却始终没能找到一家愿意与他合作的建筑公司，因为任何一个建筑公司都不可能与一个比他们对建筑更了解的客户签约[2]。
附录：周炜良论著目录见
Yujiro Kawamata, Vyacheslav V. Shokurov, Birational Algebraic Geometry, Contemporary Mathematics, 207, 1997.
https://www.ams.org/books/conm/207/conm207-endmatter.pdf
注
[注1] 除本文提及的周馥、周学海、周达（明达）、周炜良外，周氏家族还培养出了许多名人和学者。如周学熙（1866-1947），我国近代北方财界的实业界的代表人物；周叔弢（1891-1984），我现代著名政治家、实业家、收藏家，曾任天津市副市长，全国政协、人大常委；周明泰（字志辅，1986-1994)，我国戏曲史专家，40年代末移居美国；周明焯（字志俊，1898-1990），我国近代著名实业家，曾任青岛市政协副主席、山东省政协副主席和全国政协委员；周煦良（1905-1984）我国著名的外国文学翻译家，早年留学英国，1932 年获爱丁堡大学文学硕士学位，回国后先后任暨南大学、四川大学、上海光华大学、武汉大学、华东师范大师和北京大学教授，曾担任过上海作家协会书记。[1]参考文献
[1] 胡炳生. 周达的家世和业绩述略, 中国科技史料, 15(1), 1994: 22-28.
[2] W. Stephen Wilson, Organizer S. S. Chem, Shreeram S. Abhyankar, Serge Lang, Jun-ichi Igusa, Wei-liang Chow , Notices of the American mathematical Society, Volume 43, Number 10, October 1996. pp.1117-1124.
[3] 张奠宙, 周炜良. 中国现代科学家传记(第四集), 科学出版社, 1993: 27-35.
[4] Wei-liang Chow and Van der Waerden, Zur algebraische Geometry IX, Math. Ann.113, 1937, pp.692-704.
[5] Wei-liang Chow, On the defining field of a divisor in an algebraic variety , Proc. Amer. Math. Soc. I. No.6,1950, pp.797-799.
[6] Wei-liang Chow, algebraic systems of positive cycles in an algebraic variety, Amer. J. Math.72, No.2 1995, pp.247-283.
[7] Wei-liang Chow, On picard varieties, Amer. J. Math.74, No.4, 1952, pp.895–909.
[8] Wei-liang Chow, On the principle of degeneration in algebraic geometry, Ann. Math. 66, 1957, P70-79.
[9] Wei-liang Chow, On the connectedness theorem in algebraic geometry, Amer. J. Math. 81, No.4, 1959. pp.1033-1074
[10] Wei-liang Chow, On equivalence classes of cycles in an algebraic variety, Ann. Math. 64, No.3, 1956, pp.450-479.
[11] Wei-liang Chow, On abelian varieties over function fields, Proc. Nat. Acad. Sci. 41, 1955, pp.582-586.
[12] Wei-liang Chow, Abelian varieties over function fields, Trans. Amer. Math. Soc. 78, 1955, pp.253-275.
[13] Wei-liang Chow, On compact complex analytic varieties , Amer. J. Math. 71, No.4, 1949, pp.893-914.
[14] Wei-liang Chow, On meromorphic maps of algebraic varieties, Ann. Math. 89. No.2. 1969, P391-403.
[15] Wei-liang Chow, Formal functions on homogeneous spaces, Invent. Math. 86, 1986, pp.115-130.
[16] Wei-liang Chow, On the theorem of Bertini for local domains, Proc. Nat. Acad. Sci. 44, No.6, 1958, pp.580-584.
[17] Wei-liang Chow, On the unmixedness theorem, Amer. J. Math. 86, 1964, pp.799-822.
[18] Wei-liang Chow, S. Lang: On the birational equivalence of curves under specialization, Amer.J. Math. 79, 1952, pp.649-652.
[19] Wei-liang Chow, J. Igusa: Cohomology theory of varieties over rings, Proc. Nat. Acad. Sci. 44, No.12, 1958, pp.1244-1248.
[20] Wei-liang Chow: On the projective embedding of homogeneous spaces, Lefschetz conference volume, Algebraic Geometry and Topology, Princeton University Press, p.1975.
[21] Wei-Liang Chow: On the geometry of algebraic homogeneous spaces, Ann. Math. 50, no.1, 1949, 32-67.
[22] Wei-liang Chow, Formal functions on homogeneous spaces, Ivent. Math. 86, 1986, pp.115-130.
[23] Wei-liang Chow, Über systemen von linearen partiellen Differentialgleichungenerster Ordnung: Math. Ann. 117, 1939, pp.98-108.
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