抛物线与平移对称（1）——中考备考系列[尖子生之路]

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抛物线与平移对称（1）

——中考备考系列

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【试题1】如图，过抛物线y=0.25x²﹣2x上一点A作x轴的平行线，交抛物线于另一点B，交y轴于点C，已知点A的横坐标为﹣2．

（1）求抛物线的对称轴和点B的坐标；

（2）在AB上任取一点P，连结OP，作点C关于直线OP的对称点D；

①连结BD，求BD的最小值；

②当点D落在抛物线的对称轴上，且在x轴上方时，求直线PD的函数表达式．

【图文解析】

（1）常规题，简析如下：

法一：由题意A（﹣2，5），对称轴x=4，(根据对称轴为直线x=－b/2a)

∵A、B关于对称轴对称，∴B（10，5）．

法二：先求出A（﹣2，5），把y=5代入原解析式，得0.25x²﹣2x＝5，即x²﹣8x－20＝0，解得x₁=－2，x₂=10，∴B（10，5）．

（2）①如下图示，当点P在运动时，根据对称的性质知，OD＝OC＝5（为定值），因此点D在以O为圆心OC为半径的圆上，所以当O、D、B共线时，BD的最小值为：

根据对称的性质，可添加如下图所示的辅助线；

反思：解题的关键是熟练掌握二次函数和对称的性质，结合因动点产生的D点运动路径为圆弧，因此可以利用辅助圆解决最短问题．

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【试题2】已知在平面直角坐标系x0y中，已知抛物线y=-x²+bx+c经过点A（2,2），对称轴是直线x=1，顶点为B.

（1）求这条抛物线的表达式和点B的坐标；

（2）点M在对称轴上，且位于顶点上方，设它的纵坐标为m，连接AM，用含m的代数式表示∠AMB的余切值；

（3）将该抛物线向上或向下平移，使得新抛物线的顶点C在x轴上.原抛物线上一点P平移后的对应点为点Q，如果OP=OQ，求点Q的坐标.

 所以cot∠AMB＝m－2(m＞3)即为所求的∠AMB的余切值.

（3）原抛物线y=－(x-1)²+3经过上下平移后顶点C落在x轴上，则C(1,0),其解析式为y=－(x-1)².

反思：抓住平移前后抛物线解析式的点坐标特征，同时当满足OP＝OQ时，点P与Q的坐标的进一步特征，是解决本题的关键。

拓展：第三问改为如下问题，思考一下如何解决？

（1）将该抛物线向上或向下平移，原抛物线上点A平移后的对应点为点D，如果OA=OD，求平移的抛物线解析式.

（2）将该抛物线向上或向下平移，原抛物线上点A平移后的对应点为点D，如果∠DBA=45°，求平移的抛物线解析式.

（给出图形的部分，供参考）

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