九上尖子生培优系列(59) ——正多边形与圆(4)

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【例题】已知多边形ABDEC是由边长为2的等边三角形ABC和正方形BDEC组成，一圆过A、D、E三点，求该圆半径的长．

【分析】由于D、E在圆O上，DE为弦（长为2），显然与弦相关、与对称相关的问题容易想到垂径定理，因此可过A点作AF⊥BC，垂足为F，并延长交DE于G点．根据圆的对称性，则圆心必定在AH上．设其圆心是O，连接OD，OE．如下图示：

       设⊙O的半径为R，根据等边三角形的性质和正方形的性质，不难得到（如下图示）：

在Rt△ODG中，OG²+DG²=OD²．

即（2+﹣R）²+1²=R²．解得R=2．

所以该圆的半径长为2．

【反思】由条件（已知弦）联想到垂径定理，得到相应的辅助线，再利用等边三角形的性质、正方形的性质以及勾股定理进行求解．

【练习】已知多边形ABEFGHCD是由边长为2的正方形ABCD和正六边形BEFGHC组成，一圆过A、D、F、G四点，求该圆半径的长（取根号3＝1.73，精确到0.1）．（答案下期找）

【上期答案】

【原题呈现】如图，已知在⊙O中，直径MN=10，正方形ABCD的四个顶点分别在⊙O及半径OM、OP上，并且∠POM=90°，求AB的长．

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