初中数学几何部分整体性教学设计

进入新学期，老师们都有自己新的打算：新教师希望上好教师生涯第一课；老教师希望教学进步。如何上好一堂数学课，是一个没有答案的永恒的话题。“教无定法”，但教有规律。数学教学服从于学生的认知规律和数学本身的规律。学生学习的实质是把新获得的知识和已有的认知结构联系起来，积极地建构其知识体系。数学是一个逻辑严密的整体。因此，数学教学应进行整体性教学设计。

一、

培养核心素养需要整体性教学设计

数学学科核心素养的成分难以在单个的知识点上表现出来，它往往隐藏在知识体系、知识结构之中。发展学生的数学学科核心素养应着眼于知识结构的教学，这样才有利于素养的生成、发育和成长，教学设计要从一个知识点或课时转变为整体性教学设计。

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数学教学中存在的问题

（1）教学内容的“碎片化”

教师在教学中往往忽视知识内在的关联性以及知识形成、发展过程中的逻辑关系，不清楚该知识在整个单元或教材体系中的地位和作用，形成“只见树木，不见森林”的教学状态，以致学生不能把孤立习得的知识碎片正确地应用到现实生活的整体任务中，导致学习的迁移度低。

教师更多的是先单课单课地教，而后再利用单元复习，对前面所学知识进行总结、归纳、提升，走的是“先分后总”的路子。如此教学的弊端显而易见：以单个的、孤立的、缺乏联系的“知识点”呈现出来的东西，最终大多成为无意义、机械性和被动接受的东西；学生难以把这些知识有机地联系起来，较好地识记、理解和运用。

（2）忽视研究经验的积累

学习的本质是经验在深度和广度上持续变化，即个体在原有经验的基础上，通过自主建构形成新经验的过程。但教师习惯于重视学生知识的积累和运用，忽视学生研究知识的路径和方法经验的积累，以致学生不能运用“类比”的方法研究结构相似的内容，实现方法迁移，导致学生不能以少驭多、以繁驭简，这是学生数学学习负担重的教学原因。

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整体性教学设计的内涵

进行整体性教学设计，就是把每一个知识点都放到完整的单元知识结构中去理解，促使学生建立新旧知识之间的关联，把握知识结构之整体，从而通过“学结构”学会“用结构”。这种设计是基于对知识的系统理解，强调知识的关联和整合：强调形成学生主动类比发现结构、形成结构并加以拓展的学习心态和学习能力；强调将学生在学习过程中积累的经验迁移到新的问题情境中，构建有序思维，解决挑战性问题。

整体性教学设计就是一个思想体系、方法体系、知识体系的教学设计。对每一种几何图形或图形关系的教学，都应该以“研究一个几何对象的基本套路”为指导，设计出体现数学的整体性、逻辑的连贯性、思想的一致性、方法的普适性、思维的系统性的系列化数学活动，引导学生通过对现实问题的数学抽象获得数学对象，构建研究数学对象的基本路径，发现值得研究的数学问题，探寻解决问题的数学方法，获得有价值的数学结论，建立数学模型解决现实问题。促使学生通过一个个几何对象的研究，体悟具有普适性的数学思想和方法，逐步掌握解决几何问题的那个“相似的方法”，进而逐步形成“数学的思维方式”。

二

整体性教学设计的理论基础

奥苏贝尔的先行组织者策略和逐渐分化原则为整体性教学设计提供了理论基础和操作依据。他从儿童习得知识的角度提出了两个处理教材的原则：一是设计先行组织者；二是逐渐分化原则。所谓先行组织者，是指一些与教学内容相关的、包摄性较广的、比较清晰和稳定的引导性材料，它为学生提供了帮助理解和记忆新知识的脚手架。所谓逐渐分化原则是指学生首先应学习最一般的、包摄性最广的观念，然后根据具体细节对它们逐渐分化，或者说，教学中应先学习上位概念，然后在上位概念的同化之中学习下位概念。

先行组织者设计有两种方式：一是为学生提供新知学习的上位概念或知识大框架，引导学生形成对新知识本质属性的总体印象，使学生认识到知识之间的联系；二是为学生学习新知识提供类比或分辨的参照、提供学习线索，帮助学生获得研究内容、形成研究思路、找到研究方法。

逐渐分化原则要求教学遵循从“整体”到“局部”、从“上位”到“下位”的原则，即在具体教学开始之前，以一个单元或一章内容作为一个整体，将所教的内容作一个整体性的梗概介绍，然后进入局部研究，使学生对这一部分内容的来龙去脉有一个大致的了解。

《义务教育数学课程标准（2011年版）》对整体性教学也提出了具体要求：“数学知识的教学，要注重知识的‘生长点’与‘延伸点’，把每堂课教学的知识置于整体知识的体系中，注重知识的结构和体系，处理好局部知识与整体知识的关系，引导学生感受数学的整体性，体会对于某些数学知识可以从不同的角度加以分析、从不同层次进行理解。”

三

整体性教学设计对数学学习的促进作用

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有利于学生建立良好的知识结构

进行整体性教学设计，首先必须厘清教材中章或节的知识体系、主干知识及知识间的逻辑联系。要注意引导学生系统化和条理化所学知识，注意积累数学认知组块。组块组织有序，才能便于检索，从而才能灵活运用组块。如图1是系统化和条理化的三角形知识。

图1

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有利于学生习得系统的思想方法

任何一个数学对象，它本身存在于一个知识体系中，同时研究它的程序、途径、依据、结果、表达等构成研究它的一个方法体系。数学教学应使学生在习得知识体系的过程中同步习得相应的研究方法体系。许多数学对象的研究是有“通法”的，掌握其中一个对象的研究套路，就有能力自主并有效率地探究其他对象，提高学力。例如，学生掌握了三角形全等的判定的研究套路后就可以自主研究三角形相似的判定。这就要求教师在讲授全等时应给学生讲到位，这样在讲授相似时就可以通过类比全等而做到事半功倍。例如，教师在讲授三角形全等的判断时，应引导学生进行如下思路探索：怎样判断两个三角形全等？利用两个三角形全等的定义需要知道6个条件。但是，是否一定需要6个条件呢？条件能否尽可能少呢？一个条件行吗？2个条件、3个条件呢？探究什么？探究思路怎样？选用什么样的探究方法？探究两个三角形全等的条件，可以从条件由少到多，并按角和边进行分类，可以用画一画、剪一剪、比一比的方式展开探索。如图2是三角形全等的判定的研究套路。在探索活动的过程中，学生不仅得到了“边边边”等的条件，同时体会了分析问题的一种方法，积累了数学活动经验。事实上这些活动的经验对其以后的学习是非常重要的，如在学习三角形相似的判定时，学生必定会联想起研究三角形全等时所采用的探索思路和方法。

图2 三角形全等的判定的研究套路

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有利于学生形成良好的认知结构

如图3所示，在等腰三角形的教学中，进行整体性教学设计，就能帮助学生建立以等腰三角形为线索的良好的认知结构。

图3

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有利于进行“深度学习”

“深度学习”是基于学生对学习主题的理解，以解决挑战性问题和发展高阶思维为目标的学习，即通过对核心内容的分析和教材的整合以及学生高阶认知参与，获得知识、过程、方法、价值的深度感悟，完善和发展认知结构，形成学习能力，并能将这种能力迁移到新的情境，有效解决挑战性问题的学习。

整体性教学设计是先建构单元整体，引领和帮助学生建立有关本单元的知识框架认知，建立轮廓化印象，然后再深入研究具体的单个知识。处于某种联系中的知识往往能让学生实现一种“情境记忆”——框架或网络式情境中的记忆，记得一点就能“带出”许多。学生只有在结构化的知识里才能理解知识元素之间的关系，才能透过关系发现本质，进而再以这些本质性的认知去解决更多同类或有紧密关联的问题，实现高效率的迁移。在一般情况下，低阶思维更多发生在一个个知识点的教学过程中，其中尤以对知识的简单识记为主。而高阶思维则几乎不可能发生在各种碎片化的教学中。

四

整体性教学设计的实施策略

数学教学应该按照“总—分—总”的原则进行整体性教学设计。

第一个“总”，就是先作粗浅的梗概介绍，它在一定程度上成为一个很好的先行组织者，成为一个学习导航仪，这个导航也成为后续学习的定位仪。

“分”就是“由薄到厚”，它是对具体知识的研究。教师要从“研究一个数学对象”的角度思考和设计教学过程，在研究对象的抽象、研究内容的确定、研究思路的构建、研究方法的引导等方面整体规划教学思路，帮助学生迁移相似问题研究策略。通过对教材知识的“深度理解”，将同一个结构单元或者是不同单元但结构类同的内容的教学过程分为“学会结构”和“运用结构”两大阶段。在“运用结构”阶段，充分运用先行组织者策略，类比“学会结构”阶段的学习经验获得研究对象，再利用类比学习方法研究各分支内容，其设计流程如图4所示。

图4

第二个“总”就是“由厚到薄”，作精练而深刻的总结，它是在具体学习内容掌握的基础上的再次深度融合与升华，因而更为具体、深入。为此，要重视对章后“小结”的教学。在期终复习和学段总复习时，要构建每本教材和整套教材的知识结构、沟通每本教材和整套教材的知识联系。

例如，在平面图形的教学中，“三角形”是“多边形”内容的起始单元，应该把它作为“多边形”教学的“学会结构”阶段。在这一阶段，要组织学生深度参与、整体感知，帮助学生在大脑中形成结构功能良好、迁移能力强的认知结构，促进学生的学习从“局部”走向新的“整体”。“四边形”与“三角形”的学习有着相同的过程性结构和方法性结构，如图5，应该把“四边形”教学作为“运用结构”阶段，类比“三角形”的学习内容、过程和方法进行整体教学设计。

图5

五

初中数学几何部分整体性教学设计

对平面几何问题的研究是一个整体的、连续的思维过程，应帮助学生形成研究几何问题的逻辑思维体系。在进行教学之前，首先是了解研究对象的背景，认识研究对象的定义，明确对象的定义包含对象的表示方式；其次是依据几何图形的组成要素和相关要素分类，研究几何图形的性质；最后整理教学和学生学习的逻辑思维顺序，帮助学生建立起思维体系，为发生学习迁移奠定基础。

●

从整体上把握平面几何内容

从知识的角度来看，平面几何内容包括四类知识：基础性知识——立体图形、平面图形、点、直线、射线、线段、角等基本几何概念；操作性知识——尺规作图；工具性知识——平移、轴对称、旋转三种几何变换；证明性知识——三角形全等的性质和判定等内容。

从研究方法来看，几何研究的基本思路是：在掌握基础性知识、操作性知识、工具性知识和证明性知识的基础上，把合情推理和演绎推理融合在一起——先用合情推理发现结论，再用演绎推理证明结论，并按照三角形、四边形、圆的顺序展开相关内容。一节课搞定中考数学图形与几何之四边形问题

从具体处理来看，为了使平面几何内容易教、易学，遵循学生的认知规律，《义务教育数学课程标准（2011年版）》对《几何原本》中的公理体系进行了教学处理，给出了一个扩大化的公理体系，让学生感受公理化思想。《义务教育数学课程标准（2011年版）》列出了如下9条基本事实作为公理体系证明的出发点：

（1）两点确定一条直线。

（2）两点之间线段最短。

（3）过一点有且只有一条直线与这条直线垂直。

（4）两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么两直线平行。

（5）过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行。

（6）两边及其夹角分别相等的两个三角形全等。

（7）两角及其夹边分别相等的两个三角形全等。

（8）三边分别相等的两个三角形全等。

（9）两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。

从具体对象的“研究套路”来看，研究一个几何对象的路径是：背景——定义——性质——特例（定义——判定——性质）。例如，对三角形的研究是按从一般到特殊、定性到定量的顺序展开。在相对完整地学习三角形后，再安排对多边形的研究。然后类比三角形的研究路径，以概念的内在逻辑联系为依据，以“属＋种差”的定义方式，通过“要素或要素关系的特殊化”，依次安排平行四边形、矩形、菱形、正方形，并以“背景——定义——性质——特例（定义——判定——性质）”的基本套路展开具体内容。

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相交线、平行线的整体性教学设计

在学习相交线与平行线之前，通过“几何图形的初步认识”一章的学习，学生经历了“几何图形——立体图形与平面图形”、“体——面——线——点”等概念的抽象过程，知道了“点动成线，线动成面，面动成体”，并研究了直线、射线、线段和角等最基本的几何图形。在这些学习过程中，学生由此积累了一定的几何图形研究经验，在直观想象、数学抽象等素养上得到了培养。例如，通过角的学习，可以归纳出一个几何对象的研究内容和路径是：现实背景——定义——性质——特例（定义——判定——性质）。

相交线是学生系统学习的第一个几何对象，在使学生了解研究一个几何对象的“基本套路”上具有奠基意义。本部分的知识内容比较简单，但应在如何定义几何图形和图形的关系、几何对象的性质指什么、如何发现和提出值得研究的数学问题等“大观念”的教学上下功夫。本部分的“大观念”主要有：

一个几何对象的研究路径：现实背景——定义——性质——特例（定义——判定——性质）。

通过基本图形组成元素的相互关系定义它们的位置关系。两条直线相交，就是两条直线有且只有一个公共点。

几何要素之间确定的位置关系、大小关系就是几何图形的性质。相交线的性质就是两条直线相交所得的四个角的位置关系（邻补角、对顶角）、大小关系（邻补角互补、对顶角相等）

对于一类几何对象，“特殊情况”往往是重要的。相交线的特例是垂直，这种“特殊化”是发现和提出问题的重要方法，在后面的学习中还会多次用到。例如，在研究了一般三角形后，通过“边的特殊关系”得到等腰三角形，再特殊化得到等边三角形，通过“内角取特殊值”得到直角三角形。四边形——平行四边形——矩形——菱形——正方形，也是通过不断“特殊化”而得到的研究对象。

在研究两条直线相交的基础上研究“三条直线相交”是顺理成章的事情，可以分为如图6所示的三种情况：

图6

其中，“三线共点”与相交线没有本质区别，没有研究价值；“两两相交”和“平行线被第三条直线所截”可以看成是一般与特殊的关系，一般寓于特殊之中。对于三条直线相交的性质，类比相交线的性质，可以研究由这些直线相交所成角的关系。因为共顶点的角的关系已经研究了，所以要研究“不共顶点的角之间的关系”。

因为平行线的判定与性质都是以两条直线被第三条直线所截而生成的角之间的关系来表征的，所以在研究平行线之前要安排相交线，包括两条直线相交和“三线八角”。判定定理和性质定理都反映了几何对象的形状及组成元素的位置关系、大小关系，哪个在先都是可以的。把“同位角相等，两直线平行”作为基本事实，能够比较好地体现用角的关系刻画平行线内涵的思想，由此可以推出其他判定定理。

由以上可以看出，数学内容的展开应循序渐进、螺旋上升，使学生的学习过程成为一个在通性通法和数学思想指导下的、具有系统性和连贯性的有机整体。

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三角形的整体性教学设计

三角形的知识结构如图7所示。

图7 三角形知识结构

在三角形的学习中，教师要引导学生逐步积累和形成几何研究的“基本套路”：一是三角形概念的学习要经历“通过三角形实例，抽象为三角形图形，概括图形共同特征，形成三角形的概念”的过程；二是三角形的分类标准是三角形的组成要素，即要按照三角形的要素（边、角）的大小和位置关系进行分类；三是三角形性质的研究对象为要素（边、角）关系以及相关要素（外角、高、中线、角平分线）关系；四是三角形的研究思路为从一个图形研究到两个图形关系研究，从上位到下位、从一般到特殊、从定性到定量展开研究。

研究三角形性质的基本路径是：组成要素与相关要素间的分类——研究组成要素——研究相关要素——一个、一类或者多个、多类几何图形之间的比较。具体来说，首先关注的是组成要素内部的关系，通过对边和角的大小研究，学生可以清晰地知道类似“两边之和大于第三边”“三角形的内角和等于180°”等性质。其次关注相关要素内部的关系，通过对相关要素“外角、高、中线、角平分线”等进行研究，可以得到类似“三线合一”等性质。再次就要进行两个或者两类三角形之间关系的研究。这类研究关注的是两个或者两类三角形的大小关系、形状差异（形状相同、大小相等即全等；形状相同即相似）。最后从定性研究过度到定量研究。如勾股定理、锐角三角函数、解直角三角形等。

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四边形的整体性教学设计

我们是直接把三角形的性质推广到多边形，那么为什么还要专门研究四边形呢？在对平面图形进行定量研究时，平行性至关重要，而在平行性的研究中，平行四边形是一个主要工具。因此，对四边形的研究主要是对平行四边形的研究。有了三角形的研究经验，学习平行四边形自然应该类比三角形的学习内容、过程和方法进行整体性教学设计。应引导学生通过自主探索，整体构建平行四边形的研究框架，完整经历“现实背景——定义——性质——特例（定义——判定——性质）”的研究套路，最终形成“四边形——平行四边形——矩形——菱形——正方形”的完整知识体系（如图8）。

图8 四边形知识结构

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圆的整体性教学设计

在圆的整体教学设计中，从圆的定义出发，将圆的要素（圆心、半径、圆上的点）、相关要素（弧、弦、弦心距、圆心角、圆周角等）的关系作为最基础的研究内容，把点、直线、圆与圆的位置关系作为重要的研究内容。在此基础上，与三角形、四边形、多边形等已学内容相结合，引导学生探究一些性质。具体地说，由圆的定义抽象出圆的对称性质（轴对称、旋转对称）、确定圆的条件以及点与圆的位置关系；由圆的对称性质得出垂径定理和弧、弦、圆心角定理，以及圆周角定理；由确定圆的条件研究三点共圆、四点共圆的条件，建立圆内接三角形和圆内接四边形的概念、性质和判定；研究点、直线、圆与圆的位置关系及其相对应的数量关系；研究圆与多边形的关系。圆的知识结构如图9所示。

图9 圆知识结构

参考文献

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[2] 李庚南，冯卫东. 学材再建构在结构中教与学[M]. 数学通报，2018（8）：17—22，30.

[3] 章建跃. 学会用数学的方式解读内容设计教学——以“相交线”为例[M]. 数学通报，2019（1）：8—12，15.

[4] 章建跃. 研究平行线的数学思维方式[M]. 数学通报，2019（3）：6—10.

[5] 邱冬，王光明. 平面几何教学的新视角：“示以思维”——基于章建跃先生对“三角形”的过程分析[M]. 数学通报，2018（8）：27—30.

[6] 章建跃. 基于数学整体性的“四边形”课程、教材及单元教学设计[M]. 数学通报，2020（6）：4—9，36.

[7] 章建跃. “圆”的课程教材设计与教学[M]. 数学通报，2020（7）：1—7，34.

文章选自：华东师大出版社基教分社。更多优质资源可关注公众号后查看历史消息，妙解之慧由陕西西安孙冰钰老师创建专注分享初，高中数学优质资源，旨在：让全国各地的师生都能享受到同等优质的教育资源。平台所选文章贵在分享，公益传播，尊重原创，所选文章会注明作者姓名，来源，如不当，请文末添加微信联系处理，如转载，请注明来源。本平台：妙解之慧（ID:WanZhuanShuXue1）诚请高中数学教师、教研员和热爱数学的朋友不吝赐稿，与数学有关的内容都可以。来稿请注明姓名或者网名、工作单位，一般只接受word文档格式的电子稿件，文稿请认真审查，防止错漏，确保无误，文责自负。文稿可发在QQ邮箱3305796992@qq.com或添加文末微信直接发给我，感谢各位朋友的鼓励与支持。

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