万能解题模型(三) 明确等量关系，解决实际问题

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类型1

行程问题

【例1】　一辆客车从甲地开往乙地，一辆出租车从乙地开往甲地，两辆车同时出发，设客车离甲地的距离为y1千米，出租车离甲地的距离是y2千米，两车行驶时间为x小时，y1，y2关于x的函数图象如图所示．

(1)根据图象写出y1，y2关于x的函数关系式．

(2)设两车之间的距离为s千米．

①求两车相遇前s关于x的函数关系式；

②求出租车到达甲地后s关于x的函数关系式．

识模

本题属于一次函数中的行程问题，基本的数量关系是：速度×时间＝路程；本题中第(2)小问的等量关系需分两个范围分类讨论：①两车相遇前，即0≤x<15/4时，s＝出租车离甲地的距离－客车离甲地的距离；②出租车到达甲地后，即6≤x≤10时，s＝客车离甲地的距离．

解模

针对训练

1．王老师从学校出发，到距学校2 000m的某商场去给学生买奖品，他先步行了800m后，换骑上了共享单车，到达商场时，全程总共花了15 min.已知王老师骑共享单车的平均速度是步行速度的3倍(转换出行方式时，所需时间忽略不计)．

(1)求王老师步行和骑共享单车的平均速度分别为多少？

(2)买完奖品后，王老师原路返回，为按时上班，路上所花时间最多只剩10 min.若王老师仍采取先步行，后换骑共享单车的方式返回，问：他最多可步行多少米？

类型2

工程问题

【例2】在广深高速公路改建工程中，某路段长4 000米，由甲、乙两个工程队拟在30天内(含30天)合作完成．已知甲工程队每天比乙工程队多完成50米，如果甲、乙两工程队一起合作完成1 500米所用时间与甲工程队单独完成1 000米所用时间相同．(1)求甲、乙两个工程队每天分别改建多少米？(2)已知甲工程队每天的施工费用为0.6万元，乙工程队每天的施工费用为0.35万元，要使该工程的施工费用最低，则甲、乙两个工程队各做多少天？最低费用为多少？

识模

本题属于工程问题，(1)中的等量关系有：甲工程队的工作效率－乙工程队的工作效率＝50米；甲、乙两工程队一起合作完成1 500米所用时间＝甲工程队单独完成1 000米所用时间．

解模

针对训练

2．新冠肺炎疫情期间，某口罩厂为生产更多的口罩满足疫情防控需求，决定拨款456万元购进A，B两种型号的口罩机共30台．两种型号口罩机的单价和工作效率分别如表：

(1)求购进A，B两种型号的口罩机各多少台．

(2)现有200万只口罩的生产任务，计划安排新购进的口罩机共15台同时进行生产．若工厂的工人每天工作8 h，则至少使用A种型号的口罩机多少台才能在5天内完成任务？

类型3

利润问题

【例3】(2020·山西)2020年5月份，省城太原开展了“活力太原·乐购晋阳”消费暖心活动，本次活动中的家电消费券单笔交易满600元立减128元(每次只能使用一张)．某品牌电饭煲按进价提高50%后标价，若按标价的八折销售，某顾客购买该电饭煲时，使用一张家电消费券后，又付现金568元．求该电饭煲的进价．

识模

本题属于销售利润问题，等量关系是：标价×折扣－消费券抵消金额＝568.

解模

解：设该电饭煲的进价为x元，则标价为(1＋50%)x元，售价为80%×(1＋50%)x元，根据题意，得

80%×(1＋50%)x－128＝568.

解得x＝580.

答：该电饭煲的进价为580元．

类型4

增长率问题

【例4】(2019·德州)习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气．”某校为响应我市全民阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆．据统计，第一个月进馆128人次，进馆人次逐月增加，到第三个月末累计进馆608人次，若进馆人次的月平均增长率相同．(1)求进馆人次的月平均增长率．(2)因条件限制，学校图书馆每月接纳能力不超过500人次，在进馆人次的月平均增长率不变的条件下，校图书馆能否接纳第四个月的进馆人次？并说明理由．

识模

本题属于增长率问题，第(1)问中的等量关系是：第一个月进馆人数＋第一个月进馆人数×(1＋月平均增长率)＋第一个月进馆人数×(1＋月平均增长率)2＝608.

解模

解：(1)设进馆人次的月平均增长率为x，由题意，得

128＋128(1＋x)＋128(1＋x)²＝608.

化简，得4x²＋12x－7＝0.

∴(2x－1)(2x＋7)＝0.

∴x＝0.5＝50%或x＝－3.5(舍去)．

答：进馆人次的月平均增长率为50%.

(2)∵进馆人次的月平均增长率为50%，

∴第四个月的进馆人次为128(1＋50%)³＝432＜500.

答：校图书馆能接纳第四个月的进馆人次．

类型5

面积问题

【例5】(2019·襄阳)改善小区环境，争创文明家园．如图所示，某社区决定在一块长(AD)16m，宽(AB)9m的矩形场地ABCD上修建三条同样宽的小路，其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种草．要使草坪部分的总面积为112 m²，则小路的宽应为多少？

识模

本题属于面积问题，等量关系是：

(矩形的长－2×小路的宽)(矩形的宽－小路的宽)＝草坪部分的总面积．

解模

解：设小路的宽应为x m，根据题意，得

(16－2x)(9－x)＝112.

解得x₁＝1，x₂＝16.

∵16＞9，∴x＝16不符合题意，舍去．

∴x＝1.

答：小路的宽应为1 m.

类型6

古代数学问题

【例6】　我国古代数学著作《九章算术》中有这样一题，原文是：“今有大器五小器一容三斛，大器一小器五容二斛，问大小器各容几何．”意思是：有大小两种盛酒的桶，已知5个大桶加上1个小桶可以盛酒3斛(斛，是古代的一种容量单位)，1个大桶加上5个小桶可以盛酒2斛.1个大桶、1个小桶分别可以盛酒多少斛？请解答．

识模

本题是一道古代数学问题，等量关系是：

5个大桶盛酒的斛数＋1个小桶盛酒的斛数＝3斛；1个大桶盛酒的斛数＋5个小桶盛酒的斛数＝2斛．

解模

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