九上尖子生培优系列(61) ————弧长与扇形面积(1)

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【例题】有一张矩形纸片ABCD，其中AD=4cm，上面有一个以AD为直径的半圆，正好与对边BC相切，如图（甲）．将它沿DE折叠，是A点落在BC上，如图（乙）．求这时半圆还露在外面的部分（阴影部分）的面积.

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【图文解析】如图，露在外面部分的面积可用扇形ODK与△ODK的面积差来求得．在Rt△ADC中，可根据AD即圆的直径和CD即圆的半径长，求出∠DAC的度数，进而得出∠ODA和∠ODK的度数，即可求得△ODK和扇形ODK的面积，由此可求得阴影部分的面积．

       首先，不难得到：圆O的半径为2，AB＝CD＝2，如下图示：

       其次，在Rt△ACD中，由AD＝4，CD＝2不难得到：

（当然如果学了锐角三角函数求∠CDA就更简单了，但不可用“30⁰的角所对的直角等于斜边的一半”的逆命题，尽管是真命题，但不是定理，不能用）

       当然在此图中还可得到更多相关的性质，这些都最基本的结论，务必首先想到。这些结论也是解决本题的最基本的条件。下面分析如何求出阴影部分的面积。

       显然阴影部分是弓形，必须转化为扇形面积与三角形面积相减，因此有：

因此，所求的阴影部分面积为：

       S_阴影＝S_扇形OKD－S_△OKD

详细解答过程如下：

∵以AD为直径的半圆，正好与对边BC相切，

∴AD=2CD，∵∠C=90°，∴∠DAC=30°，

∴∠ADC=60°，∴∠DOK=120°，

∴扇形ODK的面积为4/3πcm²，

作OH⊥DK于H，

∵∠D=∠K=30°，OD=2cm，

∴OH=1cm，DH=根号3cm；

∴△ODK的面积为根号3cm²

∴半圆还露在外面的部分（阴影部分）的面积是：

【反思】此题解决过程中所用到的知识和辅助线均为常用，务必熟练，才能“熟能生巧”.

【练习】如图，AB为⊙O的切线，切点为B，连接AO，AO与⊙O交于点C，BD为⊙O的直径，连接CD．若∠A=30°，⊙O的半径为2，求图中阴影部分的面积.

【上期答案】

（解法与原题类似，不做详解）

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