初中数学代数部分整体性教学设计

第一个“总”，就是先作粗浅的梗概介绍，它在一定程度上为整个学习起着导航和定位作用，使学生学习始终保持着正确的路径和明确的方向。“分”就是“由薄到厚”，它是对具体知识的研究。教师要从“研究一个数学对象”的角度思考和设计教学过程，在研究对象的抽象、研究内容的确定、研究思路的构建、研究方法的引导等方面整体规划教学思路，帮助学生迁移相似问题研究策略。通过对教材知识的“深度理解”，将同一个结构单元或者是不同单元但结构类同的内容的教学过程分为“学会结构”和“运用结构”两大阶段。在“运用结构”阶段，类比“学会结构”阶段的学习经验获得研究对象，再利用类比学习方法研究各分支内容。第二个“总”就是“由厚到薄”，作精练而深刻的总结，它是在具体学习内容掌握的基础上的再次深度融合与升华，因而更为具体、深入。为此，要重视对章后“小结”的教学。在期终复习和学段总复习时，要构建每本教材和整套教材的知识结构、沟通每本教材和整套教材的知识联系。

一

从总体上把握初中代数内容

初中代数内容有4条线索：

一是数系的扩充。先把数概念扩充到有理数，再把有理数扩充到实数。

二是代数式。包括整式、分式、根式。

三是方程。从三个方向上研究方程：从一元到多元；从相等关系到不等关系；从一次到二次。

四是函数。研究一次函数和二次函数。

初中代数内容的具体知识结构如图1所示。

图1

用字母表示数，就可以把数进行抽象得到代数式，因此，完全可以类比研究数的基本套路得到研究代数式的方法。用等号把代数式连接起来就得到方程。方程与函数都是由代数式组成的。布列方程与不等式，在设定未知数之后，首先就要依据题意列出关于未知数的代数式，进而找出沟通已知数与未知数的等量关系或不等关系，建立方程与不等式。解方程或不等式的过程，要用到去括号、移项、合并同类项等变形，实际上就是实施数与式的运算。几何意义上函数与方程存着联系，令函数值等于零，从几何角度看，对应的自变量是图象与X轴交点的横坐标；从代数角度看，对应的自变量是方程的解。研究一个代数概念的基本套路是：现实背景→定义→表示→分类→性质→运算。教师在讲授每一个代数概念时，应反复强调这种研究套路，以便学生逐步掌握这种研究代数概念的“大观念”。图2给出了4条线索的关系图，从中可以看出：4条线索对应4个结构模式，而它们是相似的。

图2

二

“数”的整体性教学设计

在义务教育阶段，数系的扩充经历了如图3所示的过程，这是一个不断从下位到上位的学习过程。数系扩充的根本原因是实践的需要，而反映在数系的理论上则是发展并解决数集与数的某种运算封闭性的矛盾。

图3

从初中阶段“数”概念的学习来看，“有理数”是“学会结构”阶段，“实数”是“运用结构”阶段。“当然，初中的‘有理数’学习不是凭空的，而是基于小学的知识与方法，如果往前推，小学的‘整数’的学习是‘学会结构’阶段，中学的‘数’学习是‘运用结构’阶段，所以教师要系统理解教材，做好教学衔接，使知识有理想的‘生长点’和‘延伸点’。”在“有理数”学习中，教师要引导学生把握研究一种新数的“基本套路”：背景——概念——性质——运算——应用。具体来说，“有理数”的研究过程为：引入负数（生产、生活的实际需求与数学自身发展的需求）——有理数的概念（定义，符号表示，分类及相关概念：相反数、倒数、绝对值）——有理数的性质（大小比较）——有理数的运算（运算法则）——有理数的应用。在“有理数”学习阶段，教师应引导学生形成研究“数”概念的一般观念，然后把这个一般观念迁移到“实数”的学习中。把“实数”教学作为“数”概念教学的“运用结构”阶段，如图4所示，在这一阶段教师要善于引导学生类比“有理数”的学习经验，主动建构“实数”的学习结构。[1]

图4

数系扩充的基本思想是使得在原来范围内成立的规律在更大的范围内仍然成立。于是，要在“保持自然数系的运算律普遍成立”的思想指导下定义运算法则，从而解决“如何算”的问题。对有理数的学习，其中的难点是“符号法则”，如“负负得正”。为什么“负负得正”？因为如果不“负负得正”，那么自然数系的运算律将不再成立。

在“数”的教学过程中，应该讲清每类数的本质，引导学生理解数系扩充的规律，为后面“式”的学习打下基础。例如讲授“有理数”时，应该引导学生理解“有理数是两个整数的商”，并为“无理数”的学习埋下伏笔：还有不能写成两个整数商的数。

三

“式”的整体性教学设计

字母代表数，代数式是数及其运算的抽象化、一般化产物，在“式”的教学过程中，应注意引导学生与“数”的相应内容进行类比学习，把“式”教学作为“数”概念教学的“运用结构”阶段，引导学生思考：对于代数式这个数学对象，你认为可以研究那些问题？如何构建研究框架？研究的具体内容有哪些？如何找到研究方法？让学生展开自主探索，获得各种代数式的定义、性质、运算法则，熟练进行有关的运算和代数推理。代数式及其运算的教学应借助现实情境和简单问题中的数量关系的分析，引导学生进一步理解用字母表示数的意义，先后形成代数式、整式、分式和根式的一系列概念，并重点掌握整式、分式和根式的运算法则、运算律和相关的运算性质，能熟练并准确地实施各种运算，提升运算能力，建立数感与符号意识。

例如，可以类比分数的学习进行分式的教学。“分式”的内容相对“单薄”，但在教学时要让它变得“厚重”，至少要让学生理解如下两个问题：

(1)

分式怎么来的？为什么会想到要研究分式？

回答这个问题，可创设如下情境：从小学到现在，数系经历了一个怎样的扩张过程？用字母表示数就有了代数式，我们已经学习了哪些种类的代数式？类似数系请展望一下代数式未来的扩张方向。

师生共同回顾展望数与式的扩张过程，逐步形成如图5所示的板书：

图5

(2)

如何研究分式？

回答这个问题，可引导学生类比分数，设想分式将要研究哪些内容；再类比整式，设想分式将要研究哪些内容。通过类比尝试展望一下分式研究的路线图。

教师引导学生分别类比分数和整式展望分式研究的内容，逐步投影呈现如图6所示的内容，共同“绘制”分式研究的路线图：分式概念、分式基本性质、分式运算、分式方程。

图6

这种整体性教学设计非常重视知识结构的建构，既有向外——把分式置于“数与式”整体中的宏观知识结构，让学生体会分式与其他知识的联系和区别；也有向内——展望分式研究内容的微观知识结构，让学生了解分式内部知识之间的逻辑联系。这样教学，通过构建知识结构显本质，有助于学生用宏观视野对数与式的基本框架和本章的研究脉络有一个整体认识，加深学生对知识的理解。[2]

《义务教育数学课程标准（2011年版）》明确规定实施二次根式的四则运算时，根号下仅限于数，义务教育阶段并未研究真正意义下的根式，因此，整式和分式是初中阶段有关“式”的主要内容。整式和分式的学习过程分为三个阶段进行：整式的加减（紧跟其后的是一元一次方程、二元一次方程组、一元一次不等式（组）、一次函数等内容）、整式的乘除与因式分解、分式。

引入最简二次根式的概念和分母有理化的运算，完善有关二次根式的知识体系，深化了对无理数的认识，充实了二次根式的运算，较好地解决了与高中数学的衔接问题。

四

“方程”的整体性教学设计

方程是刻画数量关系的重要数学模型，初中阶段方程的内容由三部分组成：一元一次方程、二元一次方程组、一元二次方程。二元一次方程是一元一次方程的拓展，而二元一次方程又要通过“消元”，转化为一元一次方程求解。一元二次方程是一元一次方程的拓展，而一元二次方程又可以采用开方和配方等方法，通过“降次”，转化为一元一次方程求解。如图7是方程知识结构，图中的箭头表明了解方程的基本思想——“转化”：无理方程转化为有理方程；分式方程转化为整式方程；高次方程转化为低次方程；多元方程转化为一元方程。

图7

“相等”与“不等”是数学中两种基本的数量关系，二者相辅相成，形成对数量关系的完整认识，是进一步学习数学不可缺少的基础知识和有效工具，也是分析和解决实际问题的重要方法。《义务教育数学课程标准（2011年版）》弱化了不等式组的内容和要求，把学习要求定位于“会用数轴确定由两个一元一次不等式组成的不等式组的解集”。方程与不等式具有揭示数量关系的共同本质，而区别只在于相等与不等，表现为用“＝”连接与用“＞”或“＜”连接。如图8所示，去括号、移项、合并同类项等变形，既是解方程的主要步骤，也是解不等式的主要步骤，而区别只在于两边同除以未知数的系数时有所不同。

图8

应把方程的教学作为“学会结构”阶段，把不等式的教学作为“运用结构”阶段，类比方程的学习，得出不等式的研究思路（如图9所示）。

图9

列方程解应用题本质上是数学模型方法的基本应用，它的基本模式如图10所示。通过列方程解应用题的教学，应该使学生掌握数学模型方法的实质，培养学生的数学应用意识和应用数学的基本能力，使学生遇到一个实际问题时，能够直觉地尝试应用数学知识予以解决。大千世界是千变万化的，实际问题层出不穷。因此，数学应用题的选材和呈现方式应多样化。应该淡化人为编制的应用题及其解题分析。

图10

五

“函数”的整体性教学设计

函数是一种具有普遍意义的数学模型，在分析和解决一些实际问题中有着广泛的应用。同时，函数与方程、不等式又有着密切的联系，作为一条主线它是初中阶段数与代数内容的核心。函数的内容主要包括：常量和变量；函数的概念和三种表示法；正比列函数的概念、图象和性质；反比例函数的概念、图象和性质；一次函数的概念、图象和性质；二次函数的概念、图象和性质等。

函数图象的教学主要存在三个“时间窗口”，需要顺序渐进。

第一个“时间窗口”：“数轴”的教学。在这个“窗口”节点上，要帮助学生理解数轴上的点与实数建立了一一对应关系，初步感受数形结合的思想。

第二个“时间窗口”：“平面直角坐标系”的教学。在这个“窗口”节点上，要帮助学生理解平面直角坐标系内任意一点与一个有序实数对建立了一一对应关系，再次感受数形结合的思想。

第三个“时间窗口”：“一次函数图象”的教学。在这个“窗口”节点上，要帮助学生理解函数的本质，形成对函数图象的正确认识，继续渗透数形结合的思想。

这是一个有“长度”的教学，三个“时间窗口”节点上的教学内容和教学要求，环环相扣，层层递进。如果只是一味强调通过列表、描点、连线来作图，无非就是给学生一个画函数图象的技能，无助于数学思维的发展，更不能形成数学思想。[3]

把一次函数的教学作为“学会结构”阶段，在这个阶段要给学生讲清楚函数的研究思路。类比一次函数的教学展开二次函数的教学，把二次函数的教学作为“运用结构”阶段。因此，如图11，类比研究一次函数的方法，可以得出得出研究二次函数的方法。[4]

图11

参考文献

[1] 朱先东.指向深度学习的数学整体性教学设计[J].数学教育学报，2019（5）：33-36.

[2] 石树伟．揭示数学本质：变“单薄”为“厚重”[J]．数学通报，2015（7）：30-31.

[3] 殷容仪．顺序渐进的教学是培养学科核心素养的有效途径[J]．数学通报，2017（1）：14-16.

[4] 鲍聪晓.对数学教学问题设置的思考[J].数学通报，2018（7）：43-48.

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