李尚志教授：核心素养渗透数学课程教学

数学建模是对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题、用数学知识与方法构建模型解决问题的过程。主要包括：在实际情境中从数学的视角发现问题、提出问题，分析问题、构建模型，求解结论，验证结果并改进模型，最终解决实际问题。数学模型构建了数学与外部世界的桥梁，是数学应用的重要形式。数学建模是应用数学解决实际问题的基本手段，也是推动数学发展的动力。

这一条说的是数学的去向：解决实际问题。要用数学来解决实际问题，就需要将实际问题转化为数学问题，然后才能用数学中的现成工具和算法来解决。数学建模的任务就是让数学的威力可以到达现实世界，是沟通数学与现实世界的桥梁。不仅是实际问题，即使是数学自身提出的理论问题，也需要用现成的数学工具来解决这些不现成的理论问题。得到的结论如果可以广泛应用，就成为新的理论。用现成工具解决不现成问题，这就是数学建模。

既然数学建模是桥梁，就要看它沟通哪两岸。彼岸是需要解决的问题，此岸是解决问题需要的工具。另外三项核心素养就是提供工具：

4.直观想象: 借助几何直观和空间想象感知事物的形态与变化，利用图形理解和解决数学问题。

5.数学运算: 依据运算法则解决数学问题。

6.数据分析: 针对研究对象获得相关数据，运用统计方法对数据中的有用信息进行分析和推断，形成知识。提升数据处理的能力，增强基于数据表达现实问题的意识，养成通过数据思考问题的习惯。

直观想象，数学运算，数据分析都是基本功，解决问题的基本工具和基本武器。就好比关羽的大刀，张飞的长矛。现在，批评“应试教育”成为一种时髦，不过批评都是口头上的，行动上却都做得很起劲。其实， “应试教育”有一个重要功劳不能抹杀，那就是重视基本功的训练，也就是重视这三条核心素养的培养。

一方面是因为应试离不了这三条核心素养，另一方面是因为教师容易操作，哪怕教师自己没有记熟背熟，只要督促学生死记硬背勤学苦练，也能出效果。有点象巴甫洛夫训练狗，只要多次重复就形成条件反射。也象中国古话说的“熟读唐诗三百首，不会做诗也会吟。”

严格说起来，这样培养出来的对基本功的熟练只达到这三条核心素养的一半，或者只有一小半，只记住了数学运算和数据分析的现成法则，现成的几何图形的形状，而这三条核心素养都还要求利用这些现成法则来解决问题，那就不是巴甫洛夫的条件反射或熟读唐诗三百首所能达到的了。不过，要用现成法则解决不现成的问题，其实是数学建模这条核心素养的要求。现成法则是有限多，可以通过强化训练让学生全部记住，这就算是学会了。但用要用现成法则解决不现成的问题，却无论怎么训练也不可能把学生教会，其实老师自己也没有学会。这是因为，不现成的问题有无穷多，不管是考试的问题，还是现实生活和工作中需要解决的问题，都有无穷多，没有固定的方法，不可能把它们全部找出来，已经找出来的也不可能靠死记硬背掌握。

正如围棋的棋经所说的“始以正合，终以奇胜”，学围棋先学规则，规则很简单，围棋开局还有一些定式可以背熟并在开局时依样画葫芦加以应用，这就是始以正合”，类似于老师训练学生掌握基本运算法则。但是只记住了定式并不能赢棋，后面的走法就没有葫芦可以照着画，只能自己自由发挥，这就是“终以奇胜”。为了提高下棋水平，你可以学习别人的经验，可以看棋谱。但在下棋的时候决不可能把棋谱当成葫芦来照着画，按照棋谱来走棋。因为每一局棋都是新的，不可能照着走。棋谱只是起示范和参考作用，至于你能够参考到多少，那就没有一定之规，看各人的悟性了。

“世事如棋局局新”，数学建模也是这样，用现成的知识解决不现成的问题，不现成的问题也是“局局新”，只能“ 终以奇胜”，谁也把你教不会。书上的案例，老师的讲解，也只是棋谱，只能起示范和参考作用，你能从中学到多少，只能“师傅领进门，修行靠各人。”

所以，我认为核心素养不是颠覆和取代“应试教育”，正如诸葛亮不能取代关羽张飞，而是指挥关羽张飞。关羽张飞离不了大刀长矛，正如“素质教育”离不了基本功的训练。而且，“应试教育”训练出来的基本功也是核心素养的组成部分。反过来，只有大刀长矛，没有人去使用，大刀长矛就只是两块铁，不能自己飞起来打仗。让阿斗或诸葛亮去使用，即使能打仗，也达不到关羽张飞的水平。同样地，只是训练了基本功，不会数学建模，不会用基本功来解决问题，考试就不能得高分，工作就不能做出好的成绩。严格说起来，数学建模不能说会还是不会，没有人完全会，大多数学生也不是完全不会，只有水平高低的差别。因此，不是要学会数学建模，而是要提高数学建模的能力和水平。

前两条核心素养是从无到有产生数学，从少到多发展数学，产生和发展的过程其实也是数学建模。得到的产品就是数学知识，组成强大的工具库供人类拿去解决新的问题。

因此，核心素养就是两件事:

1. 学习和掌握现成的知识作为工具。

2. 利用这些工具去解决新的问题。

教学案例

一、我的教学生涯: 从画五角星开始

1965年我高中毕业，看见中国科学技术大学的招生广告上华罗庚给数学系一年级本科生上课的照片，就报考了中国科学技术大学数学系，希望跟着华罗庚成为数学家。1970年大学毕业，却被分配到大巴山区去教公社小学附设初中班。我从小学中学到大学突出的优点是学习成绩好，突出的缺点是不会讲话，笨嘴拙舌。笨嘴拙舌怎么能当好教师呢？再加上山区的小孩基础差，名义上是初中班，大部分学生算1/2+1/3=2/5。这样的基础，怎么学懂初中数学？

正当我茫然无策的时候，学生的一个发现带来了柳暗花明。他们发现我有一个神奇的本事: 画五角星比他们画得好。他们画的五角星是歪的，左右两肩膀不一样高。我画的五角星不但左右对称端正，而且无论怎样旋转仍然对称。他们觉得我这个“北京来的大学生”太神奇了。我受到启发，下一节课就教画五角星。

例1. 利用圆规、直尺、量角器画五角星。

解，利用圆规画圆。再利用量角器五等分圆周: 360° ÷ 5 = 72°

利用量角器画圆心角∠AOB = 72°。在圆周上依次截取BC = AB =CD = DE。连接AC，CE，EB，BD，DA 即得五角星。

一节课45分钟，学生全学会了。

达到了什么教学效果?

(1) 学会了画五角星。

(2) 基本功: 初中几何本来就应该教学生使用圆规画圆，了解周角等于360度，使用量角器量角，等分圆周。这些都是基本功。如果一项一项分别教，枯燥无味。通过画五角星，全都学会了。培养了核心素养第4条直观想象能力，第5条数学运算能力。而且，利用简单的计算和画图工具这些现成知识解决画五角星这个实际问题，也是数学建模的一个示范案例。

(3) 真理检验标准: 五角星是否端正，不需要专家和领导来检验，每个人都可以一眼看出来，更精确的检验可以用刻度尺或圆规或量角器来度量五角星的各边长、各角的度数是否相等，人人都能检验，这就暗中颠覆了他们经验中或心目中真理由权威或权力说了算的观念，接受了一次“真理面前人人平等”，“道法自然”的教育。这也是前两条核心素养体现的观点。

(4) 数学面前人人平等: 这一节课之前，学生还认为画五角星的本领是我这个“北京来的大学生”的特殊身份特有的，对他们这些山村小孩是高不可攀的。一节课的功夫，他们就攀上来了，发现并不神秘，与身份无关，人人都可以学会。我画五星我做主，不求神仙不求人。这个小小的例子使他们爱上了数学。原因在于，数学面前人人平等，能学多少学多少，不必去搞歪门邪道。这已经超越了数学核心素养的范围，是对世界观和人生观的培养。

以上这些话不是讲给学生听的，学生只要实际上有这些收获就行了，更不能出成考试题让学生按照标准答案来回答。我把它们总结出来讲给老师听，也不是为了老师们去宣传，而是让老师们心里明白，核心素养不是另外贴的标签，而是在教学过程中自然而然“润物细无声”。

后来给学生讲了三角函数，就改为不用量角器而用刻度尺画五角星。

北京航空航天大学李尚志

摘自《数学通报》2018年第1期

内容提要

本文从画五角星谈起, 通过具体的数学教学案例, 说明核心素养不是强加于课程之外的额外负担和无病呻吟. 而应该渗透在具体数学内容的教学过程中, 成为引导学生理解和应用数学知识的指路明灯和导航仪。

续（一）：

教学案例

例2利用圆规和刻度尺画五角星。

解先利用三角函数算出圆周角∠AOB = 72° 所对的弦长AB。

如上图。弦长AB = 2 sin(1/2(∠AOB)) = 2 sin 36° ≈ 2 × 0.5878 = 1.1756。

以单位长OA = 1 为半径画圆。用圆规在刻度尺上量出长度1.1756。

在圆上依次截取AB = 1.1756 = BC = CD = DE 得到五角星各顶点，连接成五角星。

三、尺规作图画五角星

例3 ：

不用量角器，不查三角函数表，利用圆规和直尺画五角星。

分析：如果能够不查三角函数表直接算出cos 72°，就能够在单位圆的半径OA 上截取OF = cos 72°，如图2。再作OA 的垂线FB 交圆周于B得到圆心角∠AOB = 72°将平面上的向量用复数表示。五角星有一个顶点A 在正上方，我们将=(1，0)取作实数正方向上的单位向量，表示实数1

沿逆时针方向旋转90° 得到的= (0，1) 表示虚数单位i，如图2。

旋转72°得到的= (cos72°，sin72°) 表示ω=cos72°+isin72°。用ω乘1就表示将1代表的向量旋转72°，将这个旋转动作重复5次，就是用乘1，总效果是旋转72° × 5 = 360°，OA 转了一圈回到原来的位置OA。这说明

ω是方程=1 的根。它的整数次幂=cos(72°k) + isin(72°k) 满足== = 1，都是方程=1的根。取k= 0，1，2，3，4 得到5个不同的根，它们代表的点A;B;C;D;E 就是所要作的五角星的5个顶点。

将旋转90° 用字母i表示，得到了 = −1，这是利用旋转模型引入新的数学概念，是数学抽象。同样利用旋转模型，得到了代表旋转72° 的复数

ω=cos72°+isin72°，进而得到了 = 1。同理可以得到表示旋转任意角α的复数cosα+isinα，它的n次幂就是旋转nα，由此得到新的数学公式

四、三八二十四: 胜造七级浮屠

大家都知道“三八二十四”。可是有一个名人讲了一个三八二十三的故事，还说这代表中国文化。

故事是这样的: 某朝代，一个小痞子去买布。每匹布8元钱，他买了3匹布。按照“三八二十四”的乘法口诀，他应该付24元钱。可是小痞子不承认“三八二十四”的口诀，说应该是“三八二十三”，只承认付23元。在场一位小和尚出来打抱不平，说应该是“三八二十四”。小痞子说我们去请你师父评理。如果你师父说“三八二十四”，我就认输，我把我的头输给你。如果他说“三八二十三”，你就输了，你把你的帽子输给我。结果师父判了“三八二十三”，小痞子赢了。小和尚气愤地问师父为什么胡说八道。师父说：他输了是输一条命，你输了只输帽子。出家人慈悲为本，怎么能要他的命呢？名人讲完了这个故事，说这就代表了中国文化。我在网上查了这个故事，想看那位老和尚是那个朝代的哪位高僧。结果发现有两个版本，一个版本说的不是老和尚而是孔子。而那位见义勇为的小和尚换成了颜回。由此知道这个故事并非历史，而只是一个寓言。我让我的学生对此发表意见和感想，很多人都赞成老和尚的处理办法，说总不能为了一元钱就让一个鲜活的生命消失。我反问：为什么你们觉得如果判了24，小痞子就会死？他们惊讶地说：他们打了赌呀，打了赌就要守信用嘛。我说：小痞子连“三八二十四”这样的宇宙真理都不承认，他怎么会遵守打赌的约定呢? 这也是逻辑推理。更何况，这个赌约本来就是违法的，当初小和尚就不应该同意，老和尚也不应该同意。如果官府出面，不但不会帮助执行这个赌约，反而会把打赌的两人各打五十大板，惩罚他们违法订约之罪。为什么学生潜意识会觉得两个人订的赌约一定要遵守？是因为他们觉得两个人订的约定就必须遵守。而“三八二十四”不知道是谁订的，违反了也没人管，可以不遵守。这也是长期教育熏陶形成的中国文化: 真理只服从人，不服从客观规律。

三八二十四还是二十三，谁说了算？老和尚说了算吗？也许有人说：老和尚不是数学专家，说了不算，应该去问数学家。那就要问：足球赛的输赢该问谁？问国际足联还是问马拉多纳？其实，什么人都不用问，自己看球赛，看谁进球进得更多的，就是赢家。也就是说：不由人说了算，而由规则说了算。规则大家都懂，判断出来都一样。如果你真找到马拉多纳，他可以不回答你，而是打开电视机让你看录像。

同样地，即使你真去问老和尚，如果老和尚既有德行也有智慧，他就应该不直接告诉答案，既不说23也不说24，而是让小痞子自己去找答案。甚至也不必找答案，只要付钱就行了。小痞子不承认24 不要紧，只要承认三八，每匹布付8元钱就行了：第一匹布掏8元钱，第二匹布、第三匹布，都掏8元，付三个8元就行了，不用管它是24还是23，拿布走人。老和尚只告诉你掏三个8 元，没说是24，也没说23，按照赌约，小痞子既没输也没赢，平平安安回家去。如果非得要数，那就拿三叠钱每叠8张，一张一张数一遍，数出来是多少就是多少。老和尚不来判。只要两人都会数钱，也承认数钱的结果，自然就达成了共识。老和尚不告诉答案，只告诉寻找答案的方法— 数数。这就是授之以渔而不授之以鱼。既使数出来是24，老和尚并没有说24，也不违反赌约。

虽然老和尚判“三八二十三”既不道德也不智慧。但是“名人”说“三八二十三”是中国文化却还有几分道理。三八二十三就是随心所欲篡改真理，这确实是中国文化的一部分，而且源远流长，代表人物很多。东周有周幽王烽火戏诸侯，秦朝有赵高指鹿为马，宋朝有秦檜的莫须有，都是古代的老祖宗。也许你认为23与24只差一元钱，让一步有何不可。不过这些老祖宗却不只多付1元钱，而是让很多人丢了命。周幽王自己规定举烽火表示有敌军来犯。为了逗妃子笑却举了一次假烽火，敌人没来也举了。以为只是开个玩笑。后果却是：下次敌人真来了，举真烽火也没人相信，丢了很多条命。赵高与胡亥李斯合谋篡改始皇遗诏，杀了扶苏和蒙恬，玩了一次三八二十三。然后他们又把这个三八二十三的游戏继续玩下去，三个人之间相互杀，赵高杀了李斯和胡亥，赵高也被秦三世以同样的方式杀掉了，秦朝也灭亡了。秦檜用莫须有杀了岳飞，以后自己也变成铁像跪在岳飞面前直到现在。损失的都不止一元钱。三八二十四是一个定理，变成二十三，就是另外一个定理。定理就会反复使用，每使用一次相差1 元钱，反复使用就可以谬之千里了。那个名人为什么说“三八二十三”是中国文化？理由是坚持真理“三八二十四”会让人丢命，篡改真理的“ 三八二十三”才会救命。小痞子的故事只是子虚乌有，周幽王赵高秦檜的“ 三八二十三”可是实实在在的历史，让千百万人头落地，害了别人，也害了自己。不过，中国文化不只是“ 三八二十三八”，还有“三八二十四”。例如比干，屈原，文天祥，还有文天祥的正气歌中列举的体现天地正气的一大批人，都是宁肯丢命也要坚持“ 三八二十四”。其中有些人确实丢了命，但是他们的丹心照汗青。还有人没丢命，如文天祥正气名单中的张良，严颜，同样照汗青。

三八二十三的文化不只害了古人，而且流传至今继续害死人命。例如，野生动物园大字写明“珍爱生命禁止下车”，这也是“三八二十四”，有的牛人却偏要下车，认为谁也管不着。这也是三八二十三的信徒。人管不着，老虎却管得着，“老虎要吃人”是个定理，咬你没商量。所以，“ 三八二十四”这个口诀不仅是拿来应付考试的，也是拿来救命的。它教的核心素养就是敬畏规则，遵守规则。不是为了服从别人，而是为了保护自己。具有这样核心素养的人多一个，继承三八二十三中国文化的人少一个，被老虎咬死或者被汽车撞死的人就会少一个，数学教育的功德就多一分，胜造七级浮屠。

高中数学课标规定的第二条核心素养是“逻辑推理”，由公理推出定理。看起来小学算术没有公理，小学生也不会逻辑推理。实际上，小学算术从数数开始，数数就是算术公理，称为皮亚诺公理，挺高大上的名字。小学教学生掰手指数数，“掐指一算”，就是用算术公理进行逻辑推理。三八二十四的乘法口诀是数三个8得到的。3 + 2 = 5 也是数手指数出来的: 先伸出3 个手指，再伸2 个，摆到一起数出来是5个，这就得到了3 + 2 = 5。这也是逻辑推理。3 + 2 中的2 就是1 + 1，与3 摆到一起就是3 + (1 + 1)。数数的时候，先数完3，再把2拆成1+1，先数1 个得到4，再数1个得到5，也就是3 + (1 + 1) = (3 + 1) + 1，这就是加法的结合律。如果反过来先数2 再数3，就得到3 + 2 = 2 + 3，加法交换律。

五、字母运算：一次顶一万次

例4 在如下空格中填入适当的数，使横向和竖向四个等式都成立：

分析这不是数学考试题，而是微信群中流传的智力测验。一般人想到的方法是猜一些数放进方格去计算，能够满足条件就是成功。比如，第一行两数之和等于8，你先填入1 + 7 = 8 试验。根据各列和13，8 算出第2行两个数12， 1，但它们相减不等于6，也不能再调整。这次试验就失败了。

第一行换成2 + 6 再试，第二行应为11， 2，相减仍不等于6。又失败了。

不断地试下去。试完了第一行的所有方案1 + 7; 2 + 6; 3 + 5; 4 + 4; 5 +3; 6 + 2; 7 + 1 都失败。于是怀疑这个题无解。或者怀疑是动脑筋急转弯，就好比树上有10 只鸟，枪打掉1 只还剩几只，不但要算10 − 1，还要考虑听到枪声被吓跑了的鸟。

其实，1 + 7; 2 + 6; ……; 7 + 1 并非第一行所有的方案。题目没有规定只能填正整数不能填分数小数，也没禁止负数、无理数、分数。把它们考虑进去，有无穷多种方案可以选择。你不可能全都去试一遍。

能不能只算一次就把所有的方案一网打尽，从中找出正确的方案？

当然可以! 只要让第一行第一个数等于x，它就可以代表任何一个数。再算第一行第二数8 − x，以及第二行两个数。只算一次就把所有的方案全部算了一遍。谁对谁错，全部一目了然。算一次还不只顶一万次，顶了无穷多次。所有的答案一网打尽。

解设第一行第一数为x。由第一行之和8 得第二数为8 − x。由两列之和13，8 得第二行第一数13 − x，第二数8 − (8 − x) = x。再由两数之差6 得方程。很容易求出解。

(13 − x) − x = 6 13 − 2x = 6 2x = 13 − 6 = 7 x = 3.5

其余三个数依次为8 − x = 4.5; 13 − x = 9.5; x = 3.5。正确答案只有一个:

不难验证四个等式都成立。

本题没有要求用代数方法解答，也没有限定空格代表整数还是小数、分数、无理数还是虚数。唯一的要求是四个等式成立。你可以自己凑，凑出来就是成功。正如足球场上不管你是马拉多纳还是无名小卒，不管你用精彩动作还是难看动作踢进了球，只要没有犯规，同样都算一个进球。这是完全公平的。但是，你踢不进去，马拉多纳踢进去了，你还是输了。马拉多纳不是靠他的特殊身份赢球，而是与你公平竞争靠他的本事赢球，你不得不服。同样，本题你用算术方法凑不出答案，也没有想到答案不是整数而是小数。只要用代数方法设一个x，就把你凑过的和没凑过的方法一网打尽全部囊括进去了。你也不需要想到答案不是整数，只管按部就班地算，算出来是什么就是什么，是小数就是小数。不过你知道它不可能是无理数或多虚数，因为你的已知数都是正整数，解一元一次方程只要用到加减乘除运算，得出的答案不能保证是整数，但一定是有理数。

很多书苦口婆心宣传字母代替数的好处。这里不用宣传。你不用字母做不出来，用了字母就做出来了，好处明摆着。字母的好处是：你愚公移山一锄一锄地挖山不止永远挖不完，字母运算是神仙下凡只做一次就全部般走了。你服不服?

其实本题也可以不用字母，只用算术方法也可以做：两列和13+8 = 21是四个数之和。

两行和或差8，6 之和14，是三个数之和减去剩下一个(右下角)。

二者之差21 − 16 = 7 是右下角的数的2倍，因此右下角为7 ÷ 2 = 3.5。

然后就容易算出其他三个数。不过，这个方法需要技巧，而字母运算只要按部就班就能算出来，就象傻瓜相机，专供不想动脑筋的人用。你喜欢哪个?

用字母运算囊括无穷多个具体的数值运算，就是用抽象囊括具体，是数学抽象核心素养的一宗利器，你必须掌握。

六、运算律是代数之母

数数推出整个算术，是算术之母。字母运算，一个字母代表无穷多不同的数，没法数数了，靠什么算？靠运算律。运算律是代数的公理，推出整个代数，不仅是中学代数或大学的高等代数，而是整个代数。由运算律推出代数，这门课程叫抽象代数。

运算律，包括我们小学就熟悉的交换律，结合律，分配律。还包括0 的定义，−a 的定义。

我们最开始是由现实模型来认识0 和−a。零0 代表没有，代表不动。−a 代表与a 大小相同，方向相反

对0 和−a 的抽象刻画是用运算律。抽象的好处是适用范围更宽: 当0不是代表没有，−a 不是代表相反向量，只要运算律还成立，结论仍然成立。

0 的定义: a + 0 = a 对任何a 成立。−a 的定义: a + (−a) = 0。

0a = a 却不是公理而是定理:

由于减法是加法的逆运算，由a + 0 = a 就得a − a = 0。

由0a + 0a = (0 + 0)a = 0a 知(0a + 0a) − 0a = 0，即0a = 0。

为什么负负得正？我们已经用旋转模型解释过。现在用逻辑推理解释:

由a + (−a) = 0 不但说明了−a 是a 的相反数，也说明了a 是−a的相反数: a = −(−a)。

对任意a， b 有ab+(−a)b = [a+(−a)]b = 0b = 0，且(−a)(−b)+(−a)b =(−a)[(−b) + b] = (−a)0 = 0，因此(−a)(−b) 与ab 都是(−a)b 的相反数，因此它们相等: (−a)(−b) = −(−a)b = ab。

也可以用字母运算推理: x = −a; y = −bx + a = 0 = y + b xy = xy + a(y + b) = xy + ay + ab = (x + a)y + ab = 0y + ab = ab

如果把a; b 换成向量a，−b，加法由三角形法则定义，乘积ab 换成向量内积a·(−b)，以上三个运算律仍成立，推理过程仍然正确，结论仍然成立:

以上将向量运算翻译成几何证明，并非要求老师或学生掌握这种翻译方法，而是展示: 向量运算律并非脱离几何另外诞生的新知识，而是某些几何定理改头换面变成的。利用运算律进行向量运算，得出几何定理，其实是由运算律所代表的简单几何定理推出更多的几何定理。

很多人认为: 既然向量加法也叫加法，数乘、点乘也叫乘法，理所当然满足加法与乘法的运算律，不需再验证。另一方面，既然向量与数不同，运算定义也不同，数的运算律推出的公式就不能适用于向量，必须重新算过。

恰好相反，正因为向量与数不同，运算律是否成立必须利用几何知识重新验证。正因为向量与数有很多运算律相同，由这些运算律推出的公式就可以共同享用，不需要重新验证。

验证向量运算律并不难，费不了多大力气。验证之后的好处却很大: 数的运算律所得出的结论全部可以直接应用，并且有新的意义。例如平方公式的几何意义是余弦定理和勾股定理。

向量验证了运算律之后，不仅可以享用这些运算律推出的已有结论，还可以贡献新的结论给满足同样运算律的其它运算系统享用。

这就是柯西不等式。我们将以上论证翻译成不用向量语言的代数证明:

例7的三种证法都是针对具体实数叙述的，但这些叙述都是在图6的直角三角形的暗中指挥下写出来的。例5，例6正相反，是在向量算式指挥下写出几何证明。几何证明就得服从几何证明的规矩，不能把向量运算律照搬过去，但可以改头换面写成几何语言。代数证明则要遵照代数的规矩，把几何的想法改写成代数语言来叙述。这既是“ 他山之石可以攻玉”，也是“ 入乡随俗”。同样的道理，核心素养要指挥课堂教学，也必须入乡随俗，适应课堂教学的规律，随风潜入夜，润物细无声，才能发挥优势和威力，而不至于成为赵括的纸上谈兵。

例7的分析中选取实数x 满足勾股定理来证明柯西不等式的方法，既不依赖于几何图形，也不依赖于数值计算方法，只用运算律就推出了柯西不等式，既适用于几何向量，也适用于实数组。更进一步，不论你是什么集合V ，只要在集合中任意两个元素a; b之间定义了加减法a ± b，定义了集合元素a 与实数λ的乘法，以及集合元素a，b 的数量积a · b，满足我们熟悉的运算律，就满足由这些运算律推出的柯西不等式。

几何空间，数组空间都明确规定了其中的向量是什么，怎么做加减法，怎么做数乘和数量积，然后根据这些具体的规定验证运算律。它们都是具体的空间。具体空间虽然由不同的向量组成，运算的方式也不同，却有共同的运算律，都需要由运算律推出定理来使用。在不同空间中用同样的运算律进行同样的推理得到同样的结论，其实是重复劳动。于是它们共同成立一个服务公司，叫做抽象空间。把它们共同的运算律交给抽象空间去做共同的推理，推出的定理供各个具体空间共同享用。抽象空间不规定什么是向量，也不规定其中的向量怎样做加减法、数乘和数量积。抽象空间也不验证运算律，只规定加减法、数乘和数量积满足哪些运算律，专门负责由这些运算律推出各种结论供的具体空间使用。为什么抽象空间中的运算律不需要验证而可以强行规定? 运算律是否成立，为什么成立，是具体空间的任务。抽象空间只允许那些已经验证了运算律的具体空间称为向量空间，允许它们的运算称为加法、减法、数乘、数量积，只为它们服务。不满足运算律的集合和运算没有资格称为向量空间，运算也不能称为加法、减法、数乘、数量积。就好厨师不负责种粮食、种菜和养猪，只负责把现成的米、面、肉类、蔬菜加工成美味的食品。

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