液态奶纸制包装盒中的数学思考

牛奶(包括液态奶)既是城市居民的生活用品，也是中学生的早餐食品和日常饮料。目前国内市场上较知名的牛奶有蒙牛、伊犁、光明、天友、梦工厂、旺旺等品牌，每种品牌的牛奶名目繁多、容量不等，同一容量的包装盒又有多种外形，主要是纸制品，其次是塑料制品和铝制拉罐。从降低成本、节约资源和扩大利润的角度出发，如何设计牛奶包装盒，才最节约包装材料呢？生活中的牛奶包装盒蕴藏着哪些数学原理呢？

纸上谈‘兵’

如何设计牛奶包装盒才最节约包装材料？这是一个最优化问题。中学数学中有很多求最值的方法，也有很多求最值的应用题。这个问题类似数学教材中的应用题。

我们假定盒子容量为V，从理论上探究三种包装盒的表面积S的多少。

可见，等容量包装盒如果制作成长方体形，应该是正方体形包装盒最省材料。如果制作成圆柱形，应该是等边圆柱形包装盒最省材料。三种几何体的表面积中，正方体最大，等边圆柱其次，球形最小。

从理论上看，等容量几何体的表面积中，正方体最大，等边圆柱其次，球形最少。奇怪的是：现实中没有见到正方体包装盒，很少见到圆柱形包装盒，更没有见到球形包装盒。为什么厂家不生产这些外形的包装盒呢？

材料收集和分类

市场上没有正方体、圆柱形和球形包装盒，为了寻找原因，我们考察了重庆市沙坪坝区新世纪、好又多、家乐福、王府井和北京华联合等超市，收集了液态奶的品牌、容量、包装盒材质，还购买了一些牛奶。发现市场上的牛奶包装盒有硬性和软性两类，硬性包装盒一般是圆柱形和圆台形，是塑料制品和铝制拉罐；软性包装盒一般是长方体形，都是纸盒。由于硬性包装盒不便拆开，所以选择软性纸制包装盒作为研究对象。另外，牛奶品牌多、容量种类多，盒子外形也不相同。有些容量的牛奶不普遍，如125ml只有蒙牛牌，950ml只有天友牌。有些牛奶容量虽不相等，盒子却相同，如190ml光明牌和220ml天友牌的包装盒是相同型号。考虑到是否具有普遍性和是否满罐等因素，所以选择200ml和250ml为代表作为研究对象，并将外形命名为高瘦形、中等形和矮胖形。宽、长、高的数据见表1：

厂家制作包装盒的方法

为了探究最节约包装材料的设计方案，必需了解目前厂家制作包装盒的方法。将包装盒重叠部分翻起，然后压平，发现各种包装盒都是一个长方形袋子，如图1、图2。

裁开了200ml和250ml的各种包装盒，并将包装纸板展开成平面图，如图3、图4。图中线条是纸板的边线和折痕，四周的小条形带是纸板粘合处的接口。

容易发现各厂家生产包装盒的方法基本相同，都是用1张长方形或正方形纸板折叠而成（图3虽然不是规则的长方形纸版，但它是由图5 的纸裁剪而成，耗材量等同于图5的长方形纸板。）

制作方法是：先将长方形纸板两端异面粘合作成1个圆柱形纸筒，再将两端同面粘合，最后用机器压制成高低大小不同的包装盒。

包装盒外形选取的原因

生活中没有正方体形、圆柱形和球形的包装盒。研究发现有以下几方面原因。

1．前面探究包装盒的表面积存在疏忽，忽视了包装盒制作存在接口。虽然外形是一个长方体，但所用的材料纸面积大于长方体的表面积。

2．球面不是平面而是曲面，球面没有平面展开图，所以平面纸板无法制作成球形包装盒。如果要制成球形包装盒，会出现很多折皱和重叠，这样既不美观也很耗材。

3．圆柱纸筒虽然很容易制作，如要制作圆柱形包装盒，上下封口不容易，会出现很多折皱和重叠，这样既不美观也很耗材。

4．等容量的长方体中，正方体表面积最小。由于正方体侧面展开图是不规则图形（如图6），而工厂是用矩形纸制作包装盒，如果用1张小型的矩形纸裁剪成1张图6的材料纸，显然浪费材料。深入思考发现，无数个图6可以铺满整个平面，即使将图6加上边沿接口变成图7，图7也可以铺满整个平面，如图8。如果工厂的原材料包装纸很大，可以成批量地切割成图7那样的小块纸板，这样既不浪费材料，也能制作出正方体形包装盒。为什么没有厂家这样制作包装盒呢？因为这种包装盒上下封口很麻烦，可能机械上不便操作。所以，目前没有图7这种之字形纸板制作的正方体形包装盒。

包装盒的最优化设计

生活中的包装盒都是由长方形纸板折叠而成，怎样设计长方形纸板的数据才最省材料呢？

设盒子的宽、长、高分别为2x,z,y ，接口宽为a。注意：宽和长之间存在关系，接口宽a是固定常数。如图9。

最优化设计与现实的冲突

根据厂家制作包装盒的方法和以上探究，包装盒内表面的宽、长、高的比例设计为1:2:2最省材料，奇怪的是：各个厂家的包装盒内表面的长、宽、高比例都不是按1:2:2的比例制作（见表1的数据），是设计者不懂数学而随意设计？还是隐藏着其他数学玄机未被发现呢？

牛奶包装盒的美学审视

常言：生活中处处充满美。著名的数学家、哲学家罗素说：“数学，如果正确地看她，不但拥有真理，而且具有至高的美”。也许包装盒蕴藏着美学原理。回顾前面调查的数据，计算了包装盒内表面的长、宽、高的比例。见表2：

说明包装盒的正视图和俯视图都接近“黄金分割矩形”。“黄金分割”源于两千多年前的古希腊，她的和谐之美和奇异之美一直伴随着人类的生活和创造，带给人类美的享受和灿烂的历史文化。真让人惊叹，一个小小的包装盒也体现了数学和谐之美。

包装盒的黄金分割设计方法

包装盒如果正视图和俯视图都设计为黄金分割矩形，在理论上最为优美，所以研究“黄金分割比”的设计是必要的。

只比最优化设计多耗一点材料，却实现了经济效益和美观大方的完美结合，取得了节约成本和扩大销路的双赢效果。

包装盒的美感调查

为了证实黄金分割比设计的和谐之美，我们选了几种具有代表性的包装盒（如图10、图11、图12），对高二年级两个班的126名学生进行调查。为了不让包装盒颜色和表面图案干扰视觉，我们将包装盒染成同一种颜色，提出了以下问题：

你认为哪种包装盒的外观好看？（限选1个答案）

数据显示：尽管高瘦形包装盒的正视图与黄金分割矩形存在很大差异，但学生认为高瘦形包装盒最好看。相反，正视图接近黄金分割矩形的中等形包装盒学生认可度不高。看来现实中的美与数学理论上的美存在差异。事后对个别学生和教师进行访谈，一种观点认为中等形包装盒牛奶太普遍，天天喝，而高瘦形包装盒牛奶喝得少，有新鲜感。另一观点认为现代人追求前卫、时尚，审美观发生转移，喜欢修长高挑形。可见，中等形包装盒不是不美，而是中等形包装盒市场占有量大，销售时间太长，已经使消费者产生审美疲劳。所以，同一厂家的包装盒应该多样化。

研究成果综述

1．用长方形纸板制作包装盒，理论上的最优化设计是将内表面的宽、长、高的比例设计为1:2:2 ，但厂家没有采取这种设计方案。

3．中等形包装盒从数学理论上分析最美。但是，目前消费者认可度不高，原因在于中等形包装盒太普遍，市场销售时间太长，使消费者产生审美疲劳，所以同一厂家的包装盒应该多样化。

注：本文发表于《数学通报》，2010(4）

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