“随机抽样”中的两个易错点

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昨天在讲解高中数学必修三第二章《§2.1.1简单随机抽样》这一节习题时，发现有一道题学生错误率非常高。且看：

易错点一.用随机数表法从150名学生(男生75人)中抽选30人进行评教,某男生被抽到的可能性(    )  A.  1/150         B.1/ 75        C . 1/5         D.1/2

大部分同学选择了A，为什么呢？因为他们看到随机数表法抽取，以为每个个体抽取的概率是一样的。也有极少部分人选择D，他们认为既然男生75，自然某男生被抽到的概率为 1/2.这些都是错误的，正确的答案是C。

错误的原因是学生没有深刻理解简单随机抽样的本质，他们只注意到逐个不放回地抽取，却忽视了抽样比=n/N这个重要的特征，这才是“每个个体被抽到的可能性是一样的”本质。

易错点二 从学号为01～50的高一某班50名学生中随机选取5名同学参加数学测试，采用系统抽样的方法，则所选5名学生的学号可能是 （    ）

A．1，2，3，4，5      B、5，16，27，38，49   

 C．2, 4, 6, 8, 10    D、4，13，22，31，40

这个题很多同学在纠结是选B还是D，不少人两个都选了。正确答案是B

为什么？学生错误的原因还是没有深刻理解抽样的本质，即抽取的每个个体机会是均等的，系统抽样适合的条件一是总体比较大，二是总体比较“均衡”，教材举了某学校高一年级500名学生抽取50名学生对教师进行评教这个鲜活探究实例，目的是引导学生认识系统抽样是将总体分成均衡的若干组，再出每组中用简单随机抽样抽取一个个体。这个难就难在间隔本来可以恰好取到50/5=10，但答案中偏偏没有取10，一个是11，一个是9，间隔都相等的，那是不是都可以取得到呢？答案是否定的。

将这50个同学按学号编号后，分成了均衡的五个组，分别如下

01—10,11—20，21—30，31—40，51—50，

答案D中31和40均在第四组，第五组没有取到，所以取样失去了代表性，从而抽样不成功。

我评讲完后有学生问：是不是所选取的间隔小于10就都不可以，大于10就都可以呢？我让他尝试了几个例子后，反过来启发他当间隔不是k=N/n,实际间隔l应该如何取值呢？读者可以自行去思考。

再看一道题目：

（2016年广州一模理科）

13  一个总体中有60个个体，随机编号是0,1,2，...59,依编号顺序平均分成6个小组，组号为1,2,3，...6.现用系统抽样的方法抽取一个容量为6的样本。若在第1组中抽取的号码是3，则在第5组中抽取的号码是_______

这道题很多同学也是错了，这个是填空题第一题，本来是送分题，但是很多同学想当然写上53，白白丢失了5分。

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