点击上方蓝色字体“高中数学王晖”关注王晖老师，免费获取各种知识干货和学习经验~~~您的点赞转发是对老师的最大鼓舞~~~距高考还有82天笔者通常将圆锥曲线的准线与长轴或实轴的交点定义为特征点，针对圆锥曲线的特征点作如下几点归纳，虽均为常见形式，但期望对学生有所助益，更希望通过无字证明的方式，让学生体会数学的美丽。010102030201020303往期优质数学干货链接：【循序渐进】高中数学十大必会基础考点------提升高度的同时更要注重宽度！！！【锦上添花】圆锥曲线的齐次化处理------教你如何优化运算！！！【钟灵毓秀】“四种模型+一种思想”------完美解决数列通项问题！！！【聚沙成塔】学霸体验：拉格朗日中值定理及其应用------不等式证明的又一大利器！！！【笃志好学】数学备考的八大解题技巧------真的都是满满的套路！！！

点击上方蓝色字体“高中数学王晖”关注王晖老师，免费获取各种知识干货和学习经验~~~您的点赞转发是对老师的最大鼓舞~~~距高考还有82天往期优质数学干货链接：【雪中送炭】函数的单调性------超全的一篇汇总，没有之一！！！【追本溯源】为什么很多高中生学不好数学？？？因为有项能力连小学生都不如！！！【妙趣横生】魅力数字“1”在高考中的六大应用，怎一个“妙”字了得！！！【一览无余】巧用换元法求解各类题型汇总------真的是"涨"知识了！！！【水到渠成】利用函数表达式确认函数图像的这五大技巧，你都get到了吗？？？

点击上方蓝色字体“高中数学王晖”关注王晖老师，免费获取各种知识干货和学习经验~~~您的点赞转发是对老师的最大鼓舞~~~距高考还有84天往期优质数学干货链接：【雪中送炭】函数的单调性------超全的一篇汇总，没有之一！！！【追本溯源】为什么很多高中生学不好数学？？？因为有项能力连小学生都不如！！！【妙趣横生】魅力数字“1”在高考中的六大应用，怎一个“妙”字了得！！！【一览无余】巧用换元法求解各类题型汇总------真的是"涨"知识了！！！【水到渠成】利用函数表达式确认函数图像的这五大技巧，你都get到了吗？？？

点击上方蓝色字体“高中数学王晖”关注王晖老师，免费获取各种知识干货和学习经验~~~您的点赞转发是对老师的最大鼓舞~~~距高考还有86天往期优质数学干货链接：【雪中送炭】函数的单调性------超全的一篇汇总，没有之一！！！【追本溯源】为什么很多高中生学不好数学？？？因为有项能力连小学生都不如！！！【妙趣横生】魅力数字“1”在高考中的六大应用，怎一个“妙”字了得！！！【一览无余】巧用换元法求解各类题型汇总------真的是"涨"知识了！！！【水到渠成】利用函数表达式确认函数图像的这五大技巧，你都get到了吗？？？

点击上方蓝色字体“高中数学王晖”关注王晖老师，免费获取各种知识干货和学习经验~~~您的点赞转发是对老师的最大鼓舞~~~距高考还有87天要处理好数列的递推公式，首先要非常熟悉四种递推式模型的处理方法，剩下的就交给“化归思想”，对代数式进行相应的变形处理。等差型01迭代法02叠加法例题小试————等和型01迭代作差，分奇偶项例题小试————等比型01迭代法02累积法例题小试————等积型01迭代作商，分奇偶项例题小试————好了，有了这四个基本形式，那我们就可以依据它们，随心所欲地处理递推式的一般形式了。当然，其中对代数变形能力的考查，也是会让很多学生无从下手！▼变1称为常系数一阶线性式，但与等差型相比，也只是系数之间的差异，故首先考虑消除这种系数差异。常见两种变化方法:1.等式两边同除以An，将递推式转化为等差型，用叠加法或迭代法处理。2.用待定系数法，将递推式转化为等比型，利用等比数列通项公式处理。变2此递推式与常系数一阶线性式的区别，主要为an-1项系数不再为常数，故不能再按“变1”的方式进行改造,但依照化归思路，必须将其通过代数变形后，转化为四种基本形式之一。此种形式递推式常用待定系数法将其转化为变3此递推公式与一阶线性式的区别，仅是多了一个项，故可先将其转化为“常系数一阶线性式”，再进行处理，转化为“常系数一阶线性式”时依然用待定系数法。特别补充①形如形式递推公式称为二阶常系数齐次线性递推式这种形式递推式可用特征根法▼特征方程为当然如果在实数范围内无解时可用虚根高中阶段一般不研究变4这种常系数非齐次递推公式，主要思路首先要将项的次数降为齐次，主要方法可采用等式两边取对数，将递推式转化为四种基本形式之一。变5此递推式与“变4”相同之处为“常系数二次非齐次式”，但等式两边不为乘方形式，达不到两边取对数的条件，故首先考虑将式子两边都整理为这样，就可以取对数了。变6这种含有交叉项的“常系数二次非齐次式”，首先当然要考虑消除交叉项了，因为这样就可以转化为前面的某些形式。因为没有常数项，一般可有两种思路：1.两边同时除以交叉项，达到转化为“常系数一阶线性式”：再构造等差型或等比型处理。2.将等式转化为分式型：再通过取倒数，达到化为“常系数一阶线性式”，再构造等差型或等比型处理。变7和“变6”相比，递推式中不仅有交叉项，同时有常数项，此式已不再具备两边同除以交叉项的条件，但转化为分式型：因分子中出现常数项，也不符合“变6”取倒数的条件，这时就需要用到待定系数法，构造取倒条件。特别补充②形如

点击上方蓝色字体“高中数学王晖”关注王晖老师，免费获取各种知识干货和学习经验~~~您的点赞转发是对老师的最大鼓舞~~~距高考还有88天资料来源公众号：数学第六感往期优质数学干货链接：【雪中送炭】函数的单调性------超全的一篇汇总，没有之一！！！【追本溯源】为什么很多高中生学不好数学？？？因为有项能力连小学生都不如！！！【妙趣横生】魅力数字“1”在高考中的六大应用，怎一个“妙”字了得！！！【一览无余】巧用换元法求解各类题型汇总------真的是"涨"知识了！！！【水到渠成】利用函数表达式确认函数图像的这五大技巧，你都get到了吗？？？

点击上方蓝色字体“高中数学王晖”关注王晖老师，免费获取各种知识干货和学习经验~~~您的点赞转发是对老师的最大鼓舞~~~距高考还有93天单调性的基础知识点单调性定义：一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1，x2，当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数；当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数。备注：用定义表示函数单调性的两种变式：单调性定义的理解：需要准确理解单调性定义中的“任意”两个字，不能仅仅通过定义域内的一组或几组函数值的大小比较来判断整个定义域内的单调性。谨防误区：很多学生看到这个图像之后认为，函数在定义域内是单调递减的，这种说法是不正确的！！！结合图像可知，此函数不是连续的，在“x＞0部分f(x)的值”均比“x＜0部分f(x)的值”大，这与减函数的定义相矛盾。准确的说法应该是f(x)在(-∞，0)和(0，+∞)上单调递减。备注：如果函数f(x)单调性相同的区间不止一个时，不能用并集表示，区间之间要用“和”或者"，"隔开。例如上面的反比例函数，f(x)的单调递减区间应写成：“(-∞，0)和(0，+∞)”或者“(-∞，0)，(0，+∞)”，切记不可以写成：(-∞，0)∪(0，+∞)。同理对于正切函数y=tanx，同样不能笼统的说它是单调递增函数，因为这个函数同样是不连续的，只能说它是在特定区间内是单调递增的。单调性的判断方法单调性的判定方法主要有两种：定义法和导数法

点击上方蓝色字体“高中数学王晖”关注王晖老师，免费获取各种知识干货和学习经验~~~您的点赞转发是对老师的最大鼓舞~~~距高考还有95天由于本人文字功底严重不足，索性在平时写推文时，尽量把想要传递的信息用数学语言表达。但是在最近的教学中，学生不足的计算能力完全超出了我的容忍极限(气到吐血)，所以决定将这些计算错误的各种翻车写成一篇文章，用于提醒其他学生。学生在计算过程中出错，主要分为两大类：01迷之自信：能用脑算的，绝不动笔！！！①

点击上方蓝色字体“高中数学王晖”关注王晖老师，免费获取各种知识干货和学习经验~~~您的点赞转发是对老师的最大鼓舞~~~距高考还有97天来源公众号：数学第六感往期优质数学干货链接：【妙趣横生】魅力数字“1”在高考中的六大应用，怎一个“妙”字了得！！！【意韵悠长】《直线与抛物线的位置关系》的“教学设计+针对练习+PPT课件”，这组合绝对是授课的精品！！！【虚怀若谷】含参的二次函数为什么一直是高考的高频考点？？？因为它包含这六大关注点和三大经典题型！！！【炉火纯青】无理型函数求值域的三大解法------最后一种竟然用的是“构造向量”，简直太出彩了！！！【水到渠成】利用函数表达式确认函数图像的这五大技巧，你都get到了吗？？？

点击上方蓝色字体“高中数学王晖”关注王晖老师，免费获取各种知识干货和学习经验~~~您的点赞转发是对老师的最大鼓舞~~~距高考还有100天往期优质数学干货链接：【意韵悠长】《直线与抛物线的位置关系》的“教学设计+针对练习+PPT课件”，这组合绝对是授课的精品！！！【虚怀若谷】含参的二次函数为什么一直是高考的高频考点？？？因为它包含这六大关注点和三大经典题型！！！【炉火纯青】无理型函数求值域的三大解法------最后一种竟然用的是“构造向量”，简直太出彩了！！！【抛砖引玉】极坐标视角下的焦半径，到底隐藏着多少秘密？？？【水到渠成】利用函数表达式确认函数图像的这五大技巧，你都get到了吗？？？

点击上方蓝色字体“高中数学王晖”关注王晖老师，免费获取各种知识干货和学习经验~~~您的点赞转发是对老师的最大鼓舞~~~距高考还有101天数字“1”在高中数学中有着非常重要的地位，巧用数字“1”代换求解题目屡见不鲜，它在“三角部分”、“单位圆”、“单位向量”、“基本不等式”、“概率统计”和“特殊值法”这六大块中应用非常广泛，接下来将一一举例详细说明。1.在三角部分的应用在三角部分有一个非常重要的等式，即：sin2α+cos2α=1，它在求解三角函数值，构造齐次式，三角换元以及直线，圆和椭圆参数方程中应用非常广泛，具体如下：(1)求特定角的正弦、余弦值(2)构造齐次式(3)三角换元(4)参数方程直线的参数方程：圆、椭圆的参数方程：2.在单位圆中的应用半径为1的圆叫做单位圆，在通常情况下，我们默认直角坐标系的原点即为单位圆的圆心，所以单位圆的方程为：x2+y2=1。3.在单位向量中的应用4.在基本不等式中的应用“1”的巧妙代换，在基本不等式中具有重要的作用。5.在概率统计中的应用离散型随机变量分布列的一个重要性质为：p1+p2+……+pn=1对于求解离散型随机变量分布列各取值的概率时，遇到某种情况相对复杂，可以借助所有概率之和为“1”来的性质，辅助算出其对应的概率。在特殊值法中的应用数字“1”经常作为特殊值，对求解参数的范围或取值，函数或导函数的零点，以及二项式的系数等方面有很大的帮助。往期优质数学干货链接：【意韵悠长】《直线与抛物线的位置关系》的“教学设计+针对练习+PPT课件”，这组合绝对是授课的精品！！！【虚怀若谷】含参的二次函数为什么一直是高考的高频考点？？？因为它包含这六大关注点和三大经典题型！！！【炉火纯青】无理型函数求值域的三大解法------最后一种竟然用的是“构造向量”，简直太出彩了！！！【抛砖引玉】极坐标视角下的焦半径，到底隐藏着多少秘密？？？【水到渠成】利用函数表达式确认函数图像的这五大技巧，你都get到了吗？？？

在这个过程中，进一步用坐标法解决一些与抛物线有关的简单几何问题，进一步感受数形结合的基本思想.通过坐标系，把点和坐标、曲线和方程联系起来，实现数和形的统一.(二)差异视角下直线与抛物线的位置关系

点击上方蓝色字体“高中数学王晖”关注王晖老师，免费获取各种知识干货和学习经验~~~您的点赞转发是对老师的最大鼓舞~~~距高考还有107天含参二次函数的六大关注点关注点一：开口方向关注点二：对称轴关注点三：因式分解关注点四：判别式△关注点五：韦达定理关注点六：过已知定点经典题型---单调性一元二次函数的单调性主要与函数的开口方向和对称轴的位置有关。在解题过程中需要熟练运用分类讨论思想。经典题型---最值和值域一元二次函数的最值和值域主要与函数的开口方向，对称轴的位置以及所给区间范围有关，具体如下表：经典题型---零点分布针对二次函数的零点问题，主要有以下两类题型：1.

点击上方蓝色字体“高中数学王晖”关注王晖老师，免费获取各种知识干货和学习经验~~~您的点赞转发是对老师的最大鼓舞~~~距高考还有115天题型一：在向量中的应用题型二：在解析几何中的应用题型三：在无理函数中的应用题型四：在多元函数中的应用题型五：在分式型函数中的应用以上资料转自公众号“数学第六感”。往期优质数学干货链接：【炉火纯青】无理型函数求值域的三大解法------最后一种竟然用的是“构造向量”，简直太出彩了！！！【抛砖引玉】极坐标视角下的焦半径，到底隐藏着多少秘密？？？【水到渠成】利用函数表达式确认函数图像的这五大技巧，你都get到了吗？？？【大放异彩】空间向量在立体几何中的运用到底有多广？？？答曰：每一种类型题都能解！！！【心旷神怡】一遇到抽象函数就蒙圈？？？这九大问题的求解策略或许可以帮到你！！！

点击上方蓝色字体“高中数学王晖”关注王晖老师，免费获取各种知识干货和学习经验~~~您的点赞转发是对老师的最大鼓舞~~~距高考还有117天根式的处理方法“有根号的要去根号”，所以我们首先要知道去根号的方法主要有哪些。我认为，按照初中根式的相关知识，课本当中介绍的去根号主要有两种办法：乘方和配方。也就是下面的这两个公式了。分析如果要用配方法去根号，根式下必须为二次式。本题根式下都是一次式，要想去根号可以考虑两种方式：一是根式下代数式进行升幂，由一次变为二次；二是直接将等式两边平方。三角换元三角函数有界性应用其实，只要函数的定义域是有界的，我们都可以利用三角函数的有界性去进行三角换元，同时利用二倍角公式的特点进行升幂，从而达到将一次式变为二次式的目的。比如：3

点击上方蓝色字体“高中数学王晖”关注王晖老师，免费获取各种知识干货和学习经验~~~您的点赞转发是对老师的最大鼓舞~~~距高考还有128天不同种元素分组问题将n个不同元素按照某些条件分成k组，称为分组问题。分组问题有平均分组、不平均分组、和部分平均分组三种情况。1.

点击上方蓝色字体“高中数学王晖”关注王晖老师，免费获取各种知识干货和学习经验~~~您的点赞转发是对老师的最大鼓舞~~~距高考还有132天往期优质数学干货链接：【大放异彩】空间向量在立体几何中的运用到底有多广？？？答曰：每一种类型题都能解！！！【标新立异】借助坐标伸缩变换解决椭圆的七大问题------“巧妙”中带着一丝“妖娆”！！！【琳琅满目】立体几何平行证明的四大必杀绝技------赞！很赞！！非常赞！！！【深藏不露】借助动图判断二面角的大小(锐角or钝角)------超级形象，速速收藏！！！【踔绝之能】巧用“等和线”解决平面向量问题，怎一个“妙”字了得！！！【博学多才】筷子夹汤圆，夹出一个美丽的"蒙日圆"，真是太神奇了！！！

点击上方蓝色字体“高中数学王晖”关注王晖老师，免费获取各种知识干货和学习经验~~~您的点赞转发是对老师的最大鼓舞~~~距高考还有133天五大技巧根据函数解析式确认函数图像一直是高考的热点，主要以选择题的形式出现。掌握下面这五个技巧，便可快速判断函数的图像。技巧一：定义域影响函数定义域的限制条件主要有：①分式中的分母不为0②偶次方根下的式子大于等于0③对数函数的真数大于0④

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点击上方蓝色字体“高中数学王晖”关注王晖老师，免费获取各种知识干货和学习经验~~~您的点赞转发是对老师的最大鼓舞~~~距高考还有147天必备知识椭圆的第二定义：当一个动点与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数e(0＜e＜1)时，这个点的轨迹是椭圆。其中，定点是椭圆的焦点，定直线叫做椭圆的准线，常数是椭圆的离心率。备注：可见椭圆的离心率就是椭圆上的点到焦点的距离与到相应准线的距离之比，这也就是离心率的几何意义。双曲线的第二定义：当一个动点与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数e(e＞1)时，这个点的轨迹是双曲线。其中，定点是双曲线的焦点，定直线叫做双曲线的准线，常数是双曲线的离心率。椭圆焦半径：双曲线焦半径：

点击上方蓝色字体“高中数学王晖”关注王晖老师，免费获取各种知识干货和学习经验~~~您的点赞转发是对老师的最大鼓舞~~~距高考还有155天以上资料源于“乐学数韵”往期优质数学干货链接：【手不释书】立体几何添加辅助线的常用策略------让您的收藏夹中又多出一项新的技能！！！【大放异彩】空间向量在立体几何中的运用到底有多广？？？答曰：每一种类型题都能解！！！【琳琅满目】立体几何平行证明的四大必杀绝技------赞！很赞！！非常赞！！！【深藏不露】借助动图判断二面角的大小(锐角or钝角)------超级形象，速速收藏！！！【精进不休】基本不等式应用不够熟练？这六种技巧教你如何逆袭！！！【博学多才】筷子夹汤圆，夹出一个美丽的"蒙日圆"，真是太神奇了！！！

点击上方蓝色字体“高中数学王晖”关注王晖老师，免费获取各种知识干货和学习经验~~~您的点赞转发是对老师的最大鼓舞~~~距高考还有157天类型1：凑配+基本不等式类型2：因式分解+基本不等式类型3：待定系数+基本不等式类型4：换元+基本不等式类型5：乘“1”+基本不等式类型6：平方+基本不等式往期优质数学干货链接：【手不释书】立体几何添加辅助线的常用策略------让您的收藏夹中又多出一项新的技能！！！【大放异彩】空间向量在立体几何中的运用到底有多广？？？答曰：每一种类型题都能解！！！【标新立异】借助坐标伸缩变换解决椭圆的七大问题------“巧妙”中带着一丝“妖娆”！！！【只争朝夕】放缩有道------导数中的基本不等式及其应用，超级全面！！！【踔绝之能】巧用“等和线”解决平面向量问题，怎一个“妙”字了得！！！【博学多才】筷子夹汤圆，夹出一个美丽的"蒙日圆"，真是太神奇了！！！

必备知识首先要知道三角函f(x)=Asin(ωx+φ)中三个参数对图像形状的影响一般情况下：接下来一起感受下针对求解ω范围常见的三大题型与单调性有关

点击上方蓝色字体“高中数学王晖”关注王晖老师，免费获取各种知识干货和学习经验~~~您的点赞转发是对老师的最大鼓舞~~~距高考还有160天类型一：建立平行关系通过三角形的中位线或者平行四边形构造线线的平行关系，对于求解线面平行，面面平行，线面垂直，面面垂直，异面直线夹角以及共面问题均有很大的帮助。1"配中点"利用中位线建立平行关系2构造平行四边形建立平行关系类型二：建立垂直关系通过等腰三角形底边中线，三垂线定理或者面面垂直构造线线的垂直关系，对于求解线线垂直，线面垂直，面面垂直，线面夹角和二面角，甚至几何体的外接球半径问题都有显著的影响。1等腰三角形---做底边的垂线2三垂线定理---直接作垂线3面面垂直---做交线的垂线类型三：建立共线、共面关系对于求解部分垂直，共线、共面以及无棱二面角的问题，通常需要在已知几何体外添加辅助线来协助求解。往期优质数学干货链接：【大放异彩】空间向量在立体几何中的运用到底有多广？？？答曰：每一种类型题都能解！！！【标新立异】借助坐标伸缩变换解决椭圆的七大问题------“巧妙”中带着一丝“妖娆”！！！【琳琅满目】立体几何平行证明的四大必杀绝技------赞！很赞！！非常赞！！！【深藏不露】借助动图判断二面角的大小(锐角or钝角)------超级形象，速速收藏！！！【踔绝之能】巧用“等和线”解决平面向量问题，怎一个“妙”字了得！！！【博学多才】筷子夹汤圆，夹出一个美丽的"蒙日圆"，真是太神奇了！！！

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点击上方蓝色字体“高中数学王晖”关注王晖老师，免费获取各种知识干货和学习经验~~~您的点赞转发是对老师的最大鼓舞~~~距高考还有178天共线、共面的证明1共线证明平面向量共线定理：对于非零向量a和向量b，如果存在唯一实数λ，使得b=λa，则向量a和向量b共线。例题：设E，F，G，H分别为正方体ABCD-A1B1C1D1的棱C1D1，A1D1，CC1，AB，的中点，且M是FG的中点，求证：E，M，H三点共线2共面证明空间向量共面定理：如果两个非零向量a，b，存在有序实数组(x，y)，使得c=xa+yb，那么向量c与向量a，b共面例题：如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为4，点E在AA1上，点F在CC1上，且AE=FC1=1，求证：E，B，F，D1四点共面。平行证明1线线平行已知直线p，q，且p，q的方向向量分别是向量a，b，要证明p∥q，即证明a=λb即可。例题：已知不重合的两条直线m，n，又直线m所在直线的方向向量为a=(0，2，4)，直线n所在直线的方向向量为b=(0，-1，-2)，试求直线m与n的位置关系。解：根据题意可得：a=-2b又m，n不重合，∴m∥n2线面平行已知直线p，平面ɑ，且直线p的方向向量为a，平面ɑ的法向量为n，要证明p∥ɑ，即证明a∙n=0即可。例题：如图，直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是正方形，AA1=4，AB=2，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点，证明：MN∥面C1DE3面面平行已知平面ɑ，β，且两个平面的法向量分别为m，n，要证明ɑ∥β，即证明m=λn即可。例题：如图，矩形ABCD和梯形BEFG所在平面互相垂直，且BE∥CF，∠BCF=90°，AD=√3，EF=2，求证：平面ABE∥平面DCF。垂直证明1线线垂直已知直线p，q，且这两条直线的方向向量分别为a，b，要证明p⊥q，即证明a∙b=0即可。例题：如图所示，已知四棱锥P-ABCD

点击上方蓝色字体“高中数学王晖”关注王晖老师，免费获取各种知识干货和学习经验~~~您的点赞转发是对老师的最大鼓舞~~~距高考还有179天来源：数学三剑客（ID：Math-119）；作者：宋波在高中数学新课标选修

点击上方蓝色字体“高中数学王晖”关注王晖老师，免费获取各种知识干货和学习经验~~~您的点赞转发是对老师的最大鼓舞~~~距高考还有188天数量积是向量的一种高级运算。但其实，数量积运算与向量的加法及减法运算也是有着极强的关联性的。最直观的关联恐怕就是平方差了，也叫广义平方差。它是下面这个样子的：其实，这还不是最好的形式，如果将它放在三角形中，结合向量的三角形法则和平行四边形法则，倒是可以很潇洒地找找它的几何意义。如下图：已知在△ABC中，M是BC的中点则有：又M是BC的中点：如是，通过推导就得到了下面这个非常漂亮的结论：不知为什么，有人把它叫做极化恒等式，但不管怎么说，这个结论还是挺让人满意的。当然，如果你看见它秒杀一类数量积问题，才会发自内心的为它叫好。实例分析01

点击上方蓝色字体“高中数学王晖”关注王晖老师，免费获取各种知识干货和学习经验~~~您的点赞转发是对老师的最大鼓舞~~~距高考还有190天以下资料源于公众号“”品数学立体几何中的折叠问题是历年高考命题的一大热点与难点,主要包括两个方面：一是平面图形的折叠问题,多涉及到空间中的线面关系、体积的求解以及空间角、距离的求解等问题；二是几何体的表面展开问题,主要涉及到几何体的表面积以及几何体表面上的最短距离等.平面图形的折叠解答折叠问题的关键在于画好折叠前后的平面图形与立体图形,抓住两个关键点：不变的线线关系、不变的数量关系.不变的线线关系,尤其是平面图形中的线线平行、线线垂直关系是证明空间平行、垂直关系的起点和重要依据；不变的数量关系是求解几何体的数字特征,如几何体的表面积、体积、空间中的角与距离等的重要依据.1.

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点击上方蓝色字体“高中数学王晖”关注王晖老师，免费获取各种知识干货和学习经验~~~您的点赞转发是对老师的最大鼓舞~~~距高考还有200天1钝角OR锐角的困惑2准备知识3四种情况的分析4总结规律5给具体向量坐标判断指向内外侧6小试牛刀7解答第1部分(请忽略)8检验学习效果的时候到啦情况1情况2往期优质数学干货链接：【赞不绝口】立体几何空间轨迹的解题策略，简直太形象了！！！【深谋远虑】关于原函数与其导函数对称性关系问题的探讨，请收好！！！【一应俱全】不等式专题全攻略------应有尽有，果断收藏！！！【面面俱到】九种常见递推数列通项的方法------全方位，无死角！！！【豁然开朗】圆锥曲线焦点三角形的性质及证明，真的太赞了！！！【日积月累】数列求和的七种解法，你掌握了几种？

点击上方蓝色字体“高中数学王晖”关注王晖老师，免费获取各种知识干货和学习经验~~~您的点赞转发是对老师的最大鼓舞~~~距高考还有201天向量的关键，永远是基本定理如果问你：向量中最重要的知识点是啥?你会回答是基本定理么?其实一直认为，平面向量基本定理，是平面向量的灵魂，很多向量或几何问题，若舍弃了基本定理这一根本，是会走很多弯路的。当然，今天要说的等和线，其实就是平面向量基本定理的重要推论——“共线定理”而已，但是一旦单独拿出来，其作用却是不可小觑的。等和线相关知识其实，式中λ和μ正负的确定，和平面直角坐标系内点的横纵坐标正负的确定方式是相同的。好啦，有了上面的结论，我们就可以用这条等和线肆无忌惮地解决平面向量基本定理中基向量的系数和问题了。好题赏析01说明：因为四边形为长方形，故也可考虑用向量坐标运算。02说明：此题λ+μ应为定值，故也可考虑用特殊值处理。03说明：此题也可考虑用向量坐标运算。04050607“等和线”解题步骤①确定值为1的等和线；②过动点作该线平行线，结合动点的可行域，分析在何点处取得最值；③利用长度比或该点的位置，求得最值。往期优质数学干货链接：【赞不绝口】立体几何空间轨迹的解题策略，简直太形象了！！！【深谋远虑】关于原函数与其导函数对称性关系问题的探讨，请收好！！！【一应俱全】不等式专题全攻略------应有尽有，果断收藏！！！【面面俱到】九种常见递推数列通项的方法------全方位，无死角！！！【豁然开朗】圆锥曲线焦点三角形的性质及证明，真的太赞了！！！【日积月累】数列求和的七种解法，你掌握了几种？

∴BC⊥面SAC∴BC⊥AD又AD⊥SC且BC，SC⊆面SBC∴AD⊥面SBC变式：如图，在三棱锥A-BCD中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，求证：AD⊥AC

点击上方蓝色字体“高中数学王晖”关注王晖老师，免费获取各种知识干货和学习经验~~~您的点赞转发是对老师的最大鼓舞~~~距高考还有204天单位圆单位圆指的是平面直角坐标系上，圆心为原点，半径为1的圆。在很多人的意识里，教材中单位圆的引入，仅是为了准确作出正弦曲线，但其实，单位圆在解题中，也有着非常重要的作用。今天主要通过单位圆的几个简单应用，让大家体会单位圆的作用，并在今后的解题过程中，树立利用单位圆的解题意识。1确定角的范围一般来说，我们遇到sinα±cosα=t这种形式时，总是会首先考虑到两边平方

点击上方蓝色字体“高中数学王晖”关注王晖老师，免费获取各种知识干货和学习经验~~~您的点赞转发是对老师的最大鼓舞~~~距高考还有207天夹汤圆右边这个图形，象不象用一双筷子，夹住一个汤圆了呢?我们不妨就将类似这种图形的问题，叫“筷子夹汤圆”问题吧。对，就叫筷子夹汤圆！其实，如果注意观察，目前这种方式，夹汤圆时筷子的位置虽然不同，但两双筷子之间的关系好像总是不变的。对，两双筷子总是互相垂直。1除了这个，你还能从图中观察出什么呢?对，P点在旋转过程中留下的痕迹，竟是一个漂亮的圆呢！偶然的，还是必然?接下来我们做进一步研究。蒙日圆的证明在证明之前，首先在几何上，普及两个有关四边形的结论。①在平行四边形中，各边的平方和等于对角线的平方和。

点击上方蓝色字体“高中数学王晖”关注王晖老师，免费获取各种知识干货和学习经验~~~您的点赞转发是对老师的最大鼓舞~~~距高考还有215天解题策略对于立体几何空间轨迹的问题，研究的主要还是解析几何中的几种曲线：直线、圆、椭圆、双曲线与抛物线基于这种认识，常规的思路有如下四种：1.几何法：根据平面的性质进行判定；2.定义法：转化为平面轨迹问题，用圆锥曲线定义判定，或用代数法进行计算；3.截面法：根据丹德林双球进行判定；4.特殊值法：根据空间图形线段长度关系取特殊值或位置进行排除。

f’(-x)可知f(x)的导函数f’(x)为偶函数备注：若可导函数f(x)的导函数f’(x)为偶函数，则函数f(x)不一定为奇函数，证明如下：证明：∵f’(x)为偶函数，则有f’(x)=

点击上方蓝色字体“高中数学王晖”关注王晖老师，免费获取各种知识干货和学习经验~~~您的点赞转发是对老师的最大鼓舞~~~距高考还有220天空间两直线的位置关系，可以按共面和异面分为两类。异面直线的研究，主要涉及两个要素：距离和角。但在中学阶段，试题中主要考查异面直线所成的角。异面直线所成角定义：求异面直线所成的角，可以从四个角度考虑：解法一公

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一般地，若数列{an}满足：存在一个最小的正整数T，使得an+T=an对于一切正整数n都成立，则数列{an}称为周期数列，其中T叫做数列{an}的周期，接下来根据数列的周期性进行求和。

点击上方蓝色字体“高中数学王晖”关注王晖老师，免费获取各种知识干货和学习经验~~~您的点赞转发是对老师的最大鼓舞~~~距高考还有227天不等式基本知识1基本性质2运算性质3常用不等式不等式证明方法常用的方法有：比较法、分析法、综合法、归纳法、反证法、类比法、放缩法、换元法、判别式法、导数法、几何法、构造函数、数轴穿针法等。1比较法2分析法3综合法4数学归纳法5反证法6类比法7放缩法常用放缩公式：8换元法常用换元方法：9判别式法10导数法(单调性)11构造函数法12数轴穿针法含绝对值不等式解法1分类讨论2两边平方法(承接例1)3图像法(承接例1)4等价转化法(承接例1)5运用线性规划求解6运用绝对值的几何意义含参一元二次不等式解法含有参数的不等式应用的比较多的是分类讨论思想，①其思路是一般先将式子因式分解或分解因式或分母有理化，然后再结合参数对称轴、判别式、根的正负进行讨论；②当无法进行因式分解的时候多涉及对称轴或者利用导数求解，下面结合例题解析。1二次项不含参数2二次项含参数不等式恒成立问题1恒成立问题的基本类型恒成立问题的解题的基本思路是：根据已知条件将恒成立问题向基本类型转化，正确选用函数法、最小值法、数形结合等解题方法求解。2判别式法3分离常数法4变换参数法(该法适用于题中已给出参数的界限)5最值法6数形结合法本文源于网络，如有侵权，请及时联系王晖老师删除，谢谢。往期优质数学干货链接：【运筹帷幄】指数、对数值比较大小全攻略，一切变得如此简单，值得收藏！！！【知识扫盲】f(x)与f(-x)、-f(x)、-f(-x)、f(|x|)和|f(x)|的图像的联系！！！排列组合的知识点汇总---超全！！！【一劳永逸】一文搞懂极值点偏移问题的六大解法，真的太赞了！！！【省时高效】！！！圆锥曲线常考的经典结论，这边看过来！！！圆锥曲线离心率的求解专题空间向量与立体几何的关系汇总！！！牢记这些“二级结论”，助你快速解题，节省更多时间！！！超级实用！！！高中数学需要牢记的一些数值！！！【实力干货】！！！高中数学教材之外的常用定理和公式！！！

点击上方蓝色字体“高中数学王晖”关注王晖老师，免费获取各种知识干货和学习经验~~~您的点赞转发是对老师的最大鼓舞~~~距高考还有228天基本概念二项分布：超几何分布：联系&区别"二项分布"和"超几何分布"的联系："二项分布"和"超几何分布"的区别：典型实例分析例题一：例题二：例题三：往期优质数学干货链接：【运筹帷幄】指数、对数值比较大小全攻略，一切变得如此简单，值得收藏！！！【知识扫盲】f(x)与f(-x)、-f(x)、-f(-x)、f(|x|)和|f(x)|的图像的联系！！！排列组合的知识点汇总---超全！！！【一劳永逸】一文搞懂极值点偏移问题的六大解法，真的太赞了！！！【省时高效】！！！圆锥曲线常考的经典结论，这边看过来！！！圆锥曲线离心率的求解专题空间向量与立体几何的关系汇总！！！牢记这些“二级结论”，助你快速解题，节省更多时间！！！超级实用！！！高中数学需要牢记的一些数值！！！【实力干货】！！！高中数学教材之外的常用定理和公式！！！

点击上方蓝色字体“高中数学王晖”关注王晖老师，免费获取各种知识干货和学习经验~~~您的点赞转发是对老师的最大鼓舞~~~距高考还有228天椭圆焦点三角形椭圆的焦点三角形是指以椭圆的两个焦点F1,F2与椭圆上任意一点P(长轴两顶点除外)为顶点组成的三角形。性质1：椭圆焦点三角形的周长C=2a+2c性质2：cosɑ≥1-2e2，且当P点落到短轴的端点(B1或B2)时，ɑ最大对应练习：性质3：焦点三角形的面积S=b2tan(ɑ/2)，且当P点在短轴的端点时，面积最大为bc，另外|PF1|∙|PF2|=2b2/(1+cosɑ)对应练习：性质4：椭圆的离心率e=sinɑ/(sinβ+sinγ)对应练习：双曲线焦点三角形双曲线的焦点三角形是指以双曲线的两个焦点F1,F2与双曲线上任意一点P(实轴两顶点除外)为顶点组成的三角形。性质1：焦点三角形的面积S=b2/[tan(ɑ/2)]，另外|PF1|∙|PF2|=2b2/(1-cosɑ)对应练习：性质2：双曲线的离心率e=sinɑ/|sinβ-sinγ|对应练习：性质3：双曲线焦点三角形的内切圆与F1F2相切于实轴的顶点上。且点P在双曲线的左支时，切点为左顶点；当点P在双曲线的右支时，切点在右顶点。往期优质数学干货链接：【运筹帷幄】指数、对数值比较大小全攻略，一切变得如此简单，值得收藏！！！【知识扫盲】f(x)与f(-x)、-f(x)、-f(-x)、f(|x|)和|f(x)|的图像的联系！！！排列组合的知识点汇总---超全！！！【一劳永逸】一文搞懂极值点偏移问题的六大解法，真的太赞了！！！【省时高效】！！！圆锥曲线常考的经典结论，这边看过来！！！圆锥曲线离心率的求解专题空间向量与立体几何的关系汇总！！！牢记这些“二级结论”，助你快速解题，节省更多时间！！！超级实用！！！高中数学需要牢记的一些数值！！！【实力干货】！！！高中数学教材之外的常用定理和公式！！！

点击上方蓝色字体“高中数学王晖”关注王晖老师，免费获取各种知识干货和学习经验~~~您的点赞转发是对老师的最大鼓舞~~~距高考还有228天高考中的递推数列求通项问题，情境新颖别致，有广度，创新度和深度，是高考的热点之一，是一类考查思维能力的好题。要求考生进行严格的逻辑推理，找到数列的通项公式。递推数列的通项公式的求法，虽无固定模式，但也有规律可循；主要靠观察分析、累加、累积、待定系数法，或是转化为等差或等比数列的方法解决；再或是归纳、猜想、用数学归纳法证明的方法来解决，为此介绍九种常见递推数列通项公式的求解方法。01"an+1=an+f(n)"型0102"an+1=f(n)∙an"型0203"an+1=A∙an+B"型0304"A∙an+1+B∙an+C∙an-1=0"型0405"an+1=k∙an+f(n)"型0506"an+1=c∙an/(p∙an+d)"型0607"Sn=f(an)"型0708"周期"型0809数学归纳法09本文源于网络，如有侵权，请及时联系王晖老师，谢谢。往期优质数学干货链接：【运筹帷幄】指数、对数值比较大小全攻略，一切变得如此简单，值得收藏！！！【知识扫盲】f(x)与f(-x)、-f(x)、-f(-x)、f(|x|)和|f(x)|的图像的联系！！！排列组合的知识点汇总---超全！！！【一劳永逸】一文搞懂极值点偏移问题的六大解法，真的太赞了！！！【省时高效】！！！圆锥曲线常考的经典结论，这边看过来！！！圆锥曲线离心率的求解专题空间向量与立体几何的关系汇总！！！牢记这些“二级结论”，助你快速解题，节省更多时间！！！超级实用！！！高中数学需要牢记的一些数值！！！【实力干货】！！！高中数学教材之外的常用定理和公式！！！

点击上方蓝色字体“高中数学王晖”关注王晖老师，免费获取各种知识干货和学习经验~~~您的点赞转发是对老师的最大鼓舞和支持~~~问题一：对称化构造首先三张图教你直观认识极值点偏移：图一：左右对称，无偏移，如二次函数；若f(x1)=f(x2),则x1+x2=2x0图二：左陡右缓，极值点向左偏移；若f(x1)=f(x2),则x1+x2＞2x0图三：左缓右陡，极值点向右偏移；若f(x1)=f(x2),则x1+x2＜2x0实例分析点评：该题的三问由易到难，层层递进，完整展现了处理极值点偏移问题的一般方法——对称化构造的全过程，直观展示如下：拓展训练通过以上两例，相信读者对极值点偏移问题以及对称化构造的一般步骤已有所了解，但极值点偏移问题的结论不一定总是x1+x2＞(＜)2x0，也可能是x1x2＞(＜)x02，

点击上方蓝色字体“高中数学王晖”关注王晖老师，免费获取各种知识干货和学习经验~~~您的点赞转发是对老师的最大鼓舞和支持~~~指数、对数值比较大小的题目一直是近几年高考的热点，这类题目通常可以用“构造中间量”、“图像法”、“单调性”和“特殊值”四种方法进行解答。本专题将通过实例一一为大家介绍！首先回顾下指数和对数的运算：1构造中间量将指数或对数值与作为中间量的0,1/2或1等一些特殊数值作比较，从而确定指数或对数值的范围。2图像法首先根据指数、对数函数的表达式画出函数图像，再根据图像来确定指数值或对数值的大小。备注：对于y=ax，y=bx，y=cx，y=dx这四个对数函数，图像如下，在图像中画出x=1这条直线，便可计算出：0＜b＜a＜1＜d＜c3单调性首先通过指数或对数的运算将指数或对数值化成同底，然后再根据指数或对数函数的单调性来确定其值的大小。4特殊值牢记部分特殊的指数和对数值，对于比较指数和对数值的大小非常有帮助。来都来了，点个在看再走吧~~~

点击上方蓝色字体“高中数学王晖”关注王晖老师，免费获取各种知识干货和学习经验~~~您的点赞转发是对老师的最大鼓舞和支持~~~f(x)的图像与f(-x),-f(x),-f(-x),f(|x|)和|f(x)|这五个函数图像有什么样的关系呢？首先我们先令f(x)=ex-1，它的图像如下：①

点击上方蓝色字体“高中数学王晖”关注王晖老师，免费获取各种知识干货和学习经验~~~您的点赞转发是对老师的最大鼓舞和支持~~~距高考还有15天圆锥曲线的经典结论不仅可以帮助考生在解题过程中节省大量时间，同时还可以提高做题的准确度。从近几年的全国卷分析来看，经常会考察到这部分的知识点。希望考生对这些经典结论，不仅能记得牢，还能用的熟。1椭圆1.

点击上方蓝色字体“高中数学王晖”关注王晖老师，免费获取各种知识干货和学习经验~~~您的点赞转发是对老师的最大鼓舞和支持~~~距高考还有22天本文给同学们总结了在高中教材中未提及，但经常会在考试中用到的一些定理和公式，这些知识点有助于开阔同学们的解题思路。1常用定理拉格朗日中值定理：如果函数y=f(x)满足下列条件①在闭区间[a，b]上连续②在开区间(a，b)内可导则在开区间(a，b)内至少存在一点ξ，使得：例题:已知a＜-1时，函数f(x)=(a+1)lnx+ax2+1是单调递减函数，且如果对任意x1,x2