矩形与动态问题（4）——中考备考系列[尖子生之路]
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矩形与动态问题（4）
——中考备考系列
【试题11】如图，在矩形纸片ABCD中，已知AB=1，BC=根号3，点E在边CD上移动，连接AE，将多边形ABCE沿直线AE翻折，得到多边形AB′C′E，点B、C的对应点分别为点B′、C′．
（1）当B′C′恰好经过点D时（如图1），求线段CE的长；
（2）若B′C′分别交边AD，CD于点F，G，且∠DAE=22.5°（如图2），求△DFG的面积；
（3）在点E从点C移动到点D的过程中，求点C′运动的路径长．
【图文解析】
（1）如下图示，根据对称性和勾股定理，可得到：
同时，不难证得∠1＝∠2（充分利用∠ADC＝900），根据三角函数的定义，可得：cos∠1＝C’E:DE=B’D：AD＝cos∠2.即：
伴随着点E的运动，相应的点B’和C’的位置及相关的线段均发生变化，但“动中有静”，很显然A、D点的位置没有发生变化，相应地与之相关联的线段的长度（如：AC’、AB’、C’B’）并没有发生变化.如下图示，
对比之下，显然AC’的长度不变是解决本题的关键，根据圆的定义（到定点距离等于定长……），不难得到点C’的路径为一段圆弧。
如下图示，
【反思】解题的关键是通过三角函数的定义或相似解决问题，构建方程的思想思考问题．
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【试题12】如图，在平面直角坐标系中，O为原点，四边形ABCO是矩形，点A，C的坐标分别是A（0，2）和C（2×根号3，0），点D是对角线AC上一动点（不与A，C重合），连结BD，作DE⊥DB，交x轴于点E，以线段DE，DB为邻边作矩形BDEF．
（1）填空：点B的坐标为 ；
（2）是否存在这样的点D，使得△DEC是等腰三角形？若存在，请求出AD的长度；若不存在，请说明理由；
（3）①求证：DE：DB＝根号3：3；
②设AD=x，矩形BDEF的面积为y，求y关于x的函数关系式（可利用①的结论），并求出y的最小值．
【图文解析】
（注：本题的解题思路和各种解法与“2017年福建中考倒二”几乎相同，此文主要从“旋转相似”的一个侧面解析此题，不再详细解析，只能给出一种解法和思路，有兴趣的朋友，可直接“点击标题打开”查看，本文主要是以构造 “辅助圆”的思路解析此题。）
（1）简析：如下图示，
（2）解法多种，主要讲解构造“辅助圆”来解，根据∠BDE＝∠BCE＝90°同在四边形BDEC中，易联想到“四点共圆”：取BE的中点K，连接DK和CK，根据“直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半”可得：CK＝DK＝EK＝BK＝0.5BE，所以：
由圆周角定理，可得∠1＝∠2.
同时，在Rt△AOC中，tan∠3＝OA/OC＝…＝根号3/3，得∠3＝30°.
下面分不种情况解析：何时△DEC是等腰三角形.
①当DE＝DC时，如下图示，可得到：
③DE与DC不可能相等，如下图示：
综上所述，存在点D的点符合△DCE为等腰三角形，满足条件的AD的值为2或2倍的根号3．
（3）先考虑特殊情况：当BD⊥AC时，如下图示，不难得到∠DBE=30°，从而DE：DB＝tan∠DBE=根号3：3.
①法一：如下图示，由前面分析得到的结论，易证△BDM∽△BEC，从而BD：DE=BM：BC=tan∠CBM=tan30°=根号3：3.
法二：如下图示，
易证△DBE∽△ABC，得到DE：DB=BC：AB=…….
②由上述法二得，△DBE∽△ABC，再由相似的性质，知：
【反思】本题也是典型的“旋转(平移)相似”试题，找出其中相关的相似和比例关系是解题的关键。
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