江苏名师渠东剑：素养视角下的2019年高考数学江苏卷分析

Original 渠东剑文卫星数学生态课堂 2022-07-17

本文刊于《中学数学教学参考》2019.9-10

开号宗旨:为数学教师提供交流、学习、研究的平台，既关注高中数学解题研究，也关注教法和学法研究。

文卫星，上海市特级教师。践行“生态课堂”，做到“两尊重”----即尊重知识的发生、发展规律，尊重学生的认知规律；把握“两个度”----思想（哲学或数学）高度和文化厚度。

在《数学教育学报》《数学通报》《中学数学教学参考》等近50家报刊杂志发表论文或文章约330多篇。

专著（代表作）：《超越逻辑的数学教学----数学教学中的德育》（2009）、《文卫星数学课赏析》（2012）、《挑战高考压轴题高中数学精讲解读篇》（1-10版，2009-2019）、《上海高考好题赏析》（2019）。

近年为北京、上海、天津、江苏、浙江、福建、广东、贵州、河南、河北、四川、云南、新疆、宁夏、安徽、山西、重庆等地师生讲学。

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素养视角下的2019年高考数学江苏卷分析

渠东剑

(南京市秦淮区教师发展中心南京市高中数学渠东剑名师工作室)

续昨天

2．2．2 反映核心素养的四个方面的分析

利用“反映核心素养的四个方面的指标框架”^［4］分析2019江苏卷Ⅰ，得表4。

表4 2019江苏卷Ⅰ反映核心素养的四个方面分析

四个方面

情境与问题

知识与技能

思维与表达

交流与反思

三级水平

√

15(1)

√

15(2)

√

16(1)

√

16(2)

√

17(1)

√

17(2)

√

18(1)

√

18(2)

√

18(3)

√

19(1)

√

19(2)

√

19(3)

√

20(1)

√

20(2)①

√

20(2)②

√

合计

(1)情境与问题。按熟悉的情境、关联的情境与综合的情境分类，分别有13个、13个与3个，共29个，层次分配大致是合理的。第20题，通过新定义对象给出新情境，解决问题必须要回到定义，对创新意识的考查比较充分。除第18题属于应用题外，其余题目的情境全部是数学内部情境，似乎生活情境太少，科学情境则没有。

(2)知识与技能。对知识与技能的考查比较充分，而且层级分配较合理。试卷紧扣《说明》^［7］中的绝大多数知识点，其中包括全部8个C考点，38个B级考点中的37个，25个A级考点中的20个。对重点知识作了重点考查、反复考查、综合考查，多层次与多角度考查，而且达到必要的深度。

(3)思维与表达。填空题没有解题过程，只有答案正确与错误之分，只能根据一般的通性通法得到答案的过程去把握；解答题第16题立体几何推理证明，要形成严密的逻辑推理链条，具有较强的逻辑推理能力要求。第18题要在图形直观想象的基础上予以推理论证，第18(2)题要从反面去论证一个事实不成立，对思维与表达提出较高的要求；第19(3)题，第20(2)②题，要构建新的数学对象去解决新问题，这些都要求学生有良好的思维品质。

(4)交流与反思。因为填空题只要求给出最后结果，故“交流与反思”全部定为一级水平，解答题分布是比较恰当合理的。特别是第18题，有条理地说明理由，给学生提出了“思维与表达”的较高要求，但其中“评价、总结与拓展”的成份较少，这是值得进一步研究的问题。

2．2．3 四条内容主线分析

根据内容主线分析框架^［4］，分必修与选择性必修主题进行分析。对于综合性问题，可能涉及多个主题，笔者重点参考文献［8］，把握多种解题过程与方法，统筹知识点分布、关键能力体现(表3)、思想方法生成等要素，将各小题总分分解至各内容主题中去，如表5、图1，这将带有较强的主观性。因为《课标》已没有“算法初步”，故将第3题忽略，总分也将按155分分析。

表5 2019江苏卷Ⅰ内容分布分析

课程	必修	选择性必修
主题	主题一	主题二	主题三	主题四	主题五	主题一	主题二	主题三	主题四
内容	预备知识	函数	几何与代数	概率与统计	数学建模活动与数学探究活动	函数	几何与代数	概率与统计	数学建模活动与数学探究活动
课时	18	52	42	20	6	30	44	26	4
1	5
2			5
4		5
5				5
6				5
7							5
8						5
9			5
10	2	3
11						3	2
12			5
13		5
14		3					2
15		6					8
16			14
17					2		12
18		2	2		2		6		4
19	2	4				8			2
20						14			2
合计	9	7	31	10	4	30	35	0	8
分数占总分比	0.058	0.181	0.200	0.065	0.026	0.194	0.226	0.000	0.052
课时占总课时比	0.074	0.215	0.174	0.083	0.025	0.124	0.182	0.107	0.017

说明：2008年以来，高考数学江苏卷Ⅰ考查内容不包括这里的选择性必修主题三“概率与统计”的内容，它们将在江苏卷Ⅱ中考查，故统计结果为0。

从表5、图1可以看出，就考查内容主线而言，2019江苏卷Ⅰ知识点分布与课时比重大致相当，但选择性必修主题一(函数的导数、数列)、主题二(平面解析几何)考查比重较大。这说明，试卷对支撑学科体系的主干知识进行重点了考查，例如，函数(包括导数)、三角、立体几何、解析几何等内容，选择性必修中的导数与数列，考查比重较大幅度地超过相应课时比重。所以，2019年高考数学江苏卷Ⅰ基本符合《课标》内容设置要求，对知识点的要求也符合学情与课程要求。

3 赏析两道题目

3．1 赏析第18题

题目：如图2，一个湖的边界是圆心为O的圆，湖的一侧有一条直线型公路l，湖上有

桥AB（AB是圆O的直径）。规划在公路l上选两个点P，Q，并修建两段直线型道路PB，QA。规划要求:线段PB，QA上的所有点到点O的距离均不小于圆O的半径。已知点A，B到直线l的距离分别为AC和BD（C，D为垂足），测得AB=10，AC=6，BD=12（单位:百米）。

（1）若道路PB与桥AB垂直，求道路PB的长；

（2）在规划要求下，P和Q中能否有一个点选在D处？并说明理由；

（3）在规划要求下，若道路PB和QA的长度均为d（单位：百米）。求当d最小时，P，Q两点间的距离。

(1)知识考查。主要考查了三角函数的应用、解方程、直线与圆等基础知识。本题有很多种解法，涉及知识内容可以是平面几何、解析几何，也可以是三角函数、甚至包括函数的应用。不同的解法与知识应用，其思路与繁简难易程度相去甚远。本题突出了选择性，强化了开放性，在思维层次与方法选择上区分不同水平的考生。例如，第18(1)题，有十几种解法，大致可以分为以下几类：

①平面三角：如图3，先求已知的RtΔBAE中的一个锐角的三角函数值，再通过角相等进而解RtΔBDP或RtΔBQP，求出PB的长。

②平面几何：如图4，通过相似三角形，或在几个相关的直角三角形中应用勾股定理，建立关系式(方程)，进而求出PB的长。例如，RtΔPBD∽RtΔBAE∽RtΔBOF∽RtΔMBE，ΔPBD，ΔPBA，ΔPAC，ΔDEC等均为直角三角形，四边形BACE为平行四边形，等，由此可以挖掘出很多关系，去用于求出PB的长。

③解析几何：建立坐标系，坐标原点可以有很多种选择，最常见的是选择点O为坐标原点，如图5，其余还可以取等为坐标原点，以与直线l平行的方向为x轴，与l垂直的方向为y轴，先求AB的斜率，(它其实是上述建立坐标系下的不变量)再求PB的方程，进而求P点的坐标……

第18(2)，第18(3)也有上述几种方法思路。

(2)能力要求。较为充分地考查了《大纲》“五大能力”中的四个：空间想象能力，表现为通过几何图形探索；抽象概括能力，即把现实生活问题抽象为数学问题；推理论证能力，对图形直观或猜测出来的结论，予以严格地逻辑推理论证；运算求解能力，其中含有代数、三角、几何、函数等相关对象的计算，有一定的运算量和难度。

(3)两个“意识”。作为应用题，重点考查了“应用意识”，即应用数学去解决现实问题，应用数学去解决新情境下的数学问题，例如，“数学地”说明理由；在解决问题的过程中，需要构造新的几何图形或创建坐标系作为工具，建立函数模型或借助几何知识进行推理，这些都属于“创造”层次水平，因而很好地考查了“创新意识”。

(4)思想方法。从参考答案^［8］与上述诸多解法看，本题主要考查了数形结合、函数与方程、分类与整合、化归与转化等数学思想方法。可以说是较为深刻地、全面地考查了数学思想方法。例如，第18(2)题说明“Q点选在D处”不合乎“规划要求”，第18(3)题，说明“d的最小值为15”，对考逻辑推理能力提出了较高要求。若选择平面几何或三角，则要通过计算去说理；若着眼于其中的“变化”，可以建立函数模型，通过研究函数性质去解决问题。但能做到还不太容易，阅卷情况也表明了这一点。

(5)核心素养。主要考查了数学抽象、直观想象、数学建模、逻辑推理、数学运算等核心素养。需要强调的是，本题对逻辑推理素养的要求较高：不仅要能够借助图形探索结果，而且要“数学地”说明理由，这其实是要作严格的逻辑推理。例如第18(2)题，要证明点Q在D处不满足“规划要求”，这属于否定形式的命题，证明就要在线段上AD“找到”一个点，它与点O的距离小于圆O的半径。即使通过计算得到为锐角，虽然从几何直观上已显而易见，但作为逻辑推理过程还不够完备，还要找到那个具体的点。这不仅要求有较强的推理意识，而且要具备扎实的知识基础，较高的逻辑推理水平。

同样地，在第18(3)题中，从图形容易直观地发现，后续计算也无太大难度，就是静态的几何图形背景下的计算。但为什么，给出证明却不是容易的事，甚至让人感到“有理道不明”：需要构造新的图形，从几何视角进行定性定量推理论证，或基于建立的坐标系，构建关于PB长的目标函数，确定自变量的取值范围，然后求函数的最小值……无论哪一种方法，均需要“创造”新的数学对象(图形或函数)，这无疑属于“创造”的层次了。

高考数学要“多考想，少考算”，在思维层次上区分考生。第18题突出了理性思维的考查，对引导数学教学更加突出思维能力的培养，发展学生的核心素养，培养学生的理性精神，进而促进人的发展，将产生积极而重要的影响。它是一道好题。

3．2 赏析第22题

题目：设(1＋x)ⁿ＝a₀＋a₁x＋a₂x²＋···＋a_nxⁿ，n≥4，n∈N^*。已知a＝2a₂a₄。

(1)求n的值；

(2)设(1＋)ⁿ＝a＋b，其中a，b∈N^*，求a²－3b²的值。

本题主要考查二项式定理、组合数等基础知识，就是具体数字的计算，是再平常不过的常规题。第22(1)题答案为n＝5，说明本题就是关于(1＋x)⁵的问题，这应属于容易题。但据笔者了解，考后学生、甚至一些教师反应强烈，大呼意外；高考阅卷也表明，考生解题表现之差，也令人费解。但命题考查“二项式定理”，实属情理之中，无可厚非。

自2008年始的当下的高考数学江苏卷分卷Ⅰ和卷Ⅱ，二项式定理属于卷Ⅱ考查内容，理解层次要求，所以考查二项式定理合乎情理。但由于近12年来，仅有2008年考了二项式定理，而且在第23题位置。第23题是全卷最后一道题，难度较大，竞赛味道浓，一般省均分2分左右，(满分10分)致使一些考生提前放弃。一个是十年未考，一个是从未在第22题位置考，造成对二项式定理教学不重视、复习不达标、甚至完全放弃的现象，这是亟待改进的。

所以，第22题看似平淡无奇，但在这个时候、这个位置，出现了意料之外的题，实则充满新意，产生奇效，恰似一味清醒剂，发人深思：教学要回归课程标准、回归课本、回归基础，复习要回归考试大纲、考试说明；备考不猜题押题，全面落实课程标准要求……这在政府部门已明确高考“实施高中新课程的省份不再制定考试大纲”的当下，在高考备考要适应新形势的探索过程中，显得尤有积极意义。

4 商榷

其一，在文献［10］中，笔者以“形式八股，可能会异化高考功能”为小标题，指出江苏卷在一些题目类型、难度与位置上多年不变，造成一些消极的影响；在文献［4］中笔者也给出类似的批评与建议。文献［11］也指出，高考命题要突出试卷创新，防止试题题型、命题方式固化。反观2019江苏卷，除第22题外，几乎没有任何改观，基本上沿袭并强化了这种“八股”形式。前文所赏析的第22题，倒是从反面佐证了笔者的建议是必要的。

其实，2019年高考是江苏省自主命题的倒数第二年份，应该说当下处于由自主命题向全国卷过渡时期，因而更加引人关注。2019江苏卷，应该有必要、也有可能作出一些可能的改变与创新，对此社会也充满期待。但2019江苏卷仍然囿于成规，这不仅造成2019年的命题改革创新有所欠缺，而且还可能使2020年(现阶段江苏省自主命题最后一年)的命题进退两难。

其二，第20(2)②题，作为压轴题最后一问，无疑要突出创新意识与实践能力的考查。就命题本意而言，可能是突出考查“构建函数解决问题”的创造能力，这也可由文献［8］得到证实。但由于结果为5，数字较小，完全可以用“枚举法”：从1开始逐项尝试，m＝ 1,2，3,4，5满足条件，m＝6不满足条件，所以m的最大值为5。从而绕开了构造函数、研究函数性质(借助导数工具)，并应用所研究的函数性质去解决所面对的问题的过程。虽然“枚举法”是解决这“一道题”的方法，而且过程简捷，避重就轻，一定意义下可以说是好方法，但却不是解决这“一类题”的一般方法。用这个方法解答第20(2)③题，其思维含量、创新意识、实践能力与个性品质的考查层次，将大打折扣，这也许并非命题者的初衷。