【中考冲刺】含参二次函数综合压轴选析——旋转、最值、抛物线与线段交点

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(2020.5.1晚，浙大优培线上直播的《几何画板学习要点与数学原理》视频，可关注公众号后，发送“直播回放”，点击进入观看！)

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（完整版）《中考专题复习》配套视频【试题】把函数C₁：y＝ax²﹣2ax﹣3a（a≠0）的图象绕点P（m，0）旋转180°，得到新函数C₂的图象，我们称C₂是C₁关于点P的相关函数．C₂的图象的对称轴与x轴交点坐标为（t，0）．（1）填空：t的值为　　（用含m的代数式表示）（2）若a＝﹣1，当0.5≤x≤t时，函数C₁的最大值为y₁，最小值为y₂，且y₁﹣y₂＝1，求C₂的解析式；（3）当m＝0时，C₂的图象与x轴相交于A，B两点（点A在点B的左侧）．与y轴相交于点D．把线段AD原点O逆时针旋转90°，得到它的对应线段A′D′，若线A′D′与C₂的图象有公共点，结合函数图象，求a的取值范围．

【图文解析】

（1）思路：通过配方，先求得C₁的顶点坐标，再将顶点绕点P（m，0）旋转180°后，得C₂的顶点坐标，得C₂的图象的对称轴，进一步，得t的值。详细过程如下：

C₁：y＝ax²﹣2ax﹣3a＝a（x﹣1）²﹣4a，顶点为（1，﹣4a）.再通过全等或平移或中点公式（尽量不用，超纲！）求得：当顶点（1，﹣4a）围绕点P（m，0）旋转180°的对称点为（2m﹣1，4a），得C₂：y＝﹣a（x﹣2m+1）2+4a，

所以函数C₂的图象对称轴为x＝2m﹣1.即t＝2m﹣1，故答案为2m﹣1.

（2）a＝﹣1时，C₁：y＝（x﹣1）²﹣4，下面分三种情况：

①当0.5＜t＜1时，如下图示，结合图象，得：当x＝0.5时，有最小值y₂＝15/4；当x＝t时，有最大值y₁＝﹣（t﹣1）²+4.所以y₁﹣y₂＝﹣（t﹣1）²+4﹣15/4＝1，该方程无解；②当1≤t≤3/2时，如下图示.结合图象，得：x＝1时，有最大值y₁＝4；x＝0.5时，有最小值y₂＝﹣（t﹣1）²+4.
所以y₁﹣y₂＝（t﹣1）²＜1/4≠1，不合题意，舍去；③当t＞3/2时，如下图示：结合图象，得：当x＝1时，有最大值y₁＝4，x＝t时，有最小值y₂＝﹣（t﹣1）²+4，y₁﹣y₂＝（t﹣1）²＝1，解得t＝0或2（舍去0）.综上所述，C₂：y＝（x﹣2）²﹣4＝x²﹣4x.（3）当m＝0时，C₂：y＝﹣a（x+1）²+4a，
则A（-3，0）、B（1，0）、D（0，3a）、A′（0，-3）、D′（﹣3a，0）.结合图象，分三种情况：当a＞0时，a越大，则OD越大，则点D′越靠左，如下图示：当C₂过点D′时，即点D′和点A重合时，﹣3a＝-3，解得a＝1.
结合图象，得a≥1；当a＜0时，分两种情况：情况1：如下图示，当C₂过点A′时，y＝﹣a（0+1）²+4a＝-3，解得a＝-1.结合图象，得a<－1.情况2：如下图示，当C₂过点D′时，﹣3a＝1，解得a＝﹣1/3，结合图象，得-1/3≤a＜0；
综上所述，所求的a的取值范围为-1/3≤a＜0或a≥1或a≤﹣1．【拓展】把函数C₁：y＝ax²﹣2ax﹣3a（a≠0）的图象绕点P（m，0）旋转180°，得到新函数C₂的图象，我们称C₂是C₁关于点P的相关函数．C₂的图象的对称轴与x轴交点坐标为（t，0）．当a＝1时，C₂的图象与x轴相交于A，B两点（点A在点B的左侧）．与y轴相交于点D．把线段AD原点O逆时针旋转90°，得到它的对应线段A′D′，若线A′D′与C₂的图象有公共点，结合函数图象，求m的取值范围．（拓展内容仅提供教与研，不提供答案）

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