北师大版八上数学7.2 定义与命题 知识点精讲
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知识点总结
复习提纲
说明：
1、从语句的角度，定义和命题都是陈述句，而不是疑问句或者是祈使句等句型，“定义”表“规定”，就是让外行人能理解，“命题”表“判断”，可“真”可“假”；
2、说明一个命题是假命题，不需要絮絮叨叨、没完没了的讲道理，给一个反例即可（满足条件，但是不满足结论的具体例子）；
3、真命题的来源有三个：基本事实（实践公认、无需证明、数量有限）、定理（从基本事实出发、推理论证过，以课本为准）、其他真命题（需要证明，过程在1.3中详细介绍）
4、在整个初中阶段，“图形与几何”的基本事实一共只有如下的8个：
（1）两点确定一条直线
（2）两点之间线段最短
（3）过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
（4）过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行
（5）同位角相等，两直线平行
（6）两边及其夹角分别相等的两个三角形全等
（7）两角及其夹边分别相等的两个三角形全等
（8）三边分别相等的两个三角形全等
【题型解析】：
例1：把下列命题改写成“如果……，那么……”的形式，并指出条件和结论
（1）绝对值相等的两个数相等
（2）同号两数相乘，积为正数
（3）同位角相等，两直线平行
（4）正方形的四条边相等
（5）直角三角形的两个锐角互余
（6）等底等高的两个三角形面积相等
答案：
（1）如果两个数绝对值相等，那么这两个数相等.
（2）如果两个数的正、负号相同，那么这两个数的乘积为正数.
（3）两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么两直线平行.
（4）如果四条线段是正方形的四条边，那么这四条线段相等.
（5）如果两个角是一个直角三角形的两个锐角，那么这两个角互余.
（6）如果两个三角形有一条边和这条边上的高线对应相等，那么这两个三角形面积相等.
请同学们关注蓝色的部分，这是改写的基本格式.
请同学们关注红色的部分，特殊的改写要特别记忆.
例2：判断下列命题的真假，并说明理由
（1）相等的角是对顶角
（2）如果a>b，那么ac2＞bc2
解答：
（1）假命题
基本步骤是（1）画图，（2）结合图形，说明该反例符合条件，但不符合结论
（2）假命题
取c=0，即使a>b，仍有ac2=b c2，也就是不满足ac2＞bc2
注意：代数方面的反例，一定要具体、直接.
教学设计
教学目标 1.了解命题中的真命题、假命题、定理的含义；2.解命题的构成，能区分命题中的条件和结论。
3.经历实际情境，初步体会公理化思想和方法，了解本教材所采用的公理．
4.培养学生的语言表达能力。 重点 了解命题中的真假命题、公理、定理的含义 难点 学会区分命题的条件、结论，学会判别真、假命题，理解反例、证明等概念 教学用具 教学环节 二次备课 复习 什么叫做定义？举例说明．②什么叫命题？举例说明． 新课导入 观察下列命题，发现它们的结构有什么共同特征？
（1）如果两个三角形的三条边对应相等，那么这两个三角形全等．
（2）如果一个三角形是等腰三角形，那么这个三角形的两个底角相等．
（3）如果一个四边形的一组对边平行且相等，那么这个四边形是平行四边形．
（4）如果一个四边的对角线相等，那么这个四边形是矩形．
（5）如果一个四边形的两条对角线互相垂直，那么这个四边形是菱形．
总结命题的结构特征
（1）上述命题都是“如果……，那么……”的形式．
（2）“如果……”是已知的事项，“那么……”是由已知事项推断出的结论．
（3）一般地命题都可以写成“如果……,那么……”的形式，其中“如果”引出的部分是条件，“那么”引出的结论，每个命题都有条件和结论．
课 程 讲 授
活动一：
① 找出下述命题中的条件和结论，指出它们哪些是正确的命题？哪些是不正确的命题？你又是如何知道的呢？
（1）如果两个角相等，那么它们是对顶角；
（2）如果a＞b，b＞c，那么a＝c；
（3）两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等；
（4）菱形的四条边都相等；
（5）全等三角形的面积相等．
② 探究真假命题的验证
说明一个命题是假命题，通常举出一个反例就可以了，使之具备命题的条件，而不具有命题的结论，这种例子称为反例，但是要说明一个命题是正确的无论验证多少个特例，也无法保证命题的正确性．如何验证命题的正确性呢？
结论：正确的命题称为真命题，不正确的命题称为假命题．
活动二：
① 介绍《几何原本》、公理、定理等知识．
在数学发展史上，数学家们也遇到过类似的问题．公元前3世纪，人们已经积累了大量知识，在此基础上，古希腊数学家欧几里德（公元前300前后）编写了一本书，书名叫《原本》，为了说明每一结论的正确性，他在编写这本书时进行了大胆创新，挑选了一部分数学名词和一部分公认的真命题作为证实其它命题的起始依据，其中的数学名词称为原名，公认的真命题称为公理，除了公理外，其他真命题的正确性都通过推理的方法证实，推理的过程称为证明，经过证明的真命题称为定理，而证明所需要的定义、公理和其他定理都编写在要证明的这个定理的前面．
《原本》问世之前，世界上还没有一本数学书籍象《原本》这样编排，因此，《原本》是一部具有划时代意义的著作．
公理、定理、概念和证明的关系．
③ 介绍本教材的公理．
1.两点确定一条直线。
2.两点之间线段最短。
3.同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
4.两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行．
5.过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行.
6.两边及其夹角对应相等的两个三角形全等．
7.两角及其夹边对应相等的两个三角形全等．
8.三边对应相等的两个三角形全等．
此八条基本事实前面已详细探索过，不必验证它们的正确性，可以直接用来证实其它命题的正确性，另外一条我们将在以后认识它。此外等式和不等式的有关性质也可看作公理．比如：如果a=b，b=c，那么a=c．
④ 读一读《原本与几何原本》 小结 本节课的重点是了解命题中的真假命题、公理、定理的含义，通过学习学会区分命题的条件、结论，学会判别真、假命题，理解反例、证明等概念． 作业布置 课后练习：课本习题第 1、2、3题 板书设计 课后反思
有关概念、公理
条件1
定理1
有关概念、公理
条件2
定理2
定理3
……
……
第二课时
【教学目标】
一、教学知识点
．命题的组成.
．命题真假的判断。
二、能力训练要求：
．使学生能够分清命题的条件和结论，能判断命题的真假
．通过举例判定一个命题是假命题，使学生学会反面思考问题的方法
三、情感与价值观要求：
．通过反例说明假命题，使学生认识到任何事情都是正反两方面对立统一
．帮助学生了解数学发展史，拓展视野，激发学习兴趣
．通过对《原本》介绍，使学生感受数学发展史和人类文明价值
【教学重点】准确的找出命题的条件和结论
【教学难点】理解判断一个真命题需要证明
【教学方法】探讨、合作交流
【教具准备】投影片
【教学过程】
一、情景创设、引入新课 师：如果这个星期不下雨，我们就去郊游，这是命题吗？分析这句话，这个周日，我们郊游一定能成行吗？为什么？ 新课： （）观察下列命题，你能发现这些命题有什么共同结构特征？与同伴交流。 ．如果两个三角形的三条边对应相等，那么这两个三角形全等。 ．如果一个四边形的一组对边平行且相等，那么这个四边形是平行四边形。 ．如果一个三角形是等腰三角形，那么这个三角形的两个底角相等。 ．如果一个四边形的对角线相等，那么这个四边形是矩形。 ．如果一个四边形的两条对角线相互垂直，那么这个四边形是菱形。 师：由此可见，每个命题都是由条件和结论两部分组成的，条件是已知的事项，结论是由已知事项推出的事项。一般地，命题都可以写成“如果……那么……”的形式，其中“如果”引出部分是条件，“那么”引出部分是结论。 二、例题讲解： 例：师：下列命题的条件是什么？结论是什么？ ．如果两个角相等，那么他们是对顶角； ．如果>，>，那么； ．两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等； ．菱形的四条边都相等； ．全等三角形的面积相等。 例题教学建议：：其中（）、（）请学生直接回答，（）、（）、（）请学生分成小组交流然后回答。 ：有的命题的描述没有用“如果……那么……”的形式，在分析时可以扩展成这种形式，以分清条件和结论。 例：上述命题哪些是正确的，哪些是不正确的？你是怎么知道它是不正确的？与同伴交流。 师：正确的命题叫真命题，不正确的命题叫假命题。要说明一个命题是假命题，通常可以举一个例子，使之具备命题的条件，却不具备命题的结论，即反例。 教学建议：对于反例的要求可以采取启发式层层递进方式给出，即：说明命题错误可以举例→综合命题（）、（）的两例，两例条件具备→例子结论不吻合→给出如何举反例要求。 三、思维拓展： 拓展．师：如何证实一个命题是真命题呢？请同学们分小组交流一下。 教学建议：不急于解决学生怎么证实真命题的问题，可按以下程序设计教学过程 （）首先给学生介绍欧几里得的《原本》 （）引出概念：公理、定理，证明 （）启发学生，现在如何证实一个命题的正确性 （）给出本套教材所选用如下个命题作为公理 （）等式性质、不等式有关性质，等量代换也看作定理。 拓展．师：任何公理、定理是命题吗？是真命题吗？为什么？ 建议：在学生回答后归纳总结：公理是经过长期实践验证的，不需要再进行推理论证都承认的真命题。定理是经过推理论证的真命题。 练习书 习题 四、问题式总结 师：经过本节课我们在一起共同探讨交流，你了解了有关命题的哪些知识？ 建议：可对学生进行提示性引导，如：命题的构成特点、命题是否都正确、如何判断一个命题是假命题、如何证实一个命题是真命题。 作业：书 习题 、 板书设计： 定义与命题 条件 ．命题的结构特征 结论 ．假命题——可以举反例 ．命题真假的判别 ．真命题——需要证明 | 学生活动一—— 探索命题的结构特征 学生观察、分组讨论，得出结论： （）这五个命题都是用“如果……那么……”形式叙述的 （）这五个命题都是由已知得到结论 （）这五个命题都有条件和结论
学生活动二—— 探索命题的条件和结论 生：命题、如果部分是条件，那么部分是结论；命题如果两个三角形两角和其中一角对边对应相等是条件，那么这两个三角形全等是结论；命题如果是菱形是条件，那么四条边相等是结论；命题如果两三角形全等是条件，那么面积相等是结论。
学生活动三 探索命题的真假——如何判断假命题 生：可以举一个例子，说明命题是不正确的，如图：
已知：∠，∠∠，∠，∠不是对顶角 生：命题，若，此时>，>，但≠ 生：由此说明：命题、是不正确的 生：命题、、是正确的
学生活动四 探索命题的真假——如何证实一个命题是真命题 学生交流： 生：用我们以前学过的观察、实验、验证特例等方法 生：这些方法往往并不可靠 生：能够根据已知道的真命题证实呢？ 生：那已经知道的真命题又是如何证实的？ 生：那可怎么办呢？
生：可通过证明的方法 学生分小组讨论得出结论
生：命题的结构特征：条件和结论 生：命题有真假之分 生：可以通过举反例的方法判断假命题 生：可通过证明的方法证实真命题 |
导学案
【学习目标】1.理解定义的概念及根本特性，知道定义的叙述方式；
2.理解命题的概念，知道命题的叙述方式及组成；
3.会判断命题的真假。
【知识链接】
【导学过程】
（1）自主学习、预习导学指导
学法指导 | 自主学习任务 |
自主学习
| 1、对名称和术语的含义加以描述，作出明确的规定，也就是给出它们的____________。 （1）“具有中华人民共和国国籍的人，叫做中华人民共和国公民”是“中华人民共和国公民”的_________。 (2)“两点之间线段的长度，叫做这两点之间的距离”是____________的定义 （3）_________________________________________是“无理数”的定义。 (4)“等腰三角形”的定义是_________________________________________。 （5）“多边形”的定义是_____________________________________________。 |
小组讨论 | 2、下面的语句中，哪些语句对事情作出了判断，哪些没有？与同伴交流。 （1）任何一个三角形一定有一个角是直角； （2）对顶角相等； （3）无论n为怎样的自然数，式子的值都是质数； （4）如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行； （5）你喜欢数学吗？ （6）作线段AB=CD。 判断一件事的句子，叫做命题。反之一个句子没有对某一件事情作出任何判断，那么它就不是命题。 3.观察下列命题，你能发现这些命题有什么共同的结构特征？与同伴进行交流。 （1）如果一个三角形是等腰三角形，那么这个三角形的两底角相等； （2）如果a=b,那么； （3）如果两个三角形中有两边和一个角分别相等，那么这两个三角形全等。
一般的，每个命题都由________________和________________两部分组成。________________是已知的事项，________________是由已知的事项推断出的事项，命题通常可以写成__________________________的形式，其中“如果”引出的部分是________________，“那么”引出的部分是________________。 |
合作展示、探究提升
指出下列各命题的条件和结论，其中哪些命题是错误的？你是如何判断的？与同伴进行交流。
（1）如果两个角相等，那么它们是对顶角；
（2）如果a≠b,b≠c,那么a≠c;
（3）全等三角形的面积相等；
（4）如果室外气温低于0℃，那么地面上的水一定会结冰。
正确的命题称为________________，不正确的命题称为________________。要说明一个命题是假命题，常常可以举出一个例子，使它具备命题的条件，而不具有命题的结论，这种例子称为________________。
【达标检测】
1.下列命题中，属于定义的是( )
A.两点确定一条直线 B. 点到直线的距离是该点到这条直线的垂线段的长度
C.两直线平行，内错角相等 D. 同角或等角的余角相等21世纪
2、下列句子哪些是命题？哪些不是命题？
（1）动物都需要水. （ ）
（2）猴子是动物的一种. （ ）
（3）玫瑰花是动物. （ ）
（4）美丽的天空. （ ）
（5）三个角对应相等的两个三角形一定全等. （ ）
（6）负数都小于零. （ ）
（7）你的作业做完了吗? （ ）
（8）所有的质数都是奇数. （ ）
3.下列命题的条件和结论分别是什么？
（1）如果两个三角形的两边及其夹角分别相等，那么这两个三角形全等；
（2）如果一个三角形中有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形；
（3）直角三角形的两锐角互余；
（4）两直线平行，同位角相等；
【总结反馈】
自评：
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