高等代数，第四版，第八章P352，T3
数学兴趣大讲堂
数学群（group）是由一种集合以及一个二元运算所组成的，并且符合“群公理”。群公理包含下述四个性质的代数结构。这四个性质是封闭性、结合律、单位元和对于集合中所有元素存在逆元素。
群(G,·)是由集合G和二元运算"·"构成的，符合以下四个性质（称“群公理”）的数学结构。其中，二元运算结合任何两个元素a和b而形成另一个元素，记为a·b，符号"·"是具体的运算，比如整数加法。
群公理所述的四个性质为：[3]
1. 封闭性： 对于所有G中a, b，运算a·b的结果也在G中。b[›]
2. 结合律： 对于所有G中的a, b和c，等式 (a·b)·c = a· (b·c)成立。
3. 单位元： 存在G中的一个元素e，使得对于所有G中的元素a，总有等式
e·a = a·e = a 成立。
4. 逆元： 对于每个G中的a，存在G中的一个元素b使得总有a·b = b·a = e，此处e为单位元。
群运算的次序很重要，把元素a与元素b结合，所得到的结果不一定与把元素b与元素a结合相同；亦即， {\displaystyle a\cdot b=b\cdot a}（交换律）不一定恒成立。满足交换律的群称为交换群（阿贝尔群，以尼尔斯·阿贝尔命名），不满足交换律的群称为非交换群（非阿贝尔群）。
整数加法群中，对于任何两个整数都有 a + b = b + a （加法的交换律）成立，因此，整数加法群是交换群。但是对称群中交换律并不总是成立，所以一般的对称群不是交换群。
群G的单位元经常记做1或 {\displaystyle 1_{G}}，这个记号来自乘法单位元。对于阿贝尔群，可以把群运算记做+，单位元记做0；这种情况下群称为加法群。单位元也可记做id。
群 {\displaystyle (G,\cdot )}也常常简记为 {\displaystyle G}。可以根据上下文来判断一个符号指的是集合还是群。
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