北师大版八上数学7.5 三角形内角和定理 知识点精讲
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知识点总结
三角形内角和定理
三角形内角和定理：三角形的内角和等于180°
推论：直角三角形的两个锐角互余。
注意：三角形的三个角中至少有2个锐角，最多有1个钝角，最多有1个直角。
三角形的外角
1、三角形的外角定义：三角形的一边与另一边的延长线所组成的角，叫做三角形的外角，外角的特征有三：(1)顶点在三角形的一个顶点上;(2)一条边是三角形的一边;
(3)另一条边是三角形某条边的延长线。
2、三角形外角的两个推论：
定理1：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。
定理2：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。
注意：由一个基本事实或定理直接推出的定理，叫做这个基本事实或定理的推论，推论可以当做定理使用。
导学复习提纲
1．理解三角形内角和定理的证明方法；
2．掌握三角形内角和定理及三角形的外角性质；
3．能够运用三角形内角和定理及三角形的外角性质进行相关的计算，证明问题.
【要点梳理】
要点一、三角形的内角和
三角形内角和定理：三角形的内角和为180°．
要点诠释：应用三角形内角和定理可以解决以下三类问题：
①在三角形中已知任意两个角的度数可以求出第三个角的度数；
②已知三角形三个内角的关系，可以求出其内角的度数；
③求一个三角形中各角之间的关系．
要点二、三角形的外角
1．定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角．如图，∠ACD是△ABC的一个外角.
要点诠释：
(1)外角的特征：①顶点在三角形的一个顶点上；②一条边是三角形的一边；③另一条边是三角形某条边的延长线．
（2）三角形每个顶点处有两个外角，它们是对顶角．所以三角形共有六个外角，通常每个顶点处取一个外角，因此，我们常说三角形有三个外角．
2．性质：
（1）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．
（2）三角形的一个外角大于任意一个与它不相邻的内角．
要点诠释：三角形内角和定理和三角形外角的性质是求角度及与角有关的推理论证明经常使用的理论依据．另外，在证角的不等关系时也常想到外角的性质．
3.三角形的外角和：
三角形的外角和等于360°.
要点诠释：因为三角形的每个外角与它相邻的内角是邻补角，由三角形的内角和是180°，可推出三角形的三个外角和是360°．
【典型例题】
类型一、三角形的内角和
1．证明：三角形的内角和为180°.
【答案与解析】
解：已知：如图，已知△ABC，求证：∠A+∠B+∠C＝180°.
证法1：如图1所示，延长BC到E，作CD∥AB．因为AB∥CD（已作），所以∠1=∠A（两直线平行，内错角相等），∠B=∠2（两直线平行，同位角相等）．
又∠ACB+∠1+∠2=180°（平角定义），
所以∠ACB+∠A+∠B=180°（等量代换）．
证法2：如图2所示，在BC边上任取一点D，作DE∥AB，交AC于E，DF∥AC，交AB于点F．
因为DF∥AC（已作），
所以∠1=∠C（两直线平行，同位角相等），
∠2=∠DEC（两直线平行，内错角相等）．
因为DE∥AB（已作）．
所以∠3=∠B，∠DEC=∠A（两直线平行，同位角相等）．
所以∠A=∠2（等量代换）．
又∠1+∠2+∠3=180°（平角定义），
所以∠A+∠B+∠C=180°（等量代换）．
证法3：
如图3所示，过A点任作直线l1，过B点作l1∥l2，过C点作l3∥l1，因为l3∥l1（已作）．
所以∠l=∠2（两直线平行，内错角相等）． 同理∠3=∠4．又l1∥l2（已作），
所以∠5+∠1+∠6+∠4=180°（两直线平行，同旁内角互补）．
所以∠5+∠2+∠6+∠3=180°（等量代换）．
又∠2+∠3=∠ACB，
所以∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°（等量代换）．
证法4：如图4，将ΔABC的三个内角剪下，拼成以C为顶点的平角.
【总结升华】三角形内角和定理的证明方法有很多种，无论哪种证明方法，都是应用的平行线的性质.
2.（2016春宜兴市校级月考）如图，BE是∠ABD的平分线，CF是∠ACD的平分线，BE与CF交于G，若∠BDC=140°，∠BGC=110°，则∠A为（ ）
A．70° B．75° C．80° D．85°
【思路点拨】首先根据三角形的内角和定理，求出∠1+∠2=40°，∠1+∠2+∠3+∠4=70°；然后判断出∠3+∠4=30°，再根据BE是∠ABD的平分线，CF是∠ACD的平分线，判断出∠5+∠6=30°；最后根据三角形的内角和定理，用180°减去∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6的度数，求出∠A为多少度即可．
【答案与解析】
解：如图，
∵∠BDC=140°，
∴∠1+∠2=180°﹣140°=40°，
∵∠BGC=110°，
∴∠1+∠2+∠3+∠4=180°﹣110°=70°，
∴∠3+∠4=70°﹣40°=30°，
∵BE是∠ABD的平分线，CF是∠ACD的平分线，
∴∠3=∠5，∠4=∠6，
又∵∠3+∠4=30°，
∴∠5+∠6=30°，
∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6
=（∠1+∠2+∠3+∠4）+（∠5+∠6）
=70°+30°
=100°
∴∠A=180°﹣100°=80°．
故选：C．
【总结升华】此题主要考查了三角形的内角和定理，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：三角形的内角和是180°．
总结：本篇文章主要讲解了三角形的内角和，对于初次学习几何三角形的人来说是非常的大的帮助，其次本篇文章的学习也较简单，要点1：主要考察三角形的内角和为180度。
要点2:主要考察三角形的外角等于不相邻的两个内角和。
如图，△ABC的两内角平分线交于点P，∠A=50°，则∠BPC=（ ）
解析：
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