做一题，归一类，得一法（九）——利用函数的对称性，巧解函数题

写在前面：函数问题是高中数学最重要的一个知识板块，是高考重点考察的一个内容，主要围绕函数的定义、图像及相关性质及应用等方面的问题来展开研究，而这些研究又都是从最基本的初等函数作为切入点来进行的。学习函数，就像与人打交道一样，做题之前要先研究函数的性质，并能有效利用相关性质去就解决问题，以简化求解过程，避免不必要的麻烦，所以学习函数知识以及做函数题目时，务必要分析函数的性质，本着定义域优先考虑的原则，在定义域的基础上，进一步研究函数的单调性，奇偶性，对称性，周期性，渐近线，凹凸性，极值、最值等，同时，也要结合图像进行分析加强直观性，有效渗透数形结合思想。下面就从前段时间解决群友分享的两个问题谈起，欢迎批评指正。

一、题目呈现

【注明】以上是原参考解答，见到这个题，从做法上看，给我的第一印象是这个小题不小，这里面一定有某种性质可以利用，于是引起我的兴趣，我想，平行四边形有对称性（中心对称），那么函数必有一种对称性，循着这个想法，我便有了下面的解法，供参考，本解答已汇编到《高中数学试卷汇编群》6月压轴小题解析中。

【注明】此题来自《全国名校试题分享研讨群》，记得当时在群里看到这个题时，正在外面，不方便书写解题步骤，出于热心，我感觉此题是公切线问题，于是，给群友说出我的想法，“此题属于公切线，分别设切点，利用斜率相等、截距相等”这种常规解法，并附上一个类似题的解法，殊不知，群友也知道这个想法，但计算无法进行下去，过后不久，另一个群友给出解答，他利用了两个函数存在一种对称性，算是巧妙，可谓：“看得准，下手狠”，具体解法如下：

【评注】此法很好地利用了两个函数的对称关系，处理起来简捷自然，解题本应如此。那么用常规思路能否进行下去呢？到家我尝试着做下出，便有如下解答：

二、知识归纳

三、方法再现

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